일반상대론의 작용량 정식화와 물질장 결합(r1 Blame)

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 [목차]
 == 개요 ==
 이 문서는 일반상대론의 중력 작용량과 여러 대표적인 물질장 작용량을 정리한다.
 기본적인 출발점은 전체 작용량이다.
 [math(
 S[g,\Psi]
 =
 S_{\mathrm{grav}}[g]
 +
 S_{\mathrm{matter}}[g,\Psi]
 +
 S_{\mathrm{boundary}}[g]
 )]
 여기서 [math(g_{\mu\nu})]는 시공간 계량이고, [math(\Psi)]는 모든 물질장을 상징한다.
 일반상대론에서 중력장은 계량 [math(g_{\mu\nu})] 자체이며, 계량에 대한 작용량의 변분은 Einstein 방정식을 준다.
 [math(
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
 =
 \kappa T_{\mu\nu}
 )]
 == 기본 규약 ==
 이 문서에서는 다음 부호 규약을 사용한다.
  * 계량 부호: [math((- + + +))]
  * 자연단위계: [math(c=\hbar=1)]
  * 중력 결합상수: [math(\kappa = 8\pi G)]
  * 계량 행렬식: [math(g=\det(g_{\mu\nu}))]
  * 부피요소: [math(\sqrt{-g}\,d^4x)]
 Minkowski 계량은 다음과 같이 둔다.
 [math(
 \eta_{ab}
 =
 \operatorname{diag}(-,+,+,+)
 )]
 곡률 텐서의 부호 규약은 다음과 같다.
 [math(
 [\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho
 =
 R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma
 )]
 이 규약에서 Einstein 텐서는
 [math(
 G_{\mu\nu}
 =
 R_{\mu\nu}
 -
 \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R
 )]
 로 정의된다.
 == 기하학적 기본량 ==
 === Levi-Civita 접속 ===
 일반상대론의 표준 접속은 비틀림이 없고 계량과 양립하는 Levi-Civita 접속이다.
 [math(
 \nabla_\rho g_{\mu\nu}=0
 )]
 [math(
 \Gamma^\rho_{\mu\nu}
 =
 \frac{1}{2}g^{\rho\sigma}
 \left(
 \partial_\mu g_{\nu\sigma}
 +
 \partial_\nu g_{\mu\sigma}
 -
 \partial_\sigma g_{\mu\nu}
 \right)
 )]
 === Riemann 곡률텐서 ===
 Riemann 곡률텐서는 다음과 같다.
 [math(
 R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}
 =
 \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma}
 -
 \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma}
 +
 \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
 -
 \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}
 )]
 Ricci 텐서는 Riemann 텐서의 수축으로 얻어진다.
 [math(
 R_{\mu\nu}
 =
 R^\rho{}_{\mu\rho\nu}
 )]
 Ricci 스칼라는 다시 계량으로 수축한 양이다.
 [math(
 R
 =
 g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}
 )]
 === Bianchi 항등식 ===
 Einstein 텐서는 다음 보존 항등식을 만족한다.
 [math(
 \nabla^\mu G_{\mu\nu}=0
 )]
 이 식은 물질 에너지-운동량 텐서의 공변보존과 직접 연결된다.
 [math(
 \nabla^\mu T_{\mu\nu}=0
 )]
 == 변분 공식 ==
 === 계량과 역계량의 변분 ===
 계량과 역계량은
 [math(
 g_{\mu\rho}g^{\rho\nu}
 =
 \delta_\mu{}^\nu
 )]
 를 만족하므로 변분하면
 [math(
 \delta g_{\mu\nu}
 =
 -
 g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}
 \delta g^{\rho\sigma}
 )]
 [math(
 \delta g^{\mu\nu}
 =
 -
 g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}
 \delta g_{\rho\sigma}
 )]
 를 얻는다.
 === 행렬식의 변분 ===
 계량 행렬식의 변분은
 [math(
 \delta g
 =
 g g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}
 =
 -
 g g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
 )]
 이다.
 따라서
 [math(
 \delta\sqrt{-g}
 =
 \frac{1}{2}\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}
 =
 -
 \frac{1}{2}\sqrt{-g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
 )]
 이다.
 === 접속의 변분 ===
 Levi-Civita 접속의 변분은 텐서이다.
 [math(
 \delta\Gamma^\rho_{\mu\nu}
 =
 \frac{1}{2}g^{\rho\sigma}
 \left(
 \nabla_\mu\delta g_{\nu\sigma}
 +
 \nabla_\nu\delta g_{\mu\sigma}
 -
 \nabla_\sigma\delta g_{\mu\nu}
 \right)
 )]
 === Palatini 항등식 ===
 Ricci 텐서의 변분은 다음 Palatini 항등식으로 주어진다.
 [math(
 \delta R_{\mu\nu}
 =
 \nabla_\rho \delta\Gamma^\rho_{\nu\mu}
 -
 \nabla_\nu \delta\Gamma^\rho_{\rho\mu}
 )]
 Ricci 스칼라의 변분은
 [math(
 \delta R
 =
 R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
 +
 g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}
 )]
 이며, 전체 미분항까지 포함하면
 [math(
 \delta R
 =
 R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
 +
 \nabla_\rho
 \left(
 g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\rho_{\mu\nu}
 -
 g^{\rho\nu}\delta\Gamma^\mu_{\mu\nu}
 \right)
 )]
 이다.
 또는 다음과 같이 쓸 수 있다.
