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허수(r1 판)

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분류
양수의 제곱은 양수이며 음수의 제곱은 양수가 된다. 여기에서 제곱하여 양수가 되는 수는 양수 아니면 음수임이 분명하므로 양수의 제곱근은 양수 또는 음수이다.

그런데, 제곱하면 음수가 되는 수를 찾아야 하는 경우 곧 음수의 제곱근을 구해야 하는 경우가 있다. (이차방정식 문제를 풀다 보면 쉽게 겪을 수 있는 문제이다.) 조금 더 간략히 하자면 x2=−1x^2=-1을 만족하는 xx를 구해야 하는 경우가 있다.

앞의 x2=−1x^2=-1을 만족하는 xx은 −1\sqrt{-1}, −−1-\sqrt{-1}가 되며, 이러한 수는 "뭔지는 모르겠지만 하나의 문자식 같은 가상의 수라고 여기면서" 사칙연산을 하면 잘 된다고 한다.

여기에서 −1\sqrt{-1}가 있는 수를 허수(imaginary number)라고 부르며, imaginary의 머릿글자 i를 따서 로 표기한다. ("실상"과 "허상"이라는 단어, "상상하다"는 의미가 들어있는 "imagine"이라는 단어를 떠올려보자.)

이렇게 하여 a>0a > 0, b>0b > 0인 aa, bb에 대하여 다음을 만족한다.
  • i2=−1i^2=-1이 된다.
    • i3=−ii^3=-i, i4=1i^4=1이 된다. ii에 대한 거듭제곱은 4번 주기로 ii, −1-1, −i-i, 11이 순환된다. (간혹 이를 이용한 문제를 볼 수 있다. 이를테면 "다음 i2021i^{2021}을 간단히 하시오."같은 문제.)
  • 또한 −a=a×−1=a×i\sqrt{-a}=\sqrt{a}\times \sqrt{-1}=\sqrt{a}\times i를 만족한다.
  • −a×−b\sqrt{-a}\times\sqrt{-b}의 계산은 주의해야 한다.
    −a×−b≠(−a)×(−b)=a×b\sqrt{-a}\times\sqrt{-b}{\color{red}\neq}\sqrt{(-a)\times(-b)}=\sqrt{a\times b}이다.
    −a×−b=−a×b\sqrt{-a}\times\sqrt{-b}={\color{red}-}\sqrt{a\times b}이다.
    이유는 −a×−b=(a×i)×(b×i)=a×b×i2=−a×b\sqrt{-a}\times\sqrt{-b} = (\sqrt{a}{\color{blue}\times i})\times(\sqrt{b}{\color{blue}\times i}) = \sqrt{a}\times\sqrt{b}{\color{blue}\times i^2}={\color{blue}-}\sqrt{a\times b}이기 때문.

전기공학 등 경우에 따라 −1=j\sqrt{-1}=j로 표기하는 경우가 있다. 이는 전류를 뜻하는 II[1]와의 혼동을 피하기 위함이다.
[1] Intensity of Current