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일반상대론의 작용량 정식화와 물질장 결합(r1 판)

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분류
1. 개요2. 기본 규약3. 기하학적 기본량
3.1. Levi-Civita 접속3.2. Riemann 곡률텐서3.3. Bianchi 항등식
4. 변분 공식
4.1. 계량과 역계량의 변분4.2. 행렬식의 변분4.3. 접속의 변분4.4. Palatini 항등식
5. Einstein-Hilbert 작용량6. Gibbons-Hawking-York 경계항7. 물질 작용량과 에너지-운동량 텐서8. 실수 스칼라장
8.1. 최소 결합 스칼라장8.2. 질량항과 자기상호작용8.3. 비최소 결합 스칼라장
9. 복소 스칼라장10. 전자기장
10.1. Maxwell 작용량10.2. Lorenz gauge
11. 전하를 가진 스칼라장12. Yang-Mills 장13. Dirac 스피너장
13.1. Vierbein13.2. Spin connection13.3. Dirac 작용량
14. Proca 장15. p-form 장16. 완전유체17. 점입자 작용량18. FLRW 우주론에서의 작용량19. ADM 분해20. Einstein-Maxwell 이론21. Einstein-Klein-Gordon 이론22. Einstein-Yang-Mills 이론23. 곡률 제곱 보정24. 스칼라-텐서 이론25. 미분동형사상 불변성과 Noether 항등식26. Weyl 변환과 등각 불변성27. 핵심 작용량 모음
27.1. 순수 중력27.2. 중력 + 실수 스칼라장27.3. 중력 + 전자기장27.4. 중력 + Yang-Mills 장27.5. 중력 + Dirac 장27.6. 중력 + 표준적인 물질장 전체
28. 최종 요약

1. 개요[편집]


이 문서는 일반상대론의 중력 작용량과 여러 대표적인 물질장 작용량을 정리한다.

기본적인 출발점은 전체 작용량이다.

S[g,Ψ]=Sgrav[g]+Smatter[g,Ψ]+Sboundary[g] S[g,\Psi] = S_{\mathrm{grav}}[g] + S_{\mathrm{matter}}[g,\Psi] + S_{\mathrm{boundary}}[g]

여기서 gμνg_{\mu\nu}는 시공간 계량이고, Ψ\Psi는 모든 물질장을 상징한다.

일반상대론에서 중력장은 계량 gμνg_{\mu\nu} 자체이며, 계량에 대한 작용량의 변분은 Einstein 방정식을 준다.

Gμν+Λgμν=κTμν G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}

2. 기본 규약[편집]


이 문서에서는 다음 부호 규약을 사용한다.
  • 계량 부호: (−+++)(- + + +)
  • 자연단위계: c=ℏ=1c=\hbar=1
  • 중력 결합상수: κ=8πG\kappa = 8\pi G
  • 계량 행렬식: g=det⁡(gμν)g=\det(g_{\mu\nu})
  • 부피요소: −g d4x\sqrt{-g}\,d^4x

Minkowski 계량은 다음과 같이 둔다.

ηab=diag⁡(−,+,+,+) \eta_{ab} = \operatorname{diag}(-,+,+,+)

곡률 텐서의 부호 규약은 다음과 같다.

[∇μ,∇ν]Vρ=RρσμνVσ [\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho = R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma

이 규약에서 Einstein 텐서는

Gμν=Rμν−12gμνR G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R

로 정의된다.

3. 기하학적 기본량[편집]

3.1. Levi-Civita 접속[편집]


일반상대론의 표준 접속은 비틀림이 없고 계량과 양립하는 Levi-Civita 접속이다.

∇ρgμν=0 \nabla_\rho g_{\mu\nu}=0

Γμνρ=12gρσ(∂μgνσ+∂νgμσ−∂σgμν) \Gamma^\rho_{\mu\nu} = \frac{1}{2}g^{\rho\sigma} \left( \partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} - \partial_\sigma g_{\mu\nu} \right)

3.2. Riemann 곡률텐서[편집]


Riemann 곡률텐서는 다음과 같다.

Rρσμν=∂μΓνσρ−∂νΓμσρ+ΓμλρΓνσλ−ΓνλρΓμσλ R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}

Ricci 텐서는 Riemann 텐서의 수축으로 얻어진다.

Rμν=Rρμρν R_{\mu\nu} = R^\rho{}_{\mu\rho\nu}

Ricci 스칼라는 다시 계량으로 수축한 양이다.

R=gμνRμν R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}

3.3. Bianchi 항등식[편집]


Einstein 텐서는 다음 보존 항등식을 만족한다.

∇μGμν=0 \nabla^\mu G_{\mu\nu}=0

이 식은 물질 에너지-운동량 텐서의 공변보존과 직접 연결된다.

∇μTμν=0 \nabla^\mu T_{\mu\nu}=0

4. 변분 공식[편집]

4.1. 계량과 역계량의 변분[편집]


계량과 역계량은

gμρgρν=δμν g_{\mu\rho}g^{\rho\nu} = \delta_\mu{}^\nu

를 만족하므로 변분하면

δgμν=−gμρgνσδgρσ \delta g_{\mu\nu} = - g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma} \delta g^{\rho\sigma}

δgμν=−gμρgνσδgρσ \delta g^{\mu\nu} = - g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma} \delta g_{\rho\sigma}

를 얻는다.

4.2. 행렬식의 변분[편집]


계량 행렬식의 변분은

δg=ggμνδgμν=−ggμνδgμν \delta g = g g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} = - g g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}

이다.

따라서

δ−g=12−ggμνδgμν=−12−ggμνδgμν \delta\sqrt{-g} = \frac{1}{2}\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} = - \frac{1}{2}\sqrt{-g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}

이다.