 [math(
 \delta R
 =
 R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
 +
 g_{\mu\nu}\Box\delta g^{\mu\nu}
 -
 \nabla_\mu\nabla_\nu\delta g^{\mu\nu}
 )]
 == Einstein-Hilbert 작용량 ==
 순수 중력 작용량은 Einstein-Hilbert 작용량이다.
 [math(
 S_{\mathrm{EH}}
 =
 \frac{1}{2\kappa}
 \int_{\mathcal M} d^4x\sqrt{-g}\,R
 )]
 우주상수를 포함하면
 [math(
 S_{\mathrm{grav}}
 =
 \frac{1}{2\kappa}
 \int_{\mathcal M} d^4x\sqrt{-g}
 \left(
 R-2\Lambda
 \right)
 )]
 이다.
 계량에 대해 변분하면
 [math(
 \delta S_{\mathrm{grav}}
 =
 \frac{1}{2\kappa}
 \int_{\mathcal M} d^4x\sqrt{-g}
 \left(
 R_{\mu\nu}
 -
 \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
 \right)
 \delta g^{\mu\nu}
 +
 \text{boundary}
 )]
 를 얻는다.
 따라서 경계항이 적절히 처리되면 중력장 방정식은
 [math(
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
 =
 \kappa T_{\mu\nu}
 )]
 이다.
 == Gibbons-Hawking-York 경계항 ==
 Einstein-Hilbert 작용량은 계량의 2계 미분을 포함하므로, Dirichlet 경계조건에서 잘 정의된 변분 원리를 얻으려면 경계항이 필요하다.
 경계의 단위 법선벡터를 [math(n^\mu)]라 하면
 [math(
 n_\mu n^\mu = \epsilon
 )]
 이며,
 [math(
 \epsilon
 =
 \begin{cases}
 +1, & \partial\mathcal M\ \text{timelike}\\
 -1, & \partial\mathcal M\ \text{spacelike}
 \end{cases}
 )]
 이다.
 유도계량은
 [math(
 h_{\mu\nu}
 =
 g_{\mu\nu}
 -
 \epsilon n_\mu n_\nu
 )]
 이다.
 외재곡률은
 [math(
 K_{\mu\nu}
 =
 h_\mu{}^\rho h_\nu{}^\sigma \nabla_\rho n_\sigma
 )]
 이고,
 [math(
 K=h^{\mu\nu}K_{\mu\nu}
 )]
 이다.
 Gibbons-Hawking-York 항은
 [math(
 S_{\mathrm{GHY}}
 =
 \frac{1}{\kappa}
 \int_{\partial\mathcal M}
 d^3y\sqrt{|h|}\,\epsilon K
 )]
 이다.
 따라서 전체 중력 작용량은
 [math(
 S_{\mathrm{grav}}
 =
 \frac{1}{2\kappa}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left(R-2\Lambda\right)
 +
 \frac{1}{\kappa}
 \int_{\partial\mathcal M}d^3y\sqrt{|h|}\,\epsilon K
 )]
 이다.
 == 물질 작용량과 에너지-운동량 텐서 ==
 물질장 작용량은 일반적으로 다음과 같이 쓴다.
 [math(
 S_{\mathrm{matter}}
 =
 \int_{\mathcal M} d^4x\sqrt{-g}\,
 \mathcal L_{\mathrm{matter}}
 )]
 에너지-운동량 텐서는 물질 작용량을 계량에 대해 변분하여 정의한다.
 [math(
 T_{\mu\nu}
 :=
 -
 \frac{2}{\sqrt{-g}}
 \frac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta g^{\mu\nu}}
 )]
 따라서 물질 작용량의 계량 변분은
 [math(
 \delta S_{\mathrm{matter}}
 =
 -
 \frac{1}{2}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
 )]
 이다.
 전체 변분은
 [math(
 \delta S
 =
 \frac{1}{2\kappa}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left(
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
 \right)
 \delta g^{\mu\nu}
 -
 \frac{1}{2}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
 )]
 이므로,
 [math(
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
 =
 \kappa T_{\mu\nu}
 )]
 를 얻는다.
 == 실수 스칼라장 ==
 === 최소 결합 스칼라장 ===
 실수 스칼라장 [math(\phi)]의 최소 결합 작용량은
 [math(
 S_\phi
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 -
 \frac{1}{2}g^{\mu\nu}\nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi
 -
 V(\phi)
 \right]
 )]
 이다.
 스칼라장에 대해서는
 [math(
 \nabla_\mu\phi=\partial_\mu\phi
 )]
 이다.
 운동방정식은
 [math(
 \Box\phi
 -
 \frac{dV}{d\phi}
 =
 )]
 이다.
 여기서
 [math(
 \Box\phi
 =
 \nabla_\mu\nabla^\mu\phi
 =
 \frac{1}{\sqrt{-g}}
 \partial_\mu
 \left(
 \sqrt{-g}g^{\mu\nu}\partial_\nu\phi
 \right)
 )]
 이다.
 에너지-운동량 텐서는
 [math(
 T_{\mu\nu}^{(\phi)}
 =
 \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi
 -
 \frac{1}{2}g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
 -
 g_{\mu\nu}V(\phi)
 )]
 이다.
 === 질량항과 자기상호작용 ===
 대표적인 퍼텐셜은
 [math(
 V(\phi)
 =
 \frac{1}{2}m^2\phi^2
 +
 \frac{\lambda}{4!}\phi^4
 )]
 이다.
