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삼각함수

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분류
1. 삼각비2. 삼각함수의 개요3. 호도법4. 좌표

1. 삼각비[편집]

직각삼각형에서 밑변과 높이의 끼인각을 90°라고 했을 때,
빗변, 밑변, 높이변의 길이의 비를 빗변과 밑변 사이 끼인각의 크기에 따라 나타낸 값이다.

빗변과 높이변이 만나는 점을 AA, 빗변과 밑변이 만나는 점을 BB, 밑변과 높이변이 만나는 점을 CC 라고 하자. 빗변과 밑변 사이 끼인각의 크기를 ∠B\angle B라고 할 때 삼각비의 정의(Definition)는 다음과 같다.
* sin⁡∠B=높이변의 길이빗변의 길이\displaystyle{\sin {\angle B} ={{\text{{\color{blue}높이변}의 길이}}\over{\text{{\color{red}빗변}의 길이}}}} : 사인(sine)

* cos⁡∠B=밑변의 길이빗변의 길이\displaystyle{\cos {\angle B} ={{\text{{\color{green}밑변}의 길이}}\over{\text{{\color{red}빗변}의 길이}}}} : 코사인(cosine)

* tan⁡∠B=높이변의 길이밑변의 길이\displaystyle{\tan {\angle B} ={{\text{{\color{blue}높이변}의 길이}}\over{\text{{\color{green}밑변}의 길이}}}} : 탄젠트(tangent)

흔히 쓰이는 각은 0°, 30°, 45°, 60°, 90°가 있다. 30°와 60°에 대한 삼각비는 정삼각형에서 구할 수 있으며, 45°에 대한 삼각비는 직각이등변삼각형에서 구할 수 있다. 다음은 0°, 30°, 45°, 60°, 90°에 대한 삼각비를 나타낸 표이다.
각
0°0°
30°30°
45°45°
60°60°
90°90°
sin⁡(각)\sin(\text{각})
00
12\displaystyle{{\sqrt{1}}\over{2}}
22\displaystyle{{\sqrt{2}}\over{2}}
32\displaystyle{{\sqrt{3}}\over{2}}
11
cos⁡(각)\cos(\text{각})
11
32\displaystyle{{\sqrt{3}}\over{2}}
22\displaystyle{{\sqrt{2}}\over{2}}
12\displaystyle{{\sqrt{1}}\over{2}}
00
tan⁡(각)\tan(\text{각})
00
33\displaystyle{{\sqrt{3}}\over{3}}
1\displaystyle{1}
3\displaystyle{\sqrt{3}}
정의하지 않음

상용로그표처럼 0°부터 90°까지의 사인, 코사인, 탄젠트 값을 1°단위로 계산한 값을 나열한 삼각비 표가 있다. 수학 교과서(보통 "수학 I" 책)의 부록으로 상용로그표와 같이 실려 있으며, 보통 소숫점 아래 다섯자리에서 반올림한 값이 나열되어 있다.

2. 삼각함수의 개요[편집]

삼각비는 0도 에서 90도 까지 사용했다면 이제는 예각이 아닌 일반각으로 확장시킨 것이다.

3. 호도법[편집]

원의 중심점을 OO[Circle]라 하고, 원의 반지름의 길이를 rr[Circle]이라 하자.
원에서 호의 길이는 내부 끼인 각의 크기에 비례하는데, 호의 끼인각이 OO를 중심으로 360° 곧 한 바퀴이면 호의 길이는 원 둘레가 되면서 2π×r{\color{blue}2\pi} \times r로 된다는 것에 착안하여 단위가 만들어진다.