4.3. 접속의 변분[편집]


Levi-Civita 접속의 변분은 텐서이다.

δΓμνρ=12gρσ(∇μδgνσ+∇νδgμσ−∇σδgμν) \delta\Gamma^\rho_{\mu\nu} = \frac{1}{2}g^{\rho\sigma} \left( \nabla_\mu\delta g_{\nu\sigma} + \nabla_\nu\delta g_{\mu\sigma} - \nabla_\sigma\delta g_{\mu\nu} \right)

4.4. Palatini 항등식[편집]


Ricci 텐서의 변분은 다음 Palatini 항등식으로 주어진다.

δRμν=∇ρδΓνμρ−∇νδΓρμρ \delta R_{\mu\nu} = \nabla_\rho \delta\Gamma^\rho_{\nu\mu} - \nabla_\nu \delta\Gamma^\rho_{\rho\mu}

Ricci 스칼라의 변분은

δR=Rμνδgμν+gμνδRμν \delta R = R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} + g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}

이며, 전체 미분항까지 포함하면

δR=Rμνδgμν+∇ρ(gμνδΓμνρ−gρνδΓμνμ) \delta R = R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} + \nabla_\rho \left( g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\rho_{\mu\nu} - g^{\rho\nu}\delta\Gamma^\mu_{\mu\nu} \right)

이다.

또는 다음과 같이 쓸 수 있다.

δR=Rμνδgμν+gμν□δgμν−∇μ∇νδgμν \delta R = R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} + g_{\mu\nu}\Box\delta g^{\mu\nu} - \nabla_\mu\nabla_\nu\delta g^{\mu\nu}

5. Einstein-Hilbert 작용량[편집]


순수 중력 작용량은 Einstein-Hilbert 작용량이다.

SEH=12κ∫Md4x−g R S_{\mathrm{EH}} = \frac{1}{2\kappa} \int_{\mathcal M} d^4x\sqrt{-g}\,R

우주상수를 포함하면

Sgrav=12κ∫Md4x−g(R−2Λ) S_{\mathrm{grav}} = \frac{1}{2\kappa} \int_{\mathcal M} d^4x\sqrt{-g} \left( R-2\Lambda \right)

이다.

계량에 대해 변분하면

δSgrav=12κ∫Md4x−g(Rμν−12gμνR+Λgμν)δgμν+boundary \delta S_{\mathrm{grav}} = \frac{1}{2\kappa} \int_{\mathcal M} d^4x\sqrt{-g} \left( R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} \right) \delta g^{\mu\nu} + \text{boundary}

를 얻는다.

따라서 경계항이 적절히 처리되면 중력장 방정식은

Gμν+Λgμν=κTμν G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}

이다.

6. Gibbons-Hawking-York 경계항[편집]


Einstein-Hilbert 작용량은 계량의 2계 미분을 포함하므로, Dirichlet 경계조건에서 잘 정의된 변분 원리를 얻으려면 경계항이 필요하다.

경계의 단위 법선벡터를 nμn^\mu라 하면

nμnμ=ϵ n_\mu n^\mu = \epsilon

이며,

ϵ={+1,∂M timelike−1,∂M spacelike \epsilon = \begin{cases} +1, & \partial\mathcal M\ \text{timelike}\\ -1, & \partial\mathcal M\ \text{spacelike} \end{cases}

이다.

유도계량은

hμν=gμν−ϵnμnν h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} - \epsilon n_\mu n_\nu

이다.

외재곡률은

Kμν=hμρhνσ∇ρnσ K_{\mu\nu} = h_\mu{}^\rho h_\nu{}^\sigma \nabla_\rho n_\sigma

이고,

K=hμνKμν K=h^{\mu\nu}K_{\mu\nu}

이다.

Gibbons-Hawking-York 항은

SGHY=1κ∫∂Md3y∣h∣ ϵK S_{\mathrm{GHY}} = \frac{1}{\kappa} \int_{\partial\mathcal M} d^3y\sqrt{|h|}\,\epsilon K

이다.

따라서 전체 중력 작용량은

Sgrav=12κ∫Md4x−g(R−2Λ)+1κ∫∂Md3y∣h∣ ϵK S_{\mathrm{grav}} = \frac{1}{2\kappa} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left(R-2\Lambda\right) + \frac{1}{\kappa} \int_{\partial\mathcal M}d^3y\sqrt{|h|}\,\epsilon K

이다.

7. 물질 작용량과 에너지-운동량 텐서[편집]


물질장 작용량은 일반적으로 다음과 같이 쓴다.

Smatter=∫Md4x−g Lmatter S_{\mathrm{matter}} = \int_{\mathcal M} d^4x\sqrt{-g}\, \mathcal L_{\mathrm{matter}}

에너지-운동량 텐서는 물질 작용량을 계량에 대해 변분하여 정의한다.

Tμν:=−2−gδSmatterδgμν T_{\mu\nu} := - \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta g^{\mu\nu}}

따라서 물질 작용량의 계량 변분은

δSmatter=−12∫Md4x−gTμνδgμν \delta S_{\mathrm{matter}} = - \frac{1}{2} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}

이다.

전체 변분은

δS=12κ∫Md4x−g(Gμν+Λgμν)δgμν−12∫Md4x−gTμνδgμν \delta S = \frac{1}{2\kappa} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left( G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} \right) \delta g^{\mu\nu} - \frac{1}{2} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}

이므로,

Gμν+Λgμν=κTμν G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}

를 얻는다.

8. 실수 스칼라장[편집]

8.1. 최소 결합 스칼라장[편집]


실수 스칼라장 ϕ\phi의 최소 결합 작용량은

Sϕ=∫Md4x−g[−12gμν∇μϕ∇νϕ−V(ϕ)] S_\phi = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ - \frac{1}{2}g^{\mu\nu}\nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi - V(\phi) \right]

이다.