 운동방정식은
 [math(
 \Box\phi
 -
 m^2\phi
 -
 \frac{\lambda}{3!}\phi^3
 =
 )]
 이다.
 === 비최소 결합 스칼라장 ===
 곡률과 직접 결합하는 스칼라장 작용량은
 [math(
 S_\phi
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 -
 \frac{1}{2}g^{\mu\nu}\nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi
 -
 V(\phi)
 -
 \frac{1}{2}\xi R\phi^2
 \right]
 )]
 이다.
 운동방정식은
 [math(
 \Box\phi
 -
 \frac{dV}{d\phi}
 -
 \xi R\phi
 =
 )]
 이다.
 에너지-운동량 텐서는
 [math(
 T_{\mu\nu}^{(\phi,\xi)}
 =
 \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi
 -
 \frac{1}{2}g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
 -
 g_{\mu\nu}V(\phi)
 +
 \xi
 \left[
 G_{\mu\nu}\phi^2
 +
 g_{\mu\nu}\Box(\phi^2)
 -
 \nabla_\mu\nabla_\nu(\phi^2)
 \right]
 )]
 이다.
 [math(D)]차원에서 conformal coupling은
 [math(
 \xi_{\mathrm{conf}}
 =
 \frac{D-2}{4(D-1)}
 )]
 이다.
 [math(D=4)]에서는
 [math(
 \xi_{\mathrm{conf}}=\frac{1}{6}
 )]
 이다.
 == 복소 스칼라장 ==
 복소 스칼라장 [math(\Phi)]의 작용량은
 [math(
 S_\Phi
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 -
 g^{\mu\nu}\nabla_\mu\Phi^\ast\nabla_\nu\Phi
 -
 V(|\Phi|^2)
 \right]
 )]
 이다.
 운동방정식은
 [math(
 \Box\Phi
 -
 \frac{\partial V}{\partial \Phi^\ast}
 =
 )]
 [math(
 \Box\Phi^\ast
 -
 \frac{\partial V}{\partial \Phi}
 =
 )]
 이다.
 [math(U(1))] 대칭
 [math(
 \Phi\mapsto e^{i\alpha}\Phi
 )]
 이 있으면 Noether 전류는
 [math(
 j^\mu
 =
 -i
 \left(
 \Phi^\ast\nabla^\mu\Phi
 -
 \Phi\nabla^\mu\Phi^\ast
 \right)
 )]
 이다.
 on-shell에서
 [math(
 \nabla_\mu j^\mu=0
 )]
 이다.
 에너지-운동량 텐서는
 [math(
 T_{\mu\nu}^{(\Phi)}
 =
 \nabla_\mu\Phi^\ast\nabla_\nu\Phi
 +
 \nabla_\nu\Phi^\ast\nabla_\mu\Phi
 -
 g_{\mu\nu}
 \left(
 \nabla_\rho\Phi^\ast\nabla^\rho\Phi
 +
 V(|\Phi|^2)
 \right)
 )]
 이다.
 == 전자기장 ==
 === Maxwell 작용량 ===
 전자기 퍼텐셜 [math(A_\mu)]의 장세기는
 [math(
 F_{\mu\nu}
 =
 \nabla_\mu A_\nu
 -
 \nabla_\nu A_\mu
 =
 \partial_\mu A_\nu
 -
 \partial_\nu A_\mu
 )]
 이다.
 Maxwell 작용량은
 [math(
 S_{\mathrm{EM}}
 =
 -
 \frac{1}{4}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
 )]
 이다.
 외부 전류 [math(J^\mu)]와 결합하면
 [math(
 S_{\mathrm{EM+J}}
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 -
 \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
 -
 J^\mu A_\mu
 \right]
 )]
 이다.
 [math(A_\mu)]에 대한 변분은 Maxwell 방정식을 준다.
 [math(
 \nabla_\mu F^{\mu\nu}
 =
 J^\nu
 )]
 Bianchi 항등식은
 [math(
 \nabla_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0
 )]
 이다.
 미분형식으로는
 [math(
 dF=0
 )]
 이다.
 에너지-운동량 텐서는
 [math(
 T_{\mu\nu}^{(\mathrm{EM})}
 =
 F_{\mu\rho}F_\nu{}^\rho
 -
 \frac{1}{4}g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}
 )]
 이다.
 [math(D=4)]에서 Maxwell 에너지-운동량 텐서는 traceless이다.
 [math(
 T^\mu{}_\mu=0
 )]
 === Lorenz gauge ===
 Lorenz gauge는
 [math(
 \nabla_\mu A^\mu=0
 )]
 이다.
 이 gauge에서 Maxwell 방정식은
 [math(
 \Box A_\nu
 -
 R_{\nu\mu}A^\mu
 =
 -J_\nu
 )]
 형태가 된다.
 == 전하를 가진 스칼라장 ==
 복소 스칼라장 [math(\Phi)]가 [math(U(1))] gauge 장 [math(A_\mu)]에 결합하면
 [math(
 D_\mu\Phi
 =
 \left(
 \nabla_\mu
 -
 iqA_\mu
 \right)\Phi
 )]
 이다.
 작용량은
 [math(
 S
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 -
 \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
 -
 g^{\mu\nu}(D_\mu\Phi)^\ast D_\nu\Phi
 -
 V(|\Phi|^2)
 \right]
 )]
 이다.
