제곱근(r12 판)

반대말은 제곱. $x^2=a$ 일 때 $x=\sqrt{a}$, $x=-\sqrt{a}$라고 하며 기호 $\sqrt{}$를 쓴다. 근호가 뿌리처럼 생겼다고 해서 기호 이름이 루트이다.

양수의 제곱은 양수이며 음수의 제곱은 양수가 된다. 여기에서 제곱하여 양수가 되는 수는 양수 아니면 음수임이 분명하므로 양수의 제곱근은 양수 또는 음수이다.

그런데, 제곱하면 음수가 되는 수를 찾아야 하는 경우 곧 음수의 제곱근을 구해야 하는 경우가 있다. (이차방정식 문제를 풀다 보면 쉽게 겪을 수 있는 문제이다.) 조금 더 간략히 하자면 $x^2=-1$을 만족하는 $x$를 구해야 하는 경우가 있다.

앞의 $x^2=-1$을 만족하는 $x$은 $\sqrt{-1}$, $-\sqrt{-1}$가 되며, 이러한 수는 "뭔지는 모르겠지만 하나의 문자식 같은 가상의 수라고 여기면서" 사칙연산을 하면 잘 된다고 한다.

여기에서 $\sqrt{-1}$가 있는 수를 허수(imaginary number)라고 부르며, imaginary의 머릿글자 i를 따서 로 표기한다. ("실상"과 "허상"이라는 단어, "상상하다"는 의미가 들어있는 "imagine"이라는 단어를 떠올려보자.)

이렇게 하여 $a > 0$, $b > 0$인 $a$, $b$에 대하여 다음을 만족한다.

전기공학 등 경우에 따라 $\sqrt{-1}=j$로 표기하는 경우가 있다. 이는 전류를 뜻하는 $I$[1]와의 혼동을 피하기 위함이다.

$i$의 제곱근은 무엇인가 생각할 수 있다. 곧 $x^2=i$를 만족하는 $x$가 무엇인지 궁금할 수 있다.

이는 대소를 비교할 수 있는 수인 $a$, $b$에 대하여 방정식 $a+b\times i=\sqrt{i}$을 풀어보면 된다. (양변을 제곱해보면 미지수 $a$, $b$에 대한 연립이차방정식을 얻을 수 있다.)

$x^3=-1$이나 $x^3=1$을 구해야 하는 경우가 있다. 이는 $\omega$ 기호를 이용하여 나타내기도 한다.