제곱근(r29판 RAW)

[[분류:수학]]
== 개요 ==
반대말은 제곱[* 또 [math(y=\sqrt{x})] 이 함수는 이차함수에 대해서 역함수다.]. [math(x^2=a)] 일 때 [math(x=\sqrt{a})],  [math(x=-\sqrt{a})]라고 하며 기호 [math(\sqrt{})]를 쓴다. 근호가 뿌리처럼 생겼다고 해서 기호 이름이 루트이다.

== 표현 ==
실수 [math(a)]에 대하여 제곱근을 말할 때, "[math(a)]__의__ 제곱근"과 "제곱근 [math(a)]" 두 용례의 혼동에 주의하자.
 * "[math(a)]의 제곱근"은 개요에서 설명하다시피  [math(\sqrt{a})], [math(-\sqrt{a})]를 가리킨다.
 * "제곱근 [math(a)]"는 [math(\sqrt{a})]를 가리킨다.
  * 따라서 "'[math(a)]의 제곱근'은 '__플러스__제곱근 [math(a)]'와 '__마이너스__ 제곱근 [math(a)]'이다." 라고 말해야 한다.
이는 세제곱근, 네제곱근 등 거듭제곱근에도 동일하다.  단, 제곱근의 개수와 그에 따른 표현이 다를 뿐이다.
 * 이를테면 [math(\sqrt[3]{a})]은 "세제곱근 [math(a)]", "[math(a)]의 실수의 세제곱근"으로 불러야 한다.
 * 또 이를테면 [math(\sqrt[4]{a})]는 "네제곱근 [math(a)]", "[math(a)]의 __양__의 네제곱근"으로 불러야 한다.  "__음__의 네제곱근"인 [math(-\sqrt[4]{a})]가 있기 때문.

한편 제곱근은 "분수"의 지수로 표현할 수 있다.  이를테면 [math(\sqrt{a})]의 경우 [math(\sqrt{a} = a^{{1}\over{2}})]로 지수에 [math({{1} \over {2}})]을 적음으로써 표현할 수 있다.
세제곱근의 경우 지수에  [math({{1} \over {3}})]을 적음으로써 표현할 수 있다.

== 허수 ==
[[허수]] 문서 참조.
=== i의 제곱근 ===
[math(i)]의 제곱근은 무엇인가 생각할 수 있다. 곧 [math(x^2=i)]를 만족하는 [math(x)]가 무엇인지 궁금할 수 있다.

이는 대소를 비교할 수 있는 수(실수)인 [math(a)], [math(b)]에 대하여 [math(x=a+bi)]로 치환한 방정식 [math(a+b i=\sqrt{i})]을 풀어보면 된다.
양변을 제곱해보면 미지수 [math(a)], [math(b)]에 대한 연립이차방정식을 얻을 수 있다. [math(\left(bi\right)^{2}=-b^{2})]가 되므로
[math(a^{2}-b^{2}+2ab i=i)]을 얻는다.  양변에서 실수부와 허수부를 비교해보면
[math(\begin{cases}
a^{2}-b^{2}=0 \quad\text{(실수부)} \\
2ab=1 \quad\text{(허수부)}
\end{cases})]
실수부의 좌변을 인수분해하면
[math(\left(a+b\right)\left(a-b\right)=0)]이 되므로
[math(a=b)] 또는 [math(a=-b)] 이라는 결과를 얻는다.

[math(a=-b)]를 허수부인 [math(2ab=1)]에 대입하여 미지수 [math(a)]를 소거하면 [math(-2b^{2}=1)]을 얻는다.  이는 정리하면 [math(b^{2}=-{{1}\over{2}})]가 되는데, [math(b)]가 실수라는 조건에 모순이 된다. [math(a=-b)]는 무리방정식에서 '''무연근'''(제곱을 하여 차수가 더블로 뻥튀기된 까닭에 발생된 근으로서 원래 방정식과 아무런 관계가 없는 근)임을 알 수 있다.

한편 [math(a=b)]를 허수부인 [math(2ab=1)]에 대입하여 미지수 [math(a)]를 소거하면 [math(2b^{2}=1)]을 얻고, 정리하면 [math(b^{2}={{1}\over{2}})]가 되어 다음을 얻게 된다.
[math(b={{\sqrt{2}}\over{2}})] 또는 [math(b=-{{\sqrt{2}}\over{2}})]
이를 [math(a=b)]에 대입하고, 앞에서 [math(x=a+bi)]에 대입하면 다음을 얻는다.
[math(x={{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] 또는 [math(x=-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]

따라서 [math(i)]의 제곱근은 [math({{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i)] 또는 [math(-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i)]임을 알 수 있다.

조금 더 식을 바꿔보면 다음과 같이 된다.
[math(\cos\left({{\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {4}}\right))], [math(\cos\left({{5\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{5\pi} \over {4}}\right))]
(실제로 복소평면[* 수직선을 생각해보면 이해하기 쉬운 개념이다. 실수부 수직선과 직교되는 허수부 수직선이 있다.  흔히 생각하는 좌표평면처럼 되며, 복소수를 점으로 표시할 수 있다.  단, 복소수는 대소를 비교할 수 없음에 유의하자.]상에서 [[삼각함수]]를 이런 용도로도 사용할 수 있다.  [math(i)]의 경우 [math(i=\cos\left({{\pi} \over {2}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {2}}\right))]가 된다.)

=== 세제곱근 ===
세제곱근 8인 [math(8 = \sqrt[3]8)] 은 실수 범위 내에서는 2이지만 복소수 범위에서는 [math(x=2 \text{ ,or }x=-1\pm\sqrt{3}i)]가 있다.

[math(x^3=-1)]이나 [math(x^3=1)]을 구해야 하는 경우가 있다.  이는 [math(\omega)] 기호를 이용하여 나타내기도 한다.
일단 [math(x^3-1=0)]로 이항한 후 인수분해를 하면 [math(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0)] 이 식이 되는데, 그러면 근은 [math(x=1\;\textsf{or}\;x=\dfrac{-1\pm \sqrt 3i}{2})] 이 된다. 한 허근이 [math(\omega)]이면 다른 허근은 켤레복소수이므로 [math(\overline \omega)]가 된다.

== 둘러보기 ==
 * [[제곱]]과 거듭제곱
  * [[지수]], 지수법칙, [[지수함수]]
  * [[로가리듬]], [[로그함수]] : 지수를 실수 범위로 확장한 지수법칙을 이용하면 로가리듬의 여러 성질을 증명할 수 있다.
 * [[방정식]]
  * [[이차방정식]]
  * [[허수]]와 [[복소수]]
  * [[무리방정식]]과 [[무연근]] : 근호를 이용한 방정식이다.