극한(비교)

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* 부등식을 집합식으로 변환

|| 번호 || 부등식 || 집합식 ||

|| 2 ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L‐\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이다.||

여기에서 열린구간을 어떤 한 지점을 포함하는 열린집합으로 바꿔 표현할 수 있다. 곧 위상수학에서 다루는 열린집합들로만 함수의 극한의 정의를 표현할 수 있다.

따라서 {{{#gray [math(D)]와의 교집합이 공집합으로 되지 않는 집합이므로 [math(O \backslash \left\{ a \right\})]는 공집합이 아니다. 곧}}} [math(O \backslash \left\{ a \right\} \neq \emptyset)]이다.

이를 이용하여 상기 표의 1번 식의 집합식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

{{{#gray ([math(O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\} \neq \emptyset)] 가 된다. 물론 [math(a \in \left(a-\delta,\ a+\delta \right))] 자체가 [math(O_{\delta})]로 될 수 있다. 위 식을 [math(O_{\delta})]로 표기하지 않고 [math(O)]로 표기할 수 있겠으나, 델타를 다루는 부분에서 변형되었음을 이해할 수 있도록 편의상 [math(O)] 아래 [math(\delta)]를 붙여둔다.)}}}

여기까지만 보면 "[math(\epsilon)]값이 어떠하더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L‐\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있는, [math(a \in O_{\delta})]인 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재할 때 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 극한을 가진다"고 바꿀 수 있다.

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* [math(\epsilon)] 집합 부분의 변화

2번 식을 보자. {{{#gray ([math(f\left(x\right))]의 범위를 다루는 부분인데, 변수 하나의 함수를 [math(y=f\left(x\right))] 식으로 다루는 경우가 많기 때문에 여기에서 집합의 지점이나 범위를 언급할 때 편의상 [math(y)]를 들어서 설명한다.)}}} [math(y=L)] 지점을 포함하는 아무 열린집합 [math(O_{\epsilon})]을 가져온다고 하자.