세는 기준의 단위인 숫자 1을 기준으로 호의 길이가 1×r{\color{blue}1} \times r이 되게 하는 호의 끼인각을 생각해볼 수 있다.
이 각의 크기를 x°x°이라 두고, 각의 크기와 호의 길이에 관한 비례식을 다음과 같이 세울 수 있다. (여기에서 각의 단위인 °는 생략한다.)
360:(2π×r)=x:(1×r)360 : ({\color{blue}2\pi} \times r) = x : ({\color{blue}1} \times r)
내항과 외항의 곱이 서로 같음을 이용하면 다음과 같이 미지수 xx에 관한 일차방정식을 얻을 수 있다.
(2π×r)×x=360×(1×r)({\color{blue}2\pi} \times r) \times x = 360\times ({\color{blue}1} \times r)

(rr은 0보다 큰 값이므로 나누기가 되며[3]) 위의 식에서 양변을 2π×r{\color{blue}2\pi} \times r로 나누면 다음을 얻는다.
x=360×(1×r)2π×r\displaystyle x = {{360\times ({\color{blue}1} \times r)}\over{{\color{blue}2\pi} \times r}}

식을 정리하면 다음을 얻는다.
x=180π\displaystyle x = {{180}\over{\pi}}
따라서 호의 길이가 1×r{\color{blue}1} \times r이 되게 하는 호의 끼인각은 180π°\displaystyle {{180}\over{\pi}}°가 되는데, 이것과 같은 크기의 각을 "라디안(Radian)"이라는 새로운 단위로 두어 "1 라디안" 이라고 부른다. 다시 말해, 각의 크기의 단위인 라디안을 다음과 같이 정의한다.
1 라디안=180π°1\ \text{{\color{Green}라디안}} = \displaystyle{{180}\over{\pi}}°

4. 좌표[편집]

좌표에서 x축의 양의 방향에서 시작한다. 반지름이 1인 원을 그리고 그 위에 있는 임의의 점을 P(x, y)\mathrm P \left(x,~y\right)라고 한다. 가운데에서 시계 반대 방향 회전을 각의 양의 방향이라고 하고, 그 각을 θ\theta라고 하면 삼각함수가 만들어진다.
cos⁡θ=xsin⁡θ=ytan⁡θ=yx\begin{array}{cc} \begin{aligned} \cos\theta &= x \\ \sin\theta &= y \\ \tan\theta &= \dfrac yx \end{aligned} \end{array}
이 식을 조금 변형하면

sec⁡θ=1cos⁡θ=1xcsc⁡θ=1sin⁡θ=1ycot⁡θ=1tan⁡θ=xy\begin{array}{cc}\begin{aligned} \sec\theta &= \dfrac1{\cos\theta} = \dfrac1x \\ \csc\theta &= \dfrac1{\sin\theta} = \dfrac1y \\ \cot\theta &= \dfrac1{\tan\theta} = \dfrac xy \end{aligned} \end{array}
이 된다.


이때, θ\theta는 예각이 아닌 일반각이다.

그렇다면 이제는 반지름이 1이 아닌 r로 정의해보자. 이번에 등장하는 삼각함수는
cos⁡θ=xrsin⁡θ=yrtan⁡θ=yxsec⁡θ=rxcsc⁡θ=rycot⁡θ=xy\begin{array}{cc} \begin{aligned} \cos\theta &= \dfrac xr \\ \sin\theta &= \dfrac yr \\ \tan\theta &= \dfrac yx \\ \sec\theta &= \dfrac rx \\ \csc\theta &= \dfrac ry \\ \cot\theta &= \dfrac xy \end{aligned} \end{array}

가 된다.


[Circle] 1.1 1.2 원의 중심점은 (Center of a circle이라고도 하지만) Origin of a circle, 원의 반지름은 radius of a circle. 원은 어떤 지점을 기원으로 하여 일정한 거리만큼 떨어져 있는 지점들을 모은 도형으로 정의할 수 있다.[3] r=0r=0인 경우를 생각할 수 있겠지만, 이 경우에는 원이 원이 아니라 점이 된다. 또한 이런 경우에서 삼각비를 구할 때 (빗변부터 그 길이가 0이 되어) 0으로 나누기가 되므로 r=0r=0인 경우는 생각하지 않는다.