 Higgs형 퍼텐셜은
 [math(
 V(|\Phi|^2)
 =
 \lambda
 \left(
 |\Phi|^2
 -
 \frac{v^2}{2}
 \right)^2
 )]
 이다.
 스칼라장 방정식은
 [math(
 D_\mu D^\mu\Phi
 -
 \frac{\partial V}{\partial\Phi^\ast}
 =
 )]
 이다.
 Gauge 장 방정식은
 [math(
 \nabla_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu
 )]
 이다.
 여기서
 [math(
 J^\nu
 =
 iq
 \left[
 \Phi^\ast D^\nu\Phi
 -
 \Phi(D^\nu\Phi)^\ast
 \right]
 )]
 이다.
 == Yang-Mills 장 ==
 비가환 gauge 군 [math(G)]의 Lie algebra 생성자를 [math(T^a)]라 하자.
 [math(
 [T^a,T^b]
 =
 if^{abc}T^c
 )]
 Gauge 장은
 [math(
 A_\mu=A_\mu^aT^a
 )]
 이다.
 공변미분은
 [math(
 D_\mu
 =
 \nabla_\mu
 -
 igA_\mu
 )]
 이다.
 장세기는
 [math(
 F_{\mu\nu}
 =
 \frac{i}{g}[D_\mu,D_\nu]
 =
 \partial_\mu A_\nu
 -
 \partial_\nu A_\mu
 -
 ig[A_\mu,A_\nu]
 )]
 이다.
 성분으로는
 [math(
 F_{\mu\nu}^a
 =
 \partial_\mu A_\nu^a
 -
 \partial_\nu A_\mu^a
 +
 gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c
 )]
 이다.
 Yang-Mills 작용량은
 [math(
 S_{\mathrm{YM}}
 =
 -
 \frac{1}{2}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \operatorname{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})
 )]
 이다.
 정규화를
 [math(
 \operatorname{Tr}(T^aT^b)
 =
 \frac{1}{2}\delta^{ab}
 )]
 로 잡으면
 [math(
 S_{\mathrm{YM}}
 =
 -
 \frac{1}{4}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}
 )]
 이다.
 운동방정식은
 [math(
 D_\mu F^{\mu\nu}=0
 )]
 이다.
 성분으로는
 [math(
 \nabla_\mu F^{a\mu\nu}
 +
 gf^{abc}A_\mu^bF^{c\mu\nu}
 =
 )]
 이다.
 에너지-운동량 텐서는
 [math(
 T_{\mu\nu}^{(\mathrm{YM})}
 =
 F_{\mu\rho}^aF_\nu{}^{a\rho}
 -
 \frac{1}{4}g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}^aF^{a\rho\sigma}
 )]
 이다.
 == Dirac 스피너장 ==
 === Vierbein ===
 스피너장을 곡률시공간에 결합하려면 vierbein이 필요하다.
 [math(
 g_{\mu\nu}
 =
 e_\mu{}^a e_\nu{}^b\eta_{ab}
 )]
 역 vierbein은
 [math(
 e^\mu{}_a e_\mu{}^b
 =
 \delta_a{}^b
 )]
 [math(
 e^\mu{}_a e_\nu{}^a
 =
 \delta^\mu{}_\nu
 )]
 를 만족한다.
 곡률공간 gamma matrix는
 [math(
 \gamma^\mu
 =
 e^\mu{}_a\gamma^a
 )]
 이다.
 평탄공간 gamma matrix는
 [math(
 \{\gamma^a,\gamma^b\}
 =
 \eta^{ab}
 )]
 를 만족한다.
 따라서
 [math(
 \{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}
 =
 g^{\mu\nu}
 )]
 이다.
 === Spin connection ===
 스피너 공변미분은
 [math(
 \nabla_\mu\psi
 =
 \partial_\mu\psi
 +
 \frac{1}{4}\omega_{\mu ab}\gamma^{ab}\psi
 )]
 이다.
 여기서
 [math(
 \gamma^{ab}
 =
 \frac{1}{2}[\gamma^a,\gamma^b]
 )]
 이다.
 Dirac adjoint는
 [math(
 \bar\psi
 =
 \psi^\dagger\gamma^0
 )]
 이다.
 adjoint에 대한 공변미분은
 [math(
 \nabla_\mu\bar\psi
 =
 \partial_\mu\bar\psi
 -
 \frac{1}{4}\omega_{\mu ab}\bar\psi\gamma^{ab}
 )]
 이다.
 === Dirac 작용량 ===
 곡률시공간에서 Dirac 작용량은
 [math(
 S_{\mathrm{Dirac}}
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\,e
 \left[
 \frac{i}{2}
 \left(
 \bar\psi\gamma^\mu\nabla_\mu\psi
 -
 \nabla_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi
 \right)
 -
 m\bar\psi\psi
 \right]
 )]
 이다.
 여기서
 [math(
 e=\det(e_\mu{}^a)=\sqrt{-g}
 )]
 이다.
 운동방정식은
 [math(
 i\gamma^\mu\nabla_\mu\psi
 -
 m\psi
 =
 )]
 이다.
 adjoint 방정식은
 [math(
 i\nabla_\mu\bar\psi\gamma^\mu
 +
 m\bar\psi
 =
 )]
 이다.
 Gauge 장과 결합하면
 [math(
 D_\mu\psi
 =
 \nabla_\mu\psi
 -
 iqA_\mu\psi
 )]
 이다.