스칼라장에 대해서는

∇μϕ=∂μϕ \nabla_\mu\phi=\partial_\mu\phi

이다.

운동방정식은

□ϕ−dVdϕ=0 \Box\phi - \frac{dV}{d\phi} = 0

이다.

여기서

□ϕ=∇μ∇μϕ=1−g∂μ(−ggμν∂νϕ) \Box\phi = \nabla_\mu\nabla^\mu\phi = \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu \left( \sqrt{-g}g^{\mu\nu}\partial_\nu\phi \right)

이다.

에너지-운동량 텐서는

Tμν(ϕ)=∇μϕ∇νϕ−12gμν∇ρϕ∇ρϕ−gμνV(ϕ) T_{\mu\nu}^{(\phi)} = \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi - g_{\mu\nu}V(\phi)

이다.

8.2. 질량항과 자기상호작용[편집]


대표적인 퍼텐셜은

V(ϕ)=12m2ϕ2+λ4!ϕ4 V(\phi) = \frac{1}{2}m^2\phi^2 + \frac{\lambda}{4!}\phi^4

이다.

운동방정식은

□ϕ−m2ϕ−λ3!ϕ3=0 \Box\phi - m^2\phi - \frac{\lambda}{3!}\phi^3 = 0

이다.

8.3. 비최소 결합 스칼라장[편집]


곡률과 직접 결합하는 스칼라장 작용량은

Sϕ=∫Md4x−g[−12gμν∇μϕ∇νϕ−V(ϕ)−12ξRϕ2] S_\phi = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ - \frac{1}{2}g^{\mu\nu}\nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi - V(\phi) - \frac{1}{2}\xi R\phi^2 \right]

이다.

운동방정식은

□ϕ−dVdϕ−ξRϕ=0 \Box\phi - \frac{dV}{d\phi} - \xi R\phi = 0

이다.

에너지-운동량 텐서는

Tμν(ϕ,ξ)=∇μϕ∇νϕ−12gμν∇ρϕ∇ρϕ−gμνV(ϕ)+ξ[Gμνϕ2+gμν□(ϕ2)−∇μ∇ν(ϕ2)] T_{\mu\nu}^{(\phi,\xi)} = \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi - g_{\mu\nu}V(\phi) + \xi \left[ G_{\mu\nu}\phi^2 + g_{\mu\nu}\Box(\phi^2) - \nabla_\mu\nabla_\nu(\phi^2) \right]

이다.

DD차원에서 conformal coupling은

ξconf=D−24(D−1) \xi_{\mathrm{conf}} = \frac{D-2}{4(D-1)}

이다.

D=4D=4에서는

ξconf=16 \xi_{\mathrm{conf}}=\frac{1}{6}

이다.

9. 복소 스칼라장[편집]


복소 스칼라장 Φ\Phi의 작용량은

SΦ=∫Md4x−g[−gμν∇μΦ∗∇νΦ−V(∣Φ∣2)] S_\Phi = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ - g^{\mu\nu}\nabla_\mu\Phi^\ast\nabla_\nu\Phi - V(|\Phi|^2) \right]

이다.

운동방정식은

□Φ−∂V∂Φ∗=0 \Box\Phi - \frac{\partial V}{\partial \Phi^\ast} = 0

□Φ∗−∂V∂Φ=0 \Box\Phi^\ast - \frac{\partial V}{\partial \Phi} = 0

이다.

U(1)U(1) 대칭

Φ↦eiαΦ \Phi\mapsto e^{i\alpha}\Phi

이 있으면 Noether 전류는

jμ=−i(Φ∗∇μΦ−Φ∇μΦ∗) j^\mu = -i \left( \Phi^\ast\nabla^\mu\Phi - \Phi\nabla^\mu\Phi^\ast \right)

이다.

on-shell에서

∇μjμ=0 \nabla_\mu j^\mu=0

이다.

에너지-운동량 텐서는

Tμν(Φ)=∇μΦ∗∇νΦ+∇νΦ∗∇μΦ−gμν(∇ρΦ∗∇ρΦ+V(∣Φ∣2)) T_{\mu\nu}^{(\Phi)} = \nabla_\mu\Phi^\ast\nabla_\nu\Phi + \nabla_\nu\Phi^\ast\nabla_\mu\Phi - g_{\mu\nu} \left( \nabla_\rho\Phi^\ast\nabla^\rho\Phi + V(|\Phi|^2) \right)

이다.

10. 전자기장[편집]

10.1. Maxwell 작용량[편집]


전자기 퍼텐셜 AμA_\mu의 장세기는

Fμν=∇μAν−∇νAμ=∂μAν−∂νAμ F_{\mu\nu} = \nabla_\mu A_\nu - \nabla_\nu A_\mu = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu

이다.

Maxwell 작용량은

SEM=−14∫Md4x−gFμνFμν S_{\mathrm{EM}} = - \frac{1}{4} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}

이다.

외부 전류 JμJ^\mu와 결합하면

SEM+J=∫Md4x−g[−14FμνFμν−JμAμ] S_{\mathrm{EM+J}} = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - J^\mu A_\mu \right]

이다.

AμA_\mu에 대한 변분은 Maxwell 방정식을 준다.

∇μFμν=Jν \nabla_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu

Bianchi 항등식은

∇[λFμν]=0 \nabla_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0

이다.

미분형식으로는

dF=0 dF=0

이다.

에너지-운동량 텐서는

Tμν(EM)=FμρFνρ−14gμνFρσFρσ T_{\mu\nu}^{(\mathrm{EM})} = F_{\mu\rho}F_\nu{}^\rho - \frac{1}{4}g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}

이다.

D=4D=4에서 Maxwell 에너지-운동량 텐서는 traceless이다.

