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더시드위키:연습장(r254 판)

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f′(x)=(x+x+⋯+x⏞x  times)′=lim⁡h→ 0{(x+h)+(x+h)+⋯+(x+h)⏞(x+h)  times}−(x+x+⋯+x⏞x  times)h=lim⁡h→ 0(h+h+⋯+h)⏞x  times+{(x+h)+(x+h)+⋯+(x+h)⏞h  times}h=x+lim⁡h→ 0(xh+h2)h=x+x=2x\begin{aligned}f'(x)&=(\overbrace{x+x+ \cdots +x}^{x\;\rm{times}})'\\&= \displaystyle\lim_{h \to \ 0} \frac {\{\overbrace{(x+h)+(x+h)+ \cdots +(x+h)}^{(x+h)\;\rm{times}}\} - (\overbrace{x+x+ \cdots +x}^{x\;\rm{times}})}{h}\\&= \displaystyle\lim_{h \to \ 0} \frac {(\overbrace{h+h+ \cdots +h)}^{x\;\rm{times}} + \{\overbrace{(x+h)+(x+h)+ \cdots +(x+h)}^{h\;\rm{times}}\}}{h}\\&=x +\displaystyle\lim_{h \to \ 0} \frac{(xh+h^2)}{h}\\&=x+x=2x\end{aligned}