| r36 vs r37 | ||
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| ... | ... | |
| 27 | 27 | 임을 보여야한다. |
| 28 | 28 | * [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이어도 충분하다. 왜냐면 [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 __곧 극한점이 되기 때문__. |
| 29 | 29 | {{{#!folding [내용 보기, 접기] |
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| 30 | * 먼저 [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이려면 내점의 정의에 따라 다음을 만족해야 한다. | |
| 31 | ||[math(a \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D)] | |
| 32 | 32 | 를 만족하는 적당한 양수 [math(c_{1})]가 존재한다.|| |
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| 33 | 1. 여기에서 | |
| 34 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset D)]|| | |
| 35 | 이므로 | |
| 36 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
| 37 | 을 만족한다. ([math(a-c_{1})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자. 사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많다.) | |
| 38 | 2. [math(c_{2} \leq c_{1})]인 임의의 양수 [math(c_{2})]에 대하여 | |
| 39 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D)]|| | |
| 40 | 이므로 | |
| 41 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
| 42 | 을 만족한다. ([math(a-c_{2})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자.) | |
| 43 | 3. 따라서 임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 [math(c_{2})]를 [math(c_{1})]과 [math(c)]중 작은 값으로 두자. 그러면 | |
| 44 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
| 45 | 의 식을 만족한다. | |
| 46 | [math(c \leq c_{1})]이면 2번과 같은 방법으로 성립되며, [math(c > c_{1})]이면 1번에서 | |
| 47 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]|| | |
| 48 | 이 되기 때문에 식이 성립한다. | |
| 49 | * 그러므로 | |
| 50 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
| 51 | 을 만족하며, [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다.}}} | |
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| 53 | 53 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다. |
| 54 | 54 | ||[math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]와 [math(a)]에 대하여 |
| ... | ... | |
| 65 | 65 | * 만일 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 없으면 (특히 어떤 값으로 수렴함을 보이는 과정에서) 문제가 발생한다. 앞의 |
| 66 | 66 | ||임의의 양수 [math(c)]에 대하여 |
| 67 | 67 | [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| |
| 68 | 명제의 부정은 | |
| 68 | 라는 명제의 부정은 | |
| 69 | 69 | ||{{{#red 어떤}}} 양수 [math(c)]에 대하여 |
| 70 | 70 | [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D {\color{red}\ =\ }\emptyset)]|| |
| 71 | 71 | 이 된다. |
| 72 | 72 | 여기에서 문제점이 생기게 된다. 왜냐면 앞에 말한 함수의 극한의 정의에서 다음 |
| 73 | 73 | > [math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면 |
| 74 | 74 | > [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. |
| 75 | 라는 명제에서 문제점이 발생하기 때문인데, [math(x=a)]를 제외한 나머지 [math(D)]의 [math(x)]의 지점 가운데 [math(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} )] 에 포함되는 지점에서는 '''함숫값이 존재하지 않기 때문에 명제가 거짓'''이 되는 오류가 발생하기 때문이다. | |
| 75 | 라는 명제에서 문제점이 발생하기 때문인데, [math(x=a)]를 제외한 나머지 [math(D)]에의 [math(x)]의 지점 가운데 [math(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} )] 에 포함되는 지점에서는 '''함숫값이 존재하지 않기 때문에 명제가 거짓'''이 되는 오류가 발생하기 때문이다. | |
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| 77 | 77 | === 수열의 극한 === |
| 78 | 78 | 무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f(x))]가 자연수 [math(n)]에 대한 함수 [math({\color{green}a_{n}})]으로 바뀌었다고 생각해보자.) |
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