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코사인 법칙

분류

1. 제 1 코사인 법칙[편집]

a=bcos⁡C+ccos⁡Ba=b\cos C+c\cos B

b=ccos⁡A+acos⁡Cb=c\cos A+a\cos C

c=acos⁡B+bcos⁡Ac=a\cos B+b\cos A

2. 제 2 코사인 법칙[편집]

a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A

b2=c2+a2−2cacos⁡Bb^2=c^2+a^2-2ca\cos B

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C

cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

cos⁡B=c2+a2−b22ca\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}

cos⁡A=a2+b2−c22ab\cos A=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

2.1. 증명[편집]

파일:triangle.png

AB‾=c\rm\overline {AB}=c

BC‾=a\rm\overline {BC}=a

CA‾=b\rm\overline {CA}=b

AH‾=csin⁡B\rm\overline {AH}=c\sin B

BH‾=ccos⁡B\rm\overline {BH}=c\cos B

CH‾=a−ccos⁡B\rm\overline {CH}=a-c\cos B

By 피타고라스 정리, c2sin⁡2B+a2−2accos⁡B+c2cos⁡2B=b2c^2\sin^2 B+a^2-2ac\cos B+c^2\cos^2B=b^2

a2−2accos⁡B+c2(sin⁡2B+cos⁡2B)=b2a^2-2ac\cos B+c^2(\sin^2 B+\cos^2 B)=b^2

sin⁡2B+cos⁡2B=1\sin^2 B+\cos^2 B=1이므로

a2−2accos⁡B+c2=b2a^2-2ac\cos B+c^2=b^2

b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2=a^2+c^2-2ac\cos B

I.S.W.

b2=c2+a2−2cacos⁡Bb^2=c^2+a^2-2ca\cos B

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C

이를 정리하면

cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

cos⁡B=c2+a2−b22ca\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}

cos⁡A=a2+b2−c22ab\cos A=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}