헤론의 공식(비교)

[[분류:수학]]

== 개요 ==

삼각형의 변의 길이가 [math(a, b, c)]라고 하고 [math(s)]가 둘레의 길이의 절반이라면 이때 넓이는 [math(\displaystyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)})] 이다.

삼각형의 세 변의 길이만 알면 바로 넓이를 구할 수 있기 때문에 매우 유용한 공식이다.--증명하는게 좀 까다로워서 그렇지--

== 증명 ==

==# 피타고라스 정리 #==

{{{#!wiki style="background-image:url('https://awikifile.theseed.io/ce/ce89c7da3120013ee71c093d0af080ceb6ea4a9663aefe01ac4ef274f7d1b5b7.svg');width:250px;height:250px;background-repeat:no-repeat no-repeat"

}}}

꼭짓점 A에서 밑변에 내린 수선의 발을 H라고 하고, [math(\overline{\rm BH}=x)]라고 하자.

이때, [[피타고라스 정리]]를 이용해 [math(\displaystyle \begin{aligned} c^{2}&=h^{2}+x^{2}\\ b^{2}&=h^{2}+(a-x)^{2} \end{aligned} )]라고 나온다.

두 식을 빼면 [math(\displaystyle c^{2}-b^{2}=2ax-a^{2})]가 나온다.

그러므로 [math(x)]는 [math(\displaystyle \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} )]가 나온다.

아까 구한 [math(c^{2}=h^{2}+x^{2})]을 바꿔서 풀면

[math(\displaystyle \begin{aligned} h^{2}&=c^{2}-x^{2} \\&=c^{2}-\left( \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)^{\!2} \end{aligned})] 가 된다.

인수분해를 해

[math(\displaystyle \begin{aligned} \left( c+\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)\left( c-\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right) \end{aligned})] 이 식을 만들고,

또 인수분해를 해

[math(\displaystyle \begin{aligned} \left[ \dfrac{(a+c)^{2}-b^{2}}{2a} \right]\left[ \dfrac{b^{2}-(a-c)^{2}}{2a} \right] \end{aligned})] 이 식을 만든다.

식을 풀면

[math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{4a^{2}}(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a) \end{aligned})],

[math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{4a^{2}}\cdot 2s \cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-a) \end{aligned})],

[math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{4}{a^{2}}s(s-a)(s-b)(s-c) \end{aligned})] 가 되는데,

--거의 다 왔다--

이때 [math(\triangle ABC)]이 넓이의 제곱은

[math(\displaystyle \begin{aligned} (\triangle {\rm ABC})^{2}&=\left( \frac{1}{2}ah \right)^{\!2} \end{aligned} )]가 되므로,

[math(\displaystyle \begin{aligned} (\triangle {\rm ABC})^{2}=\frac{1}{4}a^{2}h^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c) \end{aligned} )] 가 되고, 마지막으로

[math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore {\triangle \rm ABC}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c) } \end{aligned} )]라는 공식이 나온다.--수고했다.--

==# 코사인 법칙 #==

{{{#!wiki style="background-image:url('https://awikifile.theseed.io/ce/ce89c7da3120013ee71c093d0af080ceb6ea4a9663aefe01ac4ef274f7d1b5b7.svg');width:250px;height:250px;background-repeat:no-repeat no-repeat"

}}}

[[삼각비]]를 이용하면 [math(\triangle {\rm ABC})]의 넓이인

[math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{2}ac\sin{B} \end{aligned} )] 가 된다.

이 공식을 조금 변형해

[math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{2}ac \sqrt{1-\cos^{2}{B}} \end{aligned} )] 를 얻는다.

제2 코사인 법칙[* [math(\displaystyle \begin{aligned} b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos{B} \end{aligned} )]]에 의해

[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{B}=\frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} \end{aligned} )] 로 하고,

이때, [math(\sin^{2}{B}+\cos^{2}{B}=1)]이니 [math(\sin {B}= 1- \cos {B})] 를 얻어서 다음을 만든다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}&=\dfrac{1}{2}ac\sin{B} =\dfrac{1}{2}ac \sqrt{1-\left(\frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} \right)^{2}} \end{aligned} )]

[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}&= \dfrac{1}{4}\sqrt{4a^{2}c^{2}-(a^2+c^2-b^{2})^{2}} \end{aligned} )]

[math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}& = \dfrac{1}{4}\sqrt{[ (a+c)^{2}-b^{2} ] [ b^{2}-(a-c)^{2} ]} \\&= \dfrac{1}{4}\sqrt{ (a+b+c)(a+c-b) (a+b-c)(b+c-a) } \end{aligned} )]

방금 이 식은 피타고라스 정리로 증명할 때 보았던 것이므로 [math(16s(s-a)(s-b)(s-c))] 다.

이제 공식이 나온다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore \triangle {\rm ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{aligned} )] 가 된다.