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허수(r2 RAW)

[[분류:수학]]
양수의 제곱은 양수이며 음수의 제곱은 양수가 된다. 여기에서 제곱하여 양수가 되는 수는 양수 아니면 음수임이 분명하므로 양수의 제곱근은 양수 또는 음수이다.

그런데, __제곱하면 음수가 되는 수__를 찾아야 하는 경우 곧 __음수의 제곱근__을 구해야 하는 경우가 있다. (이차방정식 문제를 풀다 보면 쉽게 겪을 수 있는 문제이다.) 조금 더 간략히 하자면 [math(x^2=-1)]을 만족하는 [math(x)]를 구해야 하는 경우가 있다.

앞의 [math(x^2=-1)]을 만족하는 [math(x)]은 [math(\sqrt{-1})], [math(-\sqrt{-1})]가 되며, 이러한 수는 "뭔지는 모르겠지만 하나의 문자식 같은 가상의 수라고 여기면서" 사칙연산을 하면 잘 된다고 한다.

여기에서 [math(\sqrt{-1})]가 있는 수를 허수(imaginary number)라고 부르며, imaginary의 머릿글자 i를 따서 [math(i=\sqrt{-1})]로 표기한다. ("실상"과 "허상"이라는 단어, "상상하다"는 의미가 들어있는 "imagine"이라는 단어를 떠올려보자.)

이렇게 하여 [math(a > 0)], [math(b > 0)]인 [math(a)], [math(b)]에 대하여 다음을 만족한다.
 * [math(i^2=-1)]이 된다.
  * [math(i^3=-i)], [math(i^4=1)]이 된다.  [math(i)]에 대한 거듭제곱은 4번 주기로 [math(i)], [math(-1)], [math(-i)],  [math(1)]이 순환된다.  (간혹 이를 이용한 문제를 볼 수 있다.  이를테면 "다음 [math(i^{2021})]을 간단히 하시오."같은 문제.)
 * 또한 [math(\sqrt{-a}=\sqrt{a}\times \sqrt{-1}=\sqrt{a}\times i)]를 만족한다.
 * [math(\sqrt{-a}\times\sqrt{-b})]의 계산은 주의해야 한다.
 [math(\sqrt{-a}\times\sqrt{-b}{\color{red}\neq}\sqrt{(-a)\times(-b)}=\sqrt{a\times b})]이다.
 [math(\sqrt{-a}\times\sqrt{-b}={\color{red}-}\sqrt{a\times b})]이다. 
 이유는 [math(\sqrt{-a}\times\sqrt{-b} = (\sqrt{a}{\color{blue}\times i})\times(\sqrt{b}{\color{blue}\times i}) = \sqrt{a}\times\sqrt{b}{\color{blue}\times i^2}={\color{blue}-}\sqrt{a\times b})]이기 때문.

전기공학 등 경우에 따라 [math(\sqrt{-1}=j)]로 표기하는 경우가 있다.  이는 전류를 뜻하는 [math(I)][* '''I'''ntensity of Current]와의 혼동을 피하기 위함이다.