 Dirac 전류는
 [math(
 j^\mu
 =
 q\bar\psi\gamma^\mu\psi
 )]
 이다.
 == Proca 장 ==
 질량을 가진 벡터장 [math(A_\mu)]의 작용량은
 [math(
 S_{\mathrm{Proca}}
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 -
 \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
 -
 \frac{1}{2}m^2A_\mu A^\mu
 \right]
 )]
 이다.
 운동방정식은
 [math(
 \nabla_\mu F^{\mu\nu}
 -
 m^2A^\nu
 =
 )]
 이다.
 발산을 취하면
 [math(
 m^2\nabla_\nu A^\nu=0
 )]
 이다.
 따라서 [math(m\neq0)]이면
 [math(
 \nabla_\nu A^\nu=0
 )]
 이다.
 에너지-운동량 텐서는
 [math(
 T_{\mu\nu}^{(\mathrm{Proca})}
 =
 F_{\mu\rho}F_\nu{}^\rho
 -
 \frac{1}{4}g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}
 +
 m^2
 \left(
 A_\mu A_\nu
 -
 \frac{1}{2}g_{\mu\nu}A_\rho A^\rho
 \right)
 )]
 이다.
 == p-form 장 ==
 [math(p)]-form gauge potential을
 [math(
 A_p
 =
 \frac{1}{p!}
 A_{\mu_1\cdots\mu_p}
 dx^{\mu_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\mu_p}
 )]
 라 하자.
 장세기는
 [math(
 F_{p+1}=dA_p
 )]
 이다.
 성분으로는
 [math(
 F_{\mu_0\mu_1\cdots\mu_p}
 =
 (p+1)\partial_{[\mu_0}A_{\mu_1\cdots\mu_p]}
 )]
 이다.
 작용량은
 [math(
 S_p
 =
 -
 \frac{1}{2(p+1)!}
 \int_{\mathcal M}d^Dx\sqrt{-g}
 F_{\mu_1\cdots\mu_{p+1}}
 F^{\mu_1\cdots\mu_{p+1}}
 )]
 이다.
 운동방정식은
 [math(
 \nabla_{\mu_1}
 F^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{p+1}}
 =
 )]
 이다.
 미분형식으로는
 [math(
 d\star F_{p+1}=0
 )]
 이다.
 Bianchi 항등식은
 [math(
 dF_{p+1}=0
 )]
 이다.
 에너지-운동량 텐서는
 [math(
 T_{\mu\nu}^{(p)}
 =
 \frac{1}{p!}
 F_{\mu\alpha_1\cdots\alpha_p}
 F_\nu{}^{\alpha_1\cdots\alpha_p}
 -
 \frac{1}{2(p+1)!}g_{\mu\nu}
 F_{\alpha_0\cdots\alpha_p}
 F^{\alpha_0\cdots\alpha_p}
 )]
 이다.
 == 완전유체 ==
 완전유체의 에너지-운동량 텐서는
 [math(
 T_{\mu\nu}
 =
 (\rho+p)u_\mu u_\nu
 +
 pg_{\mu\nu}
 )]
 이다.
 여기서
 [math(
 u_\mu u^\mu=-1
 )]
 이다.
 보존방정식은
 [math(
 \nabla_\mu T^{\mu\nu}=0
 )]
 이다.
 [math(u^\nu)] 방향으로 사영하면 에너지 보존식을 얻는다.
 [math(
 u^\mu\nabla_\mu\rho
 +
 (\rho+p)\nabla_\mu u^\mu
 =
 )]
 공간 투영텐서를
 [math(
 P_{\mu\nu}
 =
 g_{\mu\nu}
 +
 u_\mu u_\nu
 )]
 라 하면 Euler 방정식은
 [math(
 (\rho+p)u^\mu\nabla_\mu u_\alpha
 +
 P_\alpha{}^\mu\nabla_\mu p
 =
 )]
 이다.
 현상론적 유체 작용량은
 [math(
 S_{\mathrm{fluid}}
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}\,
 \mathcal L_{\mathrm{fluid}}
 )]
 로 쓸 수 있다.
 특정 조건에서는
 [math(
 \mathcal L_{\mathrm{fluid}}=p
 )]
 로 둘 수 있지만, 완전한 변분 원리에는 입자수 보존, 엔트로피 보존, 유체 좌표 등의 제약조건이 필요하다.
 == 점입자 작용량 ==
 질량 [math(m)]을 가진 자유 점입자의 작용량은
 [math(
 S_{\mathrm{particle}}
 =
 -m\int d\tau
 )]
 이다.
 일반 매개변수 [math(\lambda)]를 쓰면
 [math(
 S_{\mathrm{particle}}
 =
 -m
 \int d\lambda
 \sqrt{
 -
 g_{\mu\nu}(x)
 \frac{dx^\mu}{d\lambda}
 \frac{dx^\nu}{d\lambda}
 }
 )]
 이다.
 변분하면 측지선 방정식을 얻는다.
 [math(
 \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}
 +
 \Gamma^\mu_{\rho\sigma}
 \frac{dx^\rho}{d\tau}
 \frac{dx^\sigma}{d\tau}
 =
 )]
 전자기장과 결합한 전하 [math(q)]의 점입자 작용량은
 [math(
 S
 =
 -m\int d\tau
 +
 q\int A_\mu dx^\mu
 )]
 이다.
 운동방정식은 Lorentz force 법칙이다.