Tμμ=0 T^\mu{}_\mu=0

10.2. Lorenz gauge[편집]


Lorenz gauge는

∇μAμ=0 \nabla_\mu A^\mu=0

이다.

이 gauge에서 Maxwell 방정식은

□Aν−RνμAμ=−Jν \Box A_\nu - R_{\nu\mu}A^\mu = -J_\nu

형태가 된다.

11. 전하를 가진 스칼라장[편집]


복소 스칼라장 Φ\Phi가 U(1)U(1) gauge 장 AμA_\mu에 결합하면

DμΦ=(∇μ−iqAμ)Φ D_\mu\Phi = \left( \nabla_\mu - iqA_\mu \right)\Phi

이다.

작용량은

S=∫Md4x−g[−14FμνFμν−gμν(DμΦ)∗DνΦ−V(∣Φ∣2)] S = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - g^{\mu\nu}(D_\mu\Phi)^\ast D_\nu\Phi - V(|\Phi|^2) \right]

이다.

Higgs형 퍼텐셜은

V(∣Φ∣2)=λ(∣Φ∣2−v22)2 V(|\Phi|^2) = \lambda \left( |\Phi|^2 - \frac{v^2}{2} \right)^2

이다.

스칼라장 방정식은

DμDμΦ−∂V∂Φ∗=0 D_\mu D^\mu\Phi - \frac{\partial V}{\partial\Phi^\ast} = 0

이다.

Gauge 장 방정식은

∇μFμν=Jν \nabla_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu

이다.

여기서

Jν=iq[Φ∗DνΦ−Φ(DνΦ)∗] J^\nu = iq \left[ \Phi^\ast D^\nu\Phi - \Phi(D^\nu\Phi)^\ast \right]

이다.

12. Yang-Mills 장[편집]


비가환 gauge 군 GG의 Lie algebra 생성자를 TaT^a라 하자.

[Ta,Tb]=ifabcTc [T^a,T^b] = if^{abc}T^c

Gauge 장은

Aμ=AμaTa A_\mu=A_\mu^aT^a

이다.

공변미분은

Dμ=∇μ−igAμ D_\mu = \nabla_\mu - igA_\mu

이다.

장세기는

Fμν=ig[Dμ,Dν]=∂μAν−∂νAμ−ig[Aμ,Aν] F_{\mu\nu} = \frac{i}{g}[D_\mu,D_\nu] = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu - ig[A_\mu,A_\nu]

이다.

성분으로는

Fμνa=∂μAνa−∂νAμa+gfabcAμbAνc F_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c

이다.

Yang-Mills 작용량은

SYM=−12∫Md4x−gTr⁡(FμνFμν) S_{\mathrm{YM}} = - \frac{1}{2} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \operatorname{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})

이다.

정규화를

Tr⁡(TaTb)=12δab \operatorname{Tr}(T^aT^b) = \frac{1}{2}\delta^{ab}

로 잡으면

SYM=−14∫Md4x−gFμνaFaμν S_{\mathrm{YM}} = - \frac{1}{4} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}

이다.

운동방정식은

DμFμν=0 D_\mu F^{\mu\nu}=0

이다.

성분으로는

∇μFaμν+gfabcAμbFcμν=0 \nabla_\mu F^{a\mu\nu} + gf^{abc}A_\mu^bF^{c\mu\nu} = 0

이다.

에너지-운동량 텐서는

Tμν(YM)=FμρaFνaρ−14gμνFρσaFaρσ T_{\mu\nu}^{(\mathrm{YM})} = F_{\mu\rho}^aF_\nu{}^{a\rho} - \frac{1}{4}g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}^aF^{a\rho\sigma}

이다.

13. Dirac 스피너장[편집]

13.1. Vierbein[편집]


스피너장을 곡률시공간에 결합하려면 vierbein이 필요하다.

gμν=eμaeνbηab g_{\mu\nu} = e_\mu{}^a e_\nu{}^b\eta_{ab}

역 vierbein은

eμaeμb=δab e^\mu{}_a e_\mu{}^b = \delta_a{}^b

eμaeνa=δμν e^\mu{}_a e_\nu{}^a = \delta^\mu{}_\nu

를 만족한다.

곡률공간 gamma matrix는

γμ=eμaγa \gamma^\mu = e^\mu{}_a\gamma^a

이다.

평탄공간 gamma matrix는

{γa,γb}=2ηab \{\gamma^a,\gamma^b\} = 2\eta^{ab}

를 만족한다.

따라서

{γμ,γν}=2gμν \{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2g^{\mu\nu}

이다.

13.2. Spin connection[편집]


스피너 공변미분은

∇μψ=∂μψ+14ωμabγabψ \nabla_\mu\psi = \partial_\mu\psi + \frac{1}{4}\omega_{\mu ab}\gamma^{ab}\psi

이다.

여기서

γab=12[γa,γb] \gamma^{ab} = \frac{1}{2}[\gamma^a,\gamma^b]

이다.

Dirac adjoint는

ψˉ=ψ†γ0 \bar\psi = \psi^\dagger\gamma^0

이다.

adjoint에 대한 공변미분은

∇μψˉ=∂μψˉ−14ωμabψˉγab \nabla_\mu\bar\psi = \partial_\mu\bar\psi - \frac{1}{4}\omega_{\mu ab}\bar\psi\gamma^{ab}

이다.

13.3. Dirac 작용량[편집]


곡률시공간에서 Dirac 작용량은

SDirac=∫Md4x e[i2(ψˉγμ∇μψ−∇μψˉγμψ)−mψˉψ] S_{\mathrm{Dirac}} = \int_{\mathcal M}d^4x\,e \left[ \frac{i}{2} \left( \bar\psi\gamma^\mu\nabla_\mu\psi - \nabla_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi \right) - m\bar\psi\psi \right]

이다.

