| r106 vs r107 | ||
|---|---|---|
| 1 | [[분류:수학]] | |
| 2 | [tableofcontents] | |
| 3 | == 개요 == | |
| 4 | {{{+3 Limit}}} | |
| 5 | ## 다음은 개인적으로 생각하는 극한의 정의입니다. - disciple153 | |
| 6 | 함수, 수열을 비롯한 어떤 연산자의 값의 변동이 일정 지점 부근(일정 구간 내)에서 어떤 값으로 제한되는지의 유무를 판단하여 그 존재 내지 값을 구하는 계산법이다. --포위망을 점점 좁힐 터이니 연산자 값은 길고 날뛰어봤자 이런 값에서 제한되어 못 벗어난다.-- | |
| 7 | 1 | |
| 8 | == 개략적인 극한의 정의 == | |
| 9 | 원래는 후술할 "엡실론을 이용한 극한의 정의"를 소개하는 것이 맞으나, 정의에 쓰이는 기호가 복잡하게 보이는 까닭에 고등학교 교과 과정에서는 (극한을 처음 배우는 입장이기도 하니) 극한을 원 정의에서 유추되는 설명으로 개략적으로 소개하고 있다. | |
| 10 | ||
| 11 | === 함수의 극한 === | |
| 12 | 수학에서 [math(x)]가 [math(a)]에 가까워질 때, [math(f(x))]가 한없이 [math(L)]에 가까워지면 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]이다. | |
| 13 | 이때, [math(x)]는 [math(a)]가 무조건 맞지는 않는다. | |
| 14 | ||
| 15 | === 수열의 극한 === | |
| 16 | 무한 수열 [math(a_{n})] 에 대해 [math(n)]이 무한히 커지고 [math(a_{n})]이 [math(L)]에 가까워지면 [math({\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L )] 이라고 한다. | |
| 17 | ||
| 18 | == 엡실론을 이용한 극한의 정의 == | |
| 19 | 고등학교 과정을 넘어가면 그리스 문자 [math(\epsilon)](엡실론), [math(\delta)](델타) 등을 읽으면서 극한의 정의를 엄밀하게 배운다. | |
| 20 | 내점(Interior point), 극한점(Limit point) 등의 용어가 나오는데, 이들을 먼저 이해해야 엡실론을 이용한 극한의 정의를 이해할 수 있음을 밝힌다. 다만, 건너뛰고 읽을