 [math(
 m
 \left(
 \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}
 +
 \Gamma^\mu_{\rho\sigma}
 \frac{dx^\rho}{d\tau}
 \frac{dx^\sigma}{d\tau}
 \right)
 =
 qF^\mu{}_\nu
 \frac{dx^\nu}{d\tau}
 )]
 == FLRW 우주론에서의 작용량 ==
 FLRW 계량은
 [math(
 ds^2
 =
 -
 N(t)^2dt^2
 +
 a(t)^2
 \left[
 \frac{dr^2}{1-kr^2}
 +
 r^2d\Omega_2^2
 \right]
 )]
 이다.
 평탄한 경우 [math(k=0)]이면
 [math(
 ds^2
 =
 -
 N(t)^2dt^2
 +
 a(t)^2\delta_{ij}dx^idx^j
 )]
 이다.
 공간 부피를 [math(V_0)]라 하면, 중력 작용량은 부분적분 후
 [math(
 S_{\mathrm{grav}}
 =
 \frac{3V_0}{\kappa}
 \int dt
 \left[
 -
 \frac{a\dot a^2}{N}
 +
 kNa
 -
 \frac{\Lambda}{3}Na^3
 \right]
 )]
 이다.
 균질 스칼라장 [math(\phi(t))]의 작용량은
 [math(
 S_\phi
 =
 V_0
 \int dt\,
 Na^3
 \left[
 \frac{1}{2N^2}\dot\phi^2
 -
 V(\phi)
 \right]
 )]
 이다.
 전체 minisuperspace 작용량은
 [math(
 S
 =
 V_0
 \int dt
 \left[
 \frac{3}{\kappa}
 \left(
 -
 \frac{a\dot a^2}{N}
 +
 kNa
 -
 \frac{\Lambda}{3}Na^3
 \right)
 +
 Na^3
 \left(
 \frac{\dot\phi^2}{2N^2}
 -
 V(\phi)
 \right)
 \right]
 )]
 이다.
 [math(N)]에 대한 변분은 Friedmann constraint를 준다.
 [math(
 H^2
 +
 \frac{k}{a^2}
 =
 \frac{\kappa}{3}\rho
 +
 \frac{\Lambda}{3}
 )]
 여기서
 [math(
 H=\frac{\dot a}{a}
 )]
 이다.
 스칼라장의 에너지 밀도와 압력은
 [math(
 \rho_\phi
 =
 \frac{1}{2}\dot\phi^2
 +
 V(\phi)
 )]
 [math(
 p_\phi
 =
 \frac{1}{2}\dot\phi^2
 -
 V(\phi)
 )]
 이다.
 스칼라장 방정식은
 [math(
 \ddot\phi
 +
 H\dot\phi
 +
 \frac{dV}{d\phi}
 =
 )]
 이다.
 == ADM 분해 ==
 ADM 형식에서 계량은
 [math(
 ds^2
 =
 -
 N^2dt^2
 +
 h_{ij}
 \left(
 dx^i+N^idt
 \right)
 \left(
 dx^j+N^jdt
 \right)
 )]
 이다.
 여기서
  * [math(N)]: lapse
  * [math(N^i)]: shift
  * [math(h_{ij})]: 공간 3-계량
 외재곡률은
 [math(
 K_{ij}
 =
 \frac{1}{2N}
 \left(
 \dot h_{ij}
 -
 D_iN_j
 -
 D_jN_i
 \right)
 )]
 이다.
 ADM 중력 작용량은
 [math(
 S_{\mathrm{ADM}}
 =
 \frac{1}{2\kappa}
 \int dt\,d^3x\,
 N\sqrt h
 \left(
 {}^{(3)}R
 +
 K_{ij}K^{ij}
 -
 K^2
 -
 \Lambda
 \right)
 )]
 이다.
 켤레운동량은
 [math(
 \pi^{ij}
 =
 \frac{\sqrt h}{2\kappa}
 \left(
 K^{ij}
 -
 h^{ij}K
 \right)
 )]
 이다.
 Hamiltonian constraint는
 [math(
 \mathcal H
 =
 \frac{2\kappa}{\sqrt h}
 \left(
 \pi_{ij}\pi^{ij}
 -
 \frac{1}{2}\pi^2
 \right)
 -
 \frac{\sqrt h}{2\kappa}
 \left(
 {}^{(3)}R
 -
 \Lambda
 \right)
 +
 \mathcal H_{\mathrm{matter}}
 =
 )]
 이다.
 Momentum constraint는
 [math(
 \mathcal H_i
 =
 -2D_j\pi^j{}_i
 +
 \mathcal H_{i,\mathrm{matter}}
 =
 )]
 이다.
 전체 Hamiltonian은
 [math(
 H
 =
 \int d^3x
 \left(
 N\mathcal H
 +
 N^i\mathcal H_i
 \right)
 +
 H_{\partial\Sigma}
 )]
 이다.
 == Einstein-Maxwell 이론 ==
 Einstein-Maxwell 작용량은
 [math(
 S
 =
 \frac{1}{2\kappa}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left(
 R-2\Lambda
 \right)
 -
 \frac{1}{4}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 )]
 이다.
 장방정식은
 [math(
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
 =
 \kappa
 \left(
 F_{\mu\rho}F_\nu{}^\rho
 -
 \frac{1}{4}g_{\mu\nu}
 F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}
 \right)
 )]
 [math(
 \nabla_\mu F^{\mu\nu}=0
 )]
 [math(
 \nabla_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0
 )]
 이다.
