r35 vs r37 | ||
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1 | 1 | [[분류:수학]] |
2 | 2 | == 개요 == |
3 | 3 | 삼각형의 변의 길이가 [math(a, b, c)]라고 하고 [math(s)]가 둘레의 길이의 절반이라면 이때 넓이는 [math(\displaystyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)})] 이다. |
4 | 4 | 삼각형의 세 변의 길이만 알면 바로 넓이를 구할 수 있기 때문에 매우 유용한 공식이다.--증명하는게 좀 까다로워서 그렇지-- |
5 | 5 | |
6 | 6 | == 증명 == |
7 | 7 | ==# 피타고라스 정리 #== |
8 | 8 | {{{#!wiki style="background-image:url('https://awikifile.theseed.io/ce/ce89c7da3120013ee71c093d0af080ceb6ea4a9663aefe01ac4ef274f7d1b5b7.svg');width:250px;height:250px;background-repeat:no-repeat no-repeat" |
9 | 9 | }}} |
10 | 10 | 꼭짓점 A에서 밑변에 내린 수선의 발을 H라고 하고, [math(\overline{\rm BH}=x)]라고 하자. |
11 | 11 | 이때, [[피타고라스 정리]]를 이용해 [math(\displaystyle \begin{aligned} c^{2}&=h^{2}+x^{2}\\ b^{2}&=h^{2}+(a-x)^{2} \end{aligned} )]라고 나온다. |
12 | 12 | |
13 | 13 | 두 식을 빼면 [math(\displaystyle c^{2}-b^{2}=2ax-a^{2})]가 나온다. |
14 | 14 | |
15 | 15 | 그러므로 [math(x)]는 [math(\displaystyle \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} )]가 나온다. |
16 | 16 | |
17 | 17 | 아까 구한 [math(c^{2}=h^{2}+x^{2})]을 바꿔서 풀면 |
18 | 18 | |
19 | 19 | [math(\displaystyle \begin{aligned} h^{2}&=c^{2}-x^{2} \\&=c^{2}-\left( \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)^{\!2} \end{aligned})] 가 된다. |
20 | 20 | |
21 | 21 | 인수분해를 해 |
22 | 22 | |
23 | 23 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \left( c+\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)\left( c-\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right) \end{aligned})] 이 식을 만들고, |
24 | 24 | |
25 | 25 | 또 인수분해를 해 |
26 | 26 | |
27 | 27 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \left[ \dfrac{(a+c)^{2}-b^{2}}{2a} \right]\left[ \dfrac{b^{2}-(a-c)^{2}}{2a} \right] \end{aligned})] 이 식을 만든다. |
28 | 28 | |
29 | 29 | 식을 풀면 |
30 | 30 | |
31 | 31 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{4a^{2}}(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a) \end{aligned})], |
32 | 32 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{4a^{2}}\cdot 2s \cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-a) \end{aligned})], |
33 | 33 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{4}{a^{2}}s(s-a)(s-b)(s-c) \end{aligned})] 가 되는데, |
34 | 34 | |
35 | 35 | --거의 다 왔다-- |
36 | 36 | 이때 [math(\triangle ABC)]이 넓이의 제곱은 |
37 | 37 | [math(\displaystyle \begin{aligned} (\triangle {\rm ABC})^{2}&=\left( \frac{1}{2}ah \right)^{\!2} \end{aligned} )]가 되므로, |
38 | 38 | |
39 | 39 | [math(\displaystyle \begin{aligned} (\triangle {\rm ABC})^{2}=\frac{1}{4}a^{2}h^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c) \end{aligned} )] 가 되고, 마지막으로 |
40 | 40 | |
41 | 41 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore {\triangle \rm ABC}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c) } \end{aligned} )]라는 공식이 나온다.--수고했다.-- |
42 | 42 | |
43 | 43 | ==# 코사인 법칙 #== |
44 | 44 | {{{#!wiki style="background-image:url('https://awikifile.theseed.io/ce/ce89c7da3120013ee71c093d0af080ceb6ea4a9663aefe01ac4ef274f7d1b5b7.svg');width:250px;height:250px;background-repeat:no-repeat no-repeat" |
45 | 45 | }}} |
46 | 46 | [[삼각비]]를 이용하면 [math(\triangle {\rm ABC})]의 넓이인 |
47 | 47 | |
48 | 48 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{2}ac\sin{B} \end{aligned} )] 가 된다. |
49 | 49 | 이 공식을 조금 변형해 |
50 | 50 | |
51 | 51 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{2}ac \sqrt{1-\cos^{2}{B}} \end{aligned} )] 를 얻는다. |
52 | 52 | |
53 | 53 | 제2 코사인 법칙[* [math(\displaystyle \begin{aligned} b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos{B} \end{aligned} )]]에 의해 |
54 | 54 | |
55 | 55 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{B}=\frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} \end{aligned} )] 로 하고, |
56 | 56 | |
57 | 57 | 이때, [math(\sin^{2}{B}+\cos^{2}{B}=1)]이니 [math(\sin {B}= 1- \cos {B})] 를 얻어서 다음을 만든다. |
58 | 58 | |
59 | 59 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}&=\dfrac{1}{2}ac\sin{B} =\dfrac{1}{2}ac \sqrt{1-\left(\frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} \right)^{2}} \end{aligned} )] |
60 | 60 | |
61 | 61 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}&= \dfrac{1}{4}\sqrt{4a^{2}c^{2}-(a^2+c^2-b^{2})^{2}} \end{aligned} )] |
62 | 62 | |
63 | 63 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}& = \dfrac{1}{4}\sqrt{[ (a+c)^{2}-b^{2} ] [ b^{2}-(a-c)^{2} ]} \\&= \dfrac{1}{4}\sqrt{ (a+b+c)(a+c-b) (a+b-c)(b+c-a) } \end{aligned} )] |
64 | 64 | |
65 | 65 | 방금 이 식은 피타고라스 정리로 증명할 때 보았던 것이므로 [math(16s(s-a)(s-b)(s-c))] 다. |
66 | 66 | |
67 | 67 | 이제 공식이 나온다. |
68 | 68 | |
69 | 69 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore \triangle {\rm ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{aligned} )] 가 된다. |