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허수(r15 RAW)

[[분류:수학]]
[목차]

{{{+3 虛數 / Imaginary Number}}}

== 개요 ==
음수의 제곱근에 해당되는 값으로 정의한 수.

== 소개 ==
열람 주의 : [[실수체계]]가 먼저 이해되어야 합니다.

양수의 제곱은 양수이며 음수의 제곱은 양수가 된다. 여기에서 제곱하여 양수가 되는 수는 양수 아니면 음수임이 분명하므로 양수의 제곱근은 양수 또는 음수이다.

그런데, __제곱하면 음수가 되는 수__를 찾아야 하는 경우, 곧 __음수의 제곱근__을 구해야 하는 경우가 있다.[* 이차방정식 문제를 풀다 보면 쉽게 겪을 수 있는 문제이다.] 조금 더 간략히 하자면 [math(x^2=-1)]을 만족하는 [math(x)]를 구해야 하는 경우가 있다.

앞의 [math(x^2=-1)]을 만족하는 [math(x)]는 [math(±\sqrt{-1})]가 되며, 이러한 수는 "뭔지는 모르겠지만 하나의 문자식 같은 가상의 수라고 여기면서" 사칙연산을 하면 잘 된다고 한다.

여기에서 [math(\sqrt{-1})]가 있는 수를 허수(imaginary number)라고 부르며, imaginary의 머릿글자 i를 따서 [math(i=\sqrt{-1})]로 표기하고 [math(i)]는 허수단위라고 부른다.[* "실상"과 "허상"이라는 단어, "상상하다"는 의미가 들어있는 "imagine"이라는 단어를 떠올려보자.]

전기공학 등 전기와 관련된 물리현상을 공부하는 경우 허수단위를 [math(\sqrt{-1}=j)]로 표기하는 경우가 있다.  이는 전류를 뜻하는 [math(I)][* '''I'''ntensity of Current]와의 혼동을 피하기 위함이다.

{{{#!folding [각주 펼치기 • 접기]
[각주]}}}

== 성질 ==
=== 복소수 ===
두 실수 [math(a)], [math(b)]에 대하여 허수를 포함한 수를
||[math(a+b \times i)]||
로 나타내며 이를 '''복소수'''(complex number)라 부른다. --실수라고 부르기에는 콤플렉스가 있는 숫자-- 곱셈에 대한 혼동의 여지가 없으면 곱셈 기호를 생략하고
||[math(a+bi)]||
로 나타내며, 전자의 [math(a)]를 '''실수부'''(real part), 후자의 [math(b)]를 '''허수부'''(imaginary part)로 부른다.  (복합단지를 두고 "complex"라고 부른다.)

=== 허수단위에 대한 계산 ===
이렇게 하여 [math(a > 0)], [math(b > 0)]인 [math(a)], [math(b)]에 대하여 다음을 만족한다.
 * [math(i^2=-1)]이 된다.
  * [math(i^3=-i)], [math(i^4=1)]이 된다.  [math(i)]에 대한 거듭제곱은 4번 주기로 [math(i)], [math(-1)], [math(-i)],  [math(1)]이 순환된다.  (간혹 이를 이용한 문제를 볼 수 있다.  이를테면 "다음 [math(i^{2021})]을 간단히 하시오."같은 문제.)
 * 또한 [math(\sqrt{-a}=\sqrt{a}\times \sqrt{-1}=\sqrt{a}\times i)]를 만족한다.
 * [math(\sqrt{-a}\times\sqrt{-b})]의 계산은 주의해야 한다.
 [math(\sqrt{-a}\times\sqrt{-b}{\color{red}\neq}\sqrt{(-a)\times(-b)}=\sqrt{a\times b})]이다.
 [math(\sqrt{-a}\times\sqrt{-b}={\color{red}-}\sqrt{a\times b})]이다. 
 이유는 [math(\sqrt{-a}\times\sqrt{-b} = (\sqrt{a}{\color{blue}\times i})\times(\sqrt{b}{\color{blue}\times i}) = \sqrt{a}\times\sqrt{b}{\color{blue}\times i^2}={\color{blue}-}\sqrt{a\times b})]이기 때문.

=== 복소수체계 ===
앞의 실수체계에서 확장을 하여 복소수체계를 생각해볼 수 있다.

1. [math(\mathbb{C} = \left\{ a+bi\ |\ a,\ b\in\mathbb{R}\right\})]
인 복소수 전체의 집합 [math(\mathbb{C})]
2. 임의의 실수 [math(a_{R})], [math(a_{I})], [math(b_{R})], [math(b_{I})], [math(c_{R})], [math(c_{I})]에 대한 임의의 세 복소수([math(\mathbb{C})]의 임의의 세 원소)인 [math(a_{R}+a_{I}i)],  [math(b_{R}+b_{I}i)],  [math(c_{R}+c_{I}i)]을 생각해볼 수 있다.

이를 이용하면 덧셈, 곱셈에 대한 성질을 실수체계처럼 만족하는 복소수체계를 생각할 수 있다.  (단, 대소비교는 불가능하며 그 이유는 다음 문단 내용을 참조.)

=== 대소비교의 불가능 ===
허수는 일반적으로 대소비교가 불가능하다.  앞의 [[실수체계]]의 대소비교에 대한 성질을 끌어다 쓰면 모순되는 점이 발생하기 때문. 다시 말해 귀류법으로 쉽게(?) 모순점을 찾아낼 수 있다.