극한(비교)

|| 2 ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L‐\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이다.||

여기에서 열린구간을 어떤 한 지점을 포함하는 열린집합으로 바꿔 표현할 수 있다. 보통위상에서 어떤 한 지점 [math(a)]을 포함하는 열린집합 [math(O)]를 아무 거나 가져와도 그 지점 [math(a)]는 그 열린집합 [math(O)]의 내점(interior point)이므로 적당한 양수 [math(\delta)]를 가져오면 [math(a \in \left(a-\delta,\ a+\delta \right) \subset O)]가 되기 때문이다.

이를 이용하여 상기 표의 1번 식의 집합식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

||[math(x \in D)]이고 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(a \in O_{\delta})]이고 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이다. ||

가지는 극한은 위상에 따라 다를 수 있으며 또 유일하지 않을 수 있다. ([math(\mathbb{R})]의 유한여집합위상 등)