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| 1 | [[분류:수학]] |
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| 2 | == 개요 == |
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| 3 | 삼각형의 변의 길이가 [math(a, b, c)]라고 하고 [math(s)]가 둘레의 길이의 절반이라면 이때 넓이는 [math(\displaystyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)})] 이다. |
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| 4 | 삼각형의 세 변의 길이만 알면 바로 넓이를 구할 수 있기 때문에 매우 유용한 공식이다.--증명하는게 좀 까다로워서 그렇지-- |
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| 6 | == 증명 == |
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| 7 | {{{#!wiki style="background-image:url('https://awikifile.theseed.io/ce/ce89c7da3120013ee71c093d0af080ceb6ea4a9663aefe01ac4ef274f7d1b5b7.svg');width:250px;height:250px;background-repeat:no-repeat no-repeat" |
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| 8 | }}} |
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| 9 | 꼭짓점 A에서 밑변에 내린 수선의 발을 H라고 하고, [math(\overline{\rm BH}=x)]라고 하자. |
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| 10 | 이때, [[피타고라스 정리]]를 이용해 [math(\displaystyle \begin{aligned} c^{2}&=h^{2}+x^{2}\\ b^{2}&=h^{2}+(a-x)^{2} \end{aligned} )]라고 나온다. |
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| 12 | 두 식을 빼면 [math(\displaystyle c^{2}-b^{2}=2ax-a^{2})]가 나온다. |
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| 14 | 그러므로 [math(x)]는 [math(\displaystyle \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} )]가 나온다. |
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| 16 | 아까 구한 [math(c^{2}=h^{2}+x^{2})]을 바꿔서 풀면 |
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| 18 | [math(\displaystyle \begin{aligned} h^{2}&=c^{2}-x^{2} \\&=c^{2}-\left( \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)^{\!2} \end{aligned})] 가 된다. |
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| 20 | 인수분해를 해 |
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| 22 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \left( c+\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)\left( c-\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right) \end{aligned})] 이 식을 만들고, |
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| 24 | 또 인수분해를 해 |
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| 26 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \left[ \dfrac{(a+c)^{2}-b^{2}}{2a} \right]\left[ \dfrac{b^{2}-(a-c)^{2}}{2a} \right] \end{aligned})] 이 식을 만든다. |
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| 28 | 식을 풀면 |
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| 30 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{4a^{2}}(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a) \end{aligned})], |
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| 31 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{4a^{2}}\cdot 2s \cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-a) \end{aligned})], |
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| 32 | [math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{4}{a^{2}}s(s-a)(s-b)(s-c) \end{aligned})] 가 되는데, |
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| 34 | --거의 다 왔다-- |
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| 35 | 이때 [math(\triangle ABC)]이 넓이의 제곱은 |
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| 36 | [math(\displaystyle \begin{aligned} (\triangle {\rm ABC})^{2}&=\left( \frac{1}{2}ah \right)^{\!2} \end{aligned} )] |
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