헤론의 공식

꼭짓점 A에서 밑변에 내린 수선의 발을 H라고 하고, $\overline{\rm BH}=x$라고 하자.
이때, 피타고라스 정리를 이용해 $\displaystyle \begin{aligned} c^{2}&=h^{2}+x^{2}\\ b^{2}&=h^{2}+(a-x)^{2} \end{aligned}$라고 나온다.

두 식을 빼면 $\displaystyle c^{2}-b^{2}=2ax-a^{2}$가 나온다.

그러므로 $x$는 $\displaystyle \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}$가 나온다.

아까 구한 $c^{2}=h^{2}+x^{2}$을 바꿔서 풀면

$\displaystyle \begin{aligned} h^{2}&=c^{2}-x^{2} \\&=c^{2}-\left( \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)^{\!2} \end{aligned}$ 가 된다.

인수분해를 해

$\displaystyle \begin{aligned} \left( c+\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)\left( c-\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right) \end{aligned}$ 이 식을 만들고,

$\displaystyle \begin{aligned} \left( \dfrac{a^{2}+2ac+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)\left( \dfrac{-a^{2}+2ac-c^{2}+b^{2}}{2a} \right) \end{aligned}$,

또 인수분해를 해

$\displaystyle \begin{aligned} \left[ \dfrac{(a+c)^{2}-b^{2}}{2a} \right]\left[ \dfrac{b^{2}-(a-c)^{2}}{2a} \right] \end{aligned}$ 이 식을 만든다.

식을 풀면

$\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{4a^{2}}(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a) \end{aligned}$,
$\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{4a^{2}}\cdot 2s \cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-a) \end{aligned}$,
$\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{4}{a^{2}}s(s-a)(s-b)(s-c) \end{aligned}$ 가 되는데,

거의 다 왔다
이때 $\triangle ABC$이 넓이의 제곱은
$\displaystyle \begin{aligned} (\triangle {\rm ABC})^{2}&=\left( \frac{1}{2}ah \right)^{\!2} \end{aligned}$가 되므로,

$\displaystyle \begin{aligned} (\triangle {\rm ABC})^{2}=\frac{1}{4}a^{2}h^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c) \end{aligned}$ 가 되고, 마지막으로

$\displaystyle \begin{aligned} \therefore {\triangle \rm ABC}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c) } \end{aligned}$라는 공식이 나온다.수고했다.

삼각비를 이용하면 $\triangle {\rm ABC}$의 넓이인

$\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{2}ac\sin{B} \end{aligned}$ 가 된다.
이 공식을 조금 변형해

$\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{2}ac \sqrt{1-\cos^{2}{B}} \end{aligned}$ 를 얻는다.

제2 코사인 법칙[1]에 의해

$\displaystyle \begin{aligned} \cos{B}=\frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} \end{aligned}$ 로 하고,

이때, $\sin^{2}{B}+\cos^{2}{B}=1$이니 $\sin {B}= 1- \cos {B}$ 를 얻어서 다음을 만든다.

$\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}&=\dfrac{1}{2}ac\sin{B} =\dfrac{1}{2}ac \sqrt{1-\left(\frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} \right)^{2}} \end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}&= \dfrac{1}{4}\sqrt{4a^{2}c^{2}-(a^2+c^2-b^{2})^{2}} \end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}& = \dfrac{1}{4}\sqrt{[ (a+c)^{2}-b^{2} ] [ b^{2}-(a-c)^{2} ]} \\&= \dfrac{1}{4}\sqrt{ (a+b+c)(a+c-b) (a+b-c)(b+c-a) } \end{aligned}$

방금 이 식은 피타고라스 정리로 증명할 때 보았던 것이므로 $16s(s-a)(s-b)(s-c)$ 다.

이제 공식이 나온다.

$\displaystyle \begin{aligned} \therefore \triangle {\rm ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{aligned}$ 가 된다.