 Reissner-Nordström 계량은
 [math(
 ds^2
 =
 -
 f(r)dt^2
 +
 \frac{dr^2}{f(r)}
 +
 r^2d\Omega_2^2
 )]
 [math(
 f(r)
 =
 -
 \frac{2GM}{r}
 +
 \frac{GQ^2}{4\pi r^2}
 -
 \frac{\Lambda r^2}{3}
 )]
 형태이다.
 단, 전자기장 정규화에 따라 [math(Q)] 앞의 계수는 달라질 수 있다.
 == Einstein-Klein-Gordon 이론 ==
 Einstein-Klein-Gordon 작용량은
 [math(
 S
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 \frac{1}{2\kappa}
 \left(
 R-2\Lambda
 \right)
 -
 \frac{1}{2}
 \nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
 -
 V(\phi)
 \right]
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 )]
 이다.
 장방정식은
 [math(
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
 =
 \kappa
 \left[
 \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi
 -
 \frac{1}{2}g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
 -
 g_{\mu\nu}V(\phi)
 \right]
 )]
 [math(
 \Box\phi
 -
 V'(\phi)
 =
 )]
 이다.
 == Einstein-Yang-Mills 이론 ==
 Einstein-Yang-Mills 작용량은
 [math(
 S
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 \frac{1}{2\kappa}
 \left(
 R-2\Lambda
 \right)
 -
 \frac{1}{4}F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}
 \right]
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 )]
 이다.
 장방정식은
 [math(
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
 =
 \kappa
 \left[
 F_{\mu\rho}^aF_\nu{}^{a\rho}
 -
 \frac{1}{4}g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}^aF^{a\rho\sigma}
 \right]
 )]
 [math(
 D_\mu F^{a\mu\nu}=0
 )]
 이다.
 == 곡률 제곱 보정 ==
 유효장론 또는 고차곡률 중력에서는 다음 항들이 등장한다.
 [math(
 S
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 \frac{1}{2\kappa}
 \left(
 R-2\Lambda
 \right)
 +
 \alpha R^2
 +
 \beta R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}
 +
 \gamma R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma}
 \right]
 )]
 [math(D=4)]에서 Gauss-Bonnet 조합은
 [math(
 \mathcal G
 =
 R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma}
 -
 R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}
 +
 R^2
 )]
 이다.
 작용량
 [math(
 S_{\mathrm{GB}}
 =
 \alpha_{\mathrm{GB}}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}\,\mathcal G
 )]
 은 [math(D=4)]에서 위상항이다.
 [math(f(R))] 중력은
 [math(
 S_{f(R)}
 =
 \frac{1}{2\kappa}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}\,
 f(R)
 +
 S_{\mathrm{matter}}
 )]
 로 정의된다.
 장방정식은
 [math(
 f_R R_{\mu\nu}
 -
 \frac{1}{2}fg_{\mu\nu}
 -
 \nabla_\mu\nabla_\nu f_R
 +
 g_{\mu\nu}\Box f_R
 =
 \kappa T_{\mu\nu}
 )]
 이다.
 여기서
 [math(
 f_R=\frac{df}{dR}
 )]
 이다.
 trace를 취하면
 [math(
 f_RR
 -
 f
 +
 \Box f_R
 =
 \kappa T
 )]
 이다.
 == 스칼라-텐서 이론 ==
 Jordan frame에서 일반적인 스칼라-텐서 작용량은
 [math(
 S
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 \frac{1}{2\kappa}
 F(\phi)R
 -
 \frac{1}{2}Z(\phi)
 g^{\mu\nu}\nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi
 -
 U(\phi)
 \right]
 +
 S_{\mathrm{matter}}[g_{\mu\nu},\Psi]
 )]
 이다.
 계량 변분은
 [math(
 F(\phi)G_{\mu\nu}
 =
 \kappa T_{\mu\nu}
 +
 Z(\phi)
 \left(
 \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi
 -
 \frac{1}{2}g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
 \right)
 -
 g_{\mu\nu}U(\phi)
 +
 \nabla_\mu\nabla_\nu F
 -
 g_{\mu\nu}\Box F
 )]
 이다.
 스칼라장 방정식은
 [math(
 Z(\phi)\Box\phi
 +
 \frac{1}{2}Z'(\phi)\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
 +
 \frac{1}{2\kappa}F'(\phi)R
 -
 U'(\phi)
 =
 )]
 이다.
 Brans-Dicke 이론은
 [math(
 S_{\mathrm{BD}}
 =
 \frac{1}{16\pi}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 \phi R
 -
 \frac{\omega_{\mathrm{BD}}}{\phi}
 \nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
 \right]
 +
 S_{\mathrm{matter}}
 )]
 이다.
 == 미분동형사상 불변성과 Noether 항등식 ==
 무한소 좌표변환은 벡터장 [math(\xi^\mu)]에 의해 생성된다.
 계량의 Lie derivative는
 [math(
 \delta_\xi g_{\mu\nu}
 =
 \mathcal L_\xi g_{\mu\nu}
 =
 \nabla_\mu\xi_\nu
 +
 \nabla_\nu\xi_\mu
 )]
 이다.
 역계량에 대해서는
 [math(
 \delta_\xi g^{\mu\nu}
 =
 -
 \nabla^\mu\xi^\nu
 -
 \nabla^\nu\xi^\mu
 )]
 이다.