여기서

e=det⁡(eμa)=−g e=\det(e_\mu{}^a)=\sqrt{-g}

이다.

운동방정식은

iγμ∇μψ−mψ=0 i\gamma^\mu\nabla_\mu\psi - m\psi = 0

이다.

adjoint 방정식은

i∇μψˉγμ+mψˉ=0 i\nabla_\mu\bar\psi\gamma^\mu + m\bar\psi = 0

이다.

Gauge 장과 결합하면

Dμψ=∇μψ−iqAμψ D_\mu\psi = \nabla_\mu\psi - iqA_\mu\psi

이다.

Dirac 전류는

jμ=qψˉγμψ j^\mu = q\bar\psi\gamma^\mu\psi

이다.

14. Proca 장[편집]


질량을 가진 벡터장 AμA_\mu의 작용량은

SProca=∫Md4x−g[−14FμνFμν−12m2AμAμ] S_{\mathrm{Proca}} = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - \frac{1}{2}m^2A_\mu A^\mu \right]

이다.

운동방정식은

∇μFμν−m2Aν=0 \nabla_\mu F^{\mu\nu} - m^2A^\nu = 0

이다.

발산을 취하면

m2∇νAν=0 m^2\nabla_\nu A^\nu=0

이다.

따라서 m≠0m\neq0이면

∇νAν=0 \nabla_\nu A^\nu=0

이다.

에너지-운동량 텐서는

Tμν(Proca)=FμρFνρ−14gμνFρσFρσ+m2(AμAν−12gμνAρAρ) T_{\mu\nu}^{(\mathrm{Proca})} = F_{\mu\rho}F_\nu{}^\rho - \frac{1}{4}g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma} + m^2 \left( A_\mu A_\nu - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}A_\rho A^\rho \right)

이다.

15. p-form 장[편집]


pp-form gauge potential을

Ap=1p!Aμ1⋯μpdxμ1∧⋯∧dxμp A_p = \frac{1}{p!} A_{\mu_1\cdots\mu_p} dx^{\mu_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\mu_p}

라 하자.

장세기는

Fp+1=dAp F_{p+1}=dA_p

이다.

성분으로는

Fμ0μ1⋯μp=(p+1)∂[μ0Aμ1⋯μp] F_{\mu_0\mu_1\cdots\mu_p} = (p+1)\partial_{[\mu_0}A_{\mu_1\cdots\mu_p]}

이다.

작용량은

Sp=−12(p+1)!∫MdDx−gFμ1⋯μp+1Fμ1⋯μp+1 S_p = - \frac{1}{2(p+1)!} \int_{\mathcal M}d^Dx\sqrt{-g} F_{\mu_1\cdots\mu_{p+1}} F^{\mu_1\cdots\mu_{p+1}}

이다.

운동방정식은

∇μ1Fμ1μ2⋯μp+1=0 \nabla_{\mu_1} F^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{p+1}} = 0

이다.

미분형식으로는

d⋆Fp+1=0 d\star F_{p+1}=0

이다.

Bianchi 항등식은

dFp+1=0 dF_{p+1}=0

이다.

에너지-운동량 텐서는

Tμν(p)=1p!Fμα1⋯αpFνα1⋯αp−12(p+1)!gμνFα0⋯αpFα0⋯αp T_{\mu\nu}^{(p)} = \frac{1}{p!} F_{\mu\alpha_1\cdots\alpha_p} F_\nu{}^{\alpha_1\cdots\alpha_p} - \frac{1}{2(p+1)!}g_{\mu\nu} F_{\alpha_0\cdots\alpha_p} F^{\alpha_0\cdots\alpha_p}

이다.

16. 완전유체[편집]


완전유체의 에너지-운동량 텐서는

Tμν=(ρ+p)uμuν+pgμν T_{\mu\nu} = (\rho+p)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}

이다.

여기서

uμuμ=−1 u_\mu u^\mu=-1

이다.

보존방정식은

∇μTμν=0 \nabla_\mu T^{\mu\nu}=0

이다.

uνu^\nu 방향으로 사영하면 에너지 보존식을 얻는다.

uμ∇μρ+(ρ+p)∇μuμ=0 u^\mu\nabla_\mu\rho + (\rho+p)\nabla_\mu u^\mu = 0

공간 투영텐서를

Pμν=gμν+uμuν P_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} + u_\mu u_\nu

라 하면 Euler 방정식은

(ρ+p)uμ∇μuα+Pαμ∇μp=0 (\rho+p)u^\mu\nabla_\mu u_\alpha + P_\alpha{}^\mu\nabla_\mu p = 0

이다.

현상론적 유체 작용량은

Sfluid=∫Md4x−g Lfluid S_{\mathrm{fluid}} = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}\, \mathcal L_{\mathrm{fluid}}

로 쓸 수 있다.

특정 조건에서는

Lfluid=p \mathcal L_{\mathrm{fluid}}=p

로 둘 수 있지만, 완전한 변분 원리에는 입자수 보존, 엔트로피 보존, 유체 좌표 등의 제약조건이 필요하다.

17. 점입자 작용량[편집]


질량 mm을 가진 자유 점입자의 작용량은

Sparticle=−m∫dτ S_{\mathrm{particle}} = -m\int d\tau

이다.

일반 매개변수 λ\lambda를 쓰면

Sparticle=−m∫dλ−gμν(x)dxμdλdxνdλ S_{\mathrm{particle}} = -m \int d\lambda \sqrt{ - g_{\mu\nu}(x) \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda} }

이다.

변분하면 측지선 방정식을 얻는다.

d2xμdτ2+Γρσμdxρdτdxσdτ=0 \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} = 0

전자기장과 결합한 전하 qq의 점입자 작용량은

S=−m∫dτ+q∫Aμdxμ S = -m\int d\tau + q\int A_\mu dx^\mu

이다.

운동방정식은 Lorentz force 법칙이다.

m(d2xμdτ2+Γρσμdxρdτdxσdτ)=qFμνdxνdτ m \left( \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} \right) = qF^\mu{}_\nu \frac{dx^\nu}{d\tau}

18. FLRW 우주론에서의 작용량[편집]


FLRW 계량은

ds2=−N(t)2dt2+a(t)2[dr21−kr2+r2dΩ22] ds^2 = - N(t)^2dt^2 + a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2d\Omega_2^2 \right]

이다.

평탄한 경우 k=0k=0이면

ds2=−N(t)2dt2+a(t)2δijdxidxj ds^2 = - N(t)^2dt^2 + a(t)^2\delta_{ij}dx^idx^j

이다.

공간 부피를 V0V_0라 하면, 중력 작용량은 부분적분 후

Sgrav=3V0κ∫dt[−aa˙2N+kNa−Λ3Na3] S_{\mathrm{grav}} = \frac{3V_0}{\kappa} \int dt \left[ - \frac{a\dot a^2}{N} + kNa - \frac{\Lambda}{3}Na^3 \right]

이다.

균질 스칼라장 ϕ(t)\phi(t)의 작용량은

Sϕ=V0∫dt Na3[12N2ϕ˙2−V(ϕ)] S_\phi = V_0 \int dt\, Na^3 \left[ \frac{1}{2N^2}\dot\phi^2 - V(\phi) \right]

이다.

전체 minisuperspace 작용량은

S=V0∫dt[3κ(−aa˙2N+kNa−Λ3Na3)+Na3(ϕ˙22N2−V(ϕ))] S = V_0 \int dt \left[ \frac{3}{\kappa} \left( - \frac{a\dot a^2}{N} + kNa - \frac{\Lambda}{3}Na^3 \right) + Na^3 \left( \frac{\dot\phi^2}{2N^2} - V(\phi) \right) \right]

이다.

NN에 대한 변분은 Friedmann constraint를 준다.

H2+ka2=κ3ρ+Λ3 H^2 + \frac{k}{a^2} = \frac{\kappa}{3}\rho + \frac{\Lambda}{3}

여기서

H=a˙a H=\frac{\dot a}{a}

이다.

스칼라장의 에너지 밀도와 압력은

ρϕ=12ϕ˙2+V(ϕ) \rho_\phi = \frac{1}{2}\dot\phi^2 + V(\phi)

pϕ=12ϕ˙2−V(ϕ) p_\phi = \frac{1}{2}\dot\phi^2 - V(\phi)

이다.

스칼라장 방정식은

ϕ¨+3Hϕ˙+dVdϕ=0 \ddot\phi + 3H\dot\phi + \frac{dV}{d\phi} = 0

이다.

19. ADM 분해[편집]


ADM 형식에서 계량은

ds2=−N2dt2+hij(dxi+Nidt)(dxj+Njdt) ds^2 = - N^2dt^2 + h_{ij} \left( dx^i+N^idt \right) \left( dx^j+N^jdt \right)

이다.

여기서
  • NN: lapse
  • NiN^i: shift
  • hijh_{ij}: 공간 3-계량

외재곡률은

Kij=12N(h˙ij−DiNj−DjNi) K_{ij} = \frac{1}{2N} \left( \dot h_{ij} - D_iN_j - D_jN_i \right)

이다.

ADM 중력 작용량은

SADM=12κ∫dt d3x Nh((3)R+KijKij−K2−2Λ) S_{\mathrm{ADM}} = \frac{1}{2\kappa} \int dt\,d^3x\, N\sqrt h \left( {}^{(3)}R + K_{ij}K^{ij} - K^2 - 2\Lambda \right)

이다.

켤레운동량은

πij=h2κ(Kij−hijK) \pi^{ij} = \frac{\sqrt h}{2\kappa} \left( K^{ij} - h^{ij}K \right)

이다.

Hamiltonian constraint는

H=2κh(πijπij−12π2)−h2κ((3)R−2Λ)+Hmatter=0 \mathcal H = \frac{2\kappa}{\sqrt h} \left( \pi_{ij}\pi^{ij} - \frac{1}{2}\pi^2 \right) - \frac{\sqrt h}{2\kappa} \left( {}^{(3)}R - 2\Lambda \right) + \mathcal H_{\mathrm{matter}} = 0

이다.

Momentum constraint는

Hi=−2Djπji+Hi,matter=0 \mathcal H_i = -2D_j\pi^j{}_i + \mathcal H_{i,\mathrm{matter}} = 0

이다.

전체 Hamiltonian은

H=∫d3x(NH+NiHi)+H∂Σ H = \int d^3x \left( N\mathcal H + N^i\mathcal H_i \right) + H_{\partial\Sigma}

이다.

20. Einstein-Maxwell 이론[편집]


Einstein-Maxwell 작용량은

S=12κ∫Md4x−g(R−2Λ)−14∫Md4x−gFμνFμν+SGHY S = \frac{1}{2\kappa} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left( R-2\Lambda \right) - \frac{1}{4} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + S_{\mathrm{GHY}}

이다.

장방정식은

Gμν+Λgμν=κ(FμρFνρ−14gμνFρσFρσ) G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa \left( F_{\mu\rho}F_\nu{}^\rho - \frac{1}{4}g_{\mu\nu} F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma} \right)

∇μFμν=0 \nabla_\mu F^{\mu\nu}=0

∇[λFμν]=0 \nabla_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0

이다.

Reissner-Nordström 계량은

ds2=−f(r)dt2+dr2f(r)+r2dΩ22 ds^2 = - f(r)dt^2 + \frac{dr^2}{f(r)} + r^2d\Omega_2^2

f(r)=1−2GMr+GQ24πr2−Λr23 f(r) = 1 - \frac{2GM}{r} + \frac{GQ^2}{4\pi r^2} - \frac{\Lambda r^2}{3}

형태이다.

단, 전자기장 정규화에 따라 QQ 앞의 계수는 달라질 수 있다.

21. Einstein-Klein-Gordon 이론[편집]


Einstein-Klein-Gordon 작용량은

S=∫Md4x−g[12κ(R−2Λ)−12∇μϕ∇μϕ−V(ϕ)]+SGHY S = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( R-2\Lambda \right) - \frac{1}{2} \nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi - V(\phi) \right] + S_{\mathrm{GHY}}

이다.

장방정식은

Gμν+Λgμν=κ[∇μϕ∇νϕ−12gμν∇ρϕ∇ρϕ−gμνV(ϕ)] G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa \left[ \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi - g_{\mu\nu}V(\phi) \right]

□ϕ−V′(ϕ)=0 \Box\phi - V'(\phi) = 0

이다.

22. Einstein-Yang-Mills 이론[편집]


Einstein-Yang-Mills 작용량은

S=∫Md4x−g[12κ(R−2Λ)−14FμνaFaμν]+SGHY S = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( R-2\Lambda \right) - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu} \right] + S_{\mathrm{GHY}}

이다.

장방정식은

Gμν+Λgμν=κ[FμρaFνaρ−14gμνFρσaFaρσ] G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa \left[ F_{\mu\rho}^aF_\nu{}^{a\rho} - \frac{1}{4}g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}^aF^{a\rho\sigma} \right]

DμFaμν=0 D_\mu F^{a\mu\nu}=0

이다.

23. 곡률 제곱 보정[편집]


유효장론 또는 고차곡률 중력에서는 다음 항들이 등장한다.

S=∫Md4x−g[12κ(R−2Λ)+αR2+βRμνRμν+γRμνρσRμνρσ] S = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( R-2\Lambda \right) + \alpha R^2 + \beta R_{\mu\nu}R^{\mu\nu} + \gamma R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} \right]

D=4D=4에서 Gauss-Bonnet 조합은

G=RμνρσRμνρσ−4RμνRμν+R2 \mathcal G = R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} - 4R_{\mu\nu}R^{\mu\nu} + R^2

이다.

작용량

SGB=αGB∫Md4x−g G S_{\mathrm{GB}} = \alpha_{\mathrm{GB}} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}\,\mathcal G

은 D=4D=4에서 위상항이다.

f(R)f(R) 중력은

Sf(R)=12κ∫Md4x−g f(R)+Smatter S_{f(R)} = \frac{1}{2\kappa} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}\, f(R) + S_{\mathrm{matter}}

로 정의된다.

장방정식은

fRRμν−12fgμν−∇μ∇νfR+gμν□fR=κTμν f_R R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}fg_{\mu\nu} - \nabla_\mu\nabla_\nu f_R + g_{\mu\nu}\Box f_R = \kappa T_{\mu\nu}

이다.

여기서

fR=dfdR f_R=\frac{df}{dR}

이다.

trace를 취하면

fRR−2f+3□fR=κT f_RR - 2f + 3\Box f_R = \kappa T

이다.

24. 스칼라-텐서 이론[편집]


Jordan frame에서 일반적인 스칼라-텐서 작용량은

S=∫Md4x−g[12κF(ϕ)R−12Z(ϕ)gμν∇μϕ∇νϕ−U(ϕ)]+Smatter[gμν,Ψ] S = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac{1}{2\kappa} F(\phi)R - \frac{1}{2}Z(\phi) g^{\mu\nu}\nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi - U(\phi) \right] + S_{\mathrm{matter}}[g_{\mu\nu},\Psi]

이다.

계량 변분은

F(ϕ)Gμν=κTμν+Z(ϕ)(∇μϕ∇νϕ−12gμν∇ρϕ∇ρϕ)−gμνU(ϕ)+∇μ∇νF−gμν□F F(\phi)G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu} + Z(\phi) \left( \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi \right) - g_{\mu\nu}U(\phi) + \nabla_\mu\nabla_\nu F - g_{\mu\nu}\Box F

이다.

스칼라장 방정식은

Z(ϕ)□ϕ+12Z′(ϕ)∇ρϕ∇ρϕ+12κF′(ϕ)R−U′(ϕ)=0 Z(\phi)\Box\phi + \frac{1}{2}Z'(\phi)\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi + \frac{1}{2\kappa}F'(\phi)R - U'(\phi) = 0

이다.

Brans-Dicke 이론은

SBD=116π∫Md4x−g[ϕR−ωBDϕ∇μϕ∇μϕ]+Smatter S_{\mathrm{BD}} = \frac{1}{16\pi} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ \phi R - \frac{\omega_{\mathrm{BD}}}{\phi} \nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi \right] + S_{\mathrm{matter}}

이다.

25. 미분동형사상 불변성과 Noether 항등식[편집]


무한소 좌표변환은 벡터장 ξμ\xi^\mu에 의해 생성된다.

계량의 Lie derivative는

δξgμν=Lξgμν=∇μξν+∇νξμ \delta_\xi g_{\mu\nu} = \mathcal L_\xi g_{\mu\nu} = \nabla_\mu\xi_\nu + \nabla_\nu\xi_\mu

이다.

역계량에 대해서는

δξgμν=−∇μξν−∇νξμ \delta_\xi g^{\mu\nu} = - \nabla^\mu\xi^\nu - \nabla^\nu\xi^\mu

이다.

물질 작용량의 변분은

δξSmatter=−12∫Md4x−gTμνδξgμν \delta_\xi S_{\mathrm{matter}} = - \frac{1}{2} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} T_{\mu\nu}\delta_\xi g^{\mu\nu}

이다.

따라서

δξSmatter=∫Md4x−gTμν∇μξν \delta_\xi S_{\mathrm{matter}} = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} T_{\mu\nu}\nabla^\mu\xi^\nu

이다.

부분적분하면

δξSmatter=−∫Md4x−g(∇μTμν)ξν+boundary \delta_\xi S_{\mathrm{matter}} = - \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} (\nabla^\mu T_{\mu\nu})\xi^\nu + \text{boundary}

이다.

임의의 ξν\xi^\nu에 대해 작용량이 불변이면

∇μTμν=0 \nabla^\mu T_{\mu\nu}=0

이다.

26. Weyl 변환과 등각 불변성[편집]


Weyl 변환은

gμν↦Ω2(x)gμν g_{\mu\nu} \mapsto \Omega^2(x)g_{\mu\nu}

이다.

역계량과 부피요소는

gμν↦Ω−2gμν g^{\mu\nu} \mapsto \Omega^{-2}g^{\mu\nu}

−g↦ΩD−g \sqrt{-g} \mapsto \Omega^D\sqrt{-g}

로 변환한다.

DD차원에서 Ricci 스칼라는

R↦Ω−2[R−2(D−1)□ln⁡Ω−(D−1)(D−2)∇μln⁡Ω∇μln⁡Ω] R \mapsto \Omega^{-2} \left[ R - 2(D-1)\Box\ln\Omega - (D-1)(D-2) \nabla_\mu\ln\Omega\nabla^\mu\ln\Omega \right]

로 변환한다.

질량이 없는 conformal scalar 작용량은

S=−12∫MdDx−g[∇μϕ∇μϕ+ξconfRϕ2] S = - \frac{1}{2} \int_{\mathcal M}d^Dx\sqrt{-g} \left[ \nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi + \xi_{\mathrm{conf}}R\phi^2 \right]

이다.

여기서

ξconf=D−24(D−1) \xi_{\mathrm{conf}} = \frac{D-2}{4(D-1)}

이다.

스칼라장은

ϕ↦Ω−D−22ϕ \phi \mapsto \Omega^{-\frac{D-2}{2}}\phi

로 변환한다.

D=4D=4 Maxwell 이론은 Weyl 불변이며,

Tμμ=0 T^\mu{}_\mu=0

이다.

27. 핵심 작용량 모음[편집]

27.1. 순수 중력[편집]


S=12κ∫Md4x−g(R−2Λ)+1κ∫∂Md3y∣h∣ ϵK S = \frac{1}{2\kappa} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left( R-2\Lambda \right) + \frac{1}{\kappa} \int_{\partial\mathcal M}d^3y\sqrt{|h|}\,\epsilon K

27.2. 중력 + 실수 스칼라장[편집]


S=∫Md4x−g[12κ(R−2Λ)−12∇μϕ∇μϕ−V(ϕ)]+SGHY S = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( R-2\Lambda \right) - \frac{1}{2} \nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi - V(\phi) \right] + S_{\mathrm{GHY}}

27.3. 중력 + 전자기장[편집]


S=∫Md4x−g[12κ(R−2Λ)−14FμνFμν]+SGHY S = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( R-2\Lambda \right) - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \right] + S_{\mathrm{GHY}}

27.4. 중력 + Yang-Mills 장[편집]


S=∫Md4x−g[12κ(R−2Λ)−14FμνaFaμν]+SGHY S = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( R-2\Lambda \right) - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu} \right] + S_{\mathrm{GHY}}

27.5. 중력 + Dirac 장[편집]


S=∫Md4x e[12κ(R−2Λ)+i2(ψˉγμ∇μψ−∇μψˉγμψ)−mψˉψ]+SGHY S = \int_{\mathcal M}d^4x\,e \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( R-2\Lambda \right) + \frac{i}{2} \left( \bar\psi\gamma^\mu\nabla_\mu\psi - \nabla_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi \right) - m\bar\psi\psi \right] + S_{\mathrm{GHY}}

27.6. 중력 + 표준적인 물질장 전체[편집]


S=∫Md4x−g[12κ(R−2Λ)−14FμνFμν−14FμνaFaμν−gμν(DμΦ)∗DνΦ−V(∣Φ∣2)−12∇μϕ∇μϕ−U(ϕ)+i2(ψˉγμDμψ−Dμψˉγμψ)−mψˉψ]+SGHY S = \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( R-2\Lambda \right) - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu} - g^{\mu\nu}(D_\mu\Phi)^\ast D_\nu\Phi - V(|\Phi|^2) - \frac{1}{2}\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi - U(\phi) + \frac{i}{2} \left( \bar\psi\gamma^\mu D_\mu\psi - D_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi \right) - m\bar\psi\psi \right] + S_{\mathrm{GHY}}

28. 최종 요약[편집]


일반상대론과 물질장의 결합은 다음 전체 작용량에서 출발한다.

S[g,Ψ]=12κ∫Md4x−g(R−2Λ)+SGHY+Smatter[g,Ψ] S[g,\Psi] = \frac{1}{2\kappa} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left( R-2\Lambda \right) + S_{\mathrm{GHY}} + S_{\mathrm{matter}}[g,\Psi]

계량에 대해 변분하면

Gμν+Λgμν=κTμν G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}

를 얻는다.

물질장 Ψ\Psi에 대해 변분하면 각 물질장의 운동방정식을 얻는다.

δSmatterδΨ=0 \frac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta\Psi}=0

에너지-운동량 텐서는

Tμν=−2−gδSmatterδgμν T_{\mu\nu} = - \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta g^{\mu\nu}}

로 정의된다.

미분동형사상 불변성 때문에 on-shell에서

∇μTμν=0 \nabla^\mu T_{\mu\nu}=0

이다.