허수(r1 판)

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분류

수학

양수의 제곱은 양수이며 음수의 제곱은 양수가 된다. 여기에서 제곱하여 양수가 되는 수는 양수 아니면 음수임이 분명하므로 양수의 제곱근은 양수 또는 음수이다.

그런데, 제곱하면 음수가 되는 수를 찾아야 하는 경우 곧 음수의 제곱근을 구해야 하는 경우가 있다. (이차방정식 문제를 풀다 보면 쉽게 겪을 수 있는 문제이다.) 조금 더 간략히 하자면

x^2=-1

을 만족하는

x

를 구해야 하는 경우가 있다.

앞의

x^2=-1

을 만족하는

x

은

\sqrt{-1}

-\sqrt{-1}

가 되며, 이러한 수는 "뭔지는 모르겠지만 하나의 문자식 같은 가상의 수라고 여기면서" 사칙연산을 하면 잘 된다고 한다.

여기에서

\sqrt{-1}

가 있는 수를 허수(imaginary number)라고 부르며, imaginary의 머릿글자 i를 따서 로 표기한다. ("실상"과 "허상"이라는 단어, "상상하다"는 의미가 들어있는 "imagine"이라는 단어를 떠올려보자.)

이렇게 하여

a > 0

b > 0

인

a

b

에 대하여 다음을 만족한다.

$i^2=-1$ 이 된다.
- $i^3=-i$ , $i^4=1$ 이 된다. $i$ 에 대한 거듭제곱은 4번 주기로 $i$ , $-1$ , $-i$ , $1$ 이 순환된다. (간혹 이를 이용한 문제를 볼 수 있다. 이를테면 "다음 $i^{2021}$ 을 간단히 하시오."같은 문제.)
또한 $\sqrt{-a}=\sqrt{a}\times \sqrt{-1}=\sqrt{a}\times i$ 를 만족한다.
$\sqrt{-a}\times\sqrt{-b}$ 의 계산은 주의해야 한다.
$\sqrt{-a}\times\sqrt{-b}{\color{red}\neq}\sqrt{(-a)\times(-b)}=\sqrt{a\times b}$ 이다.
$\sqrt{-a}\times\sqrt{-b}={\color{red}-}\sqrt{a\times b}$ 이다.
이유는 $\sqrt{-a}\times\sqrt{-b} = (\sqrt{a}{\color{blue}\times i})\times(\sqrt{b}{\color{blue}\times i}) = \sqrt{a}\times\sqrt{b}{\color{blue}\times i^2}={\color{blue}-}\sqrt{a\times b}$ 이기 때문.

전기공학 등 경우에 따라

\sqrt{-1}=j

로 표기하는 경우가 있다. 이는 전류를 뜻하는

I

[1]와의 혼동을 피하기 위함이다.

[1] Intensity of Current