 물질 작용량의 변분은
 [math(
 \delta_\xi S_{\mathrm{matter}}
 =
 -
 \frac{1}{2}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 T_{\mu\nu}\delta_\xi g^{\mu\nu}
 )]
 이다.
 따라서
 [math(
 \delta_\xi S_{\mathrm{matter}}
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 T_{\mu\nu}\nabla^\mu\xi^\nu
 )]
 이다.
 부분적분하면
 [math(
 \delta_\xi S_{\mathrm{matter}}
 =
 -
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 (\nabla^\mu T_{\mu\nu})\xi^\nu
 +
 \text{boundary}
 )]
 이다.
 임의의 [math(\xi^\nu)]에 대해 작용량이 불변이면
 [math(
 \nabla^\mu T_{\mu\nu}=0
 )]
 이다.
 == Weyl 변환과 등각 불변성 ==
 Weyl 변환은
 [math(
 g_{\mu\nu}
 \mapsto
 \Omega^2(x)g_{\mu\nu}
 )]
 이다.
 역계량과 부피요소는
 [math(
 g^{\mu\nu}
 \mapsto
 \Omega^{-2}g^{\mu\nu}
 )]
 [math(
 \sqrt{-g}
 \mapsto
 \Omega^D\sqrt{-g}
 )]
 로 변환한다.
 [math(D)]차원에서 Ricci 스칼라는
 [math(
 R
 \mapsto
 \Omega^{-2}
 \left[
 R
 -
 (D-1)\Box\ln\Omega
 -
 (D-1)(D-2)
 \nabla_\mu\ln\Omega\nabla^\mu\ln\Omega
 \right]
 )]
 로 변환한다.
 질량이 없는 conformal scalar 작용량은
 [math(
 S
 =
 -
 \frac{1}{2}
 \int_{\mathcal M}d^Dx\sqrt{-g}
 \left[
 \nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
 +
 \xi_{\mathrm{conf}}R\phi^2
 \right]
 )]
 이다.
 여기서
 [math(
 \xi_{\mathrm{conf}}
 =
 \frac{D-2}{4(D-1)}
 )]
 이다.
 스칼라장은
 [math(
 \phi
 \mapsto
 \Omega^{-\frac{D-2}{2}}\phi
 )]
 로 변환한다.
 [math(D=4)] Maxwell 이론은 Weyl 불변이며,
 [math(
 T^\mu{}_\mu=0
 )]
 이다.
 == 핵심 작용량 모음 ==
 === 순수 중력 ===
 [math(
 S
 =
 \frac{1}{2\kappa}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left(
 R-2\Lambda
 \right)
 +
 \frac{1}{\kappa}
 \int_{\partial\mathcal M}d^3y\sqrt{|h|}\,\epsilon K
 )]
 === 중력 + 실수 스칼라장 ===
 [math(
 S
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 \frac{1}{2\kappa}
 \left(
 R-2\Lambda
 \right)
 -
 \frac{1}{2}
 \nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
 -
 V(\phi)
 \right]
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 )]
 === 중력 + 전자기장 ===
 [math(
 S
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 \frac{1}{2\kappa}
 \left(
 R-2\Lambda
 \right)
 -
 \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
 \right]
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 )]
 === 중력 + Yang-Mills 장 ===
 [math(
 S
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 \frac{1}{2\kappa}
 \left(
 R-2\Lambda
 \right)
 -
 \frac{1}{4}F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}
 \right]
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 )]
 === 중력 + Dirac 장 ===
 [math(
 S
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\,e
 \left[
 \frac{1}{2\kappa}
 \left(
 R-2\Lambda
 \right)
 +
 \frac{i}{2}
 \left(
 \bar\psi\gamma^\mu\nabla_\mu\psi
 -
 \nabla_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi
 \right)
 -
 m\bar\psi\psi
 \right]
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 )]
 === 중력 + 표준적인 물질장 전체 ===
 [math(
 S
 =
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 \frac{1}{2\kappa}
 \left(
 R-2\Lambda
 \right)
 -
 \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
 -
 \frac{1}{4}F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}
 -
 g^{\mu\nu}(D_\mu\Phi)^\ast D_\nu\Phi
 -
 V(|\Phi|^2)
 -
 \frac{1}{2}\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
 -
 U(\phi)
 +
 \frac{i}{2}
 \left(
 \bar\psi\gamma^\mu D_\mu\psi
 -
 D_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi
 \right)
 -
 m\bar\psi\psi
 \right]
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 )]
 == 최종 요약 ==
 일반상대론과 물질장의 결합은 다음 전체 작용량에서 출발한다.
 [math(
 S[g,\Psi]
 =
 \frac{1}{2\kappa}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left(
 R-2\Lambda
 \right)
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 +
 S_{\mathrm{matter}}[g,\Psi]
 )]
 계량에 대해 변분하면
 [math(
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
 =
 \kappa T_{\mu\nu}
 )]
 를 얻는다.
 물질장 [math(\Psi)]에 대해 변분하면 각 물질장의 운동방정식을 얻는다.
 [math(
 \frac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta\Psi}=0
 )]
 에너지-운동량 텐서는
 [math(
 T_{\mu\nu}
 =
 -
 \frac{2}{\sqrt{-g}}
 \frac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta g^{\mu\nu}}
 )]
 로 정의된다.
 미분동형사상 불변성 때문에 on-shell에서
 [math(
 \nabla^\mu T_{\mu\nu}=0
 )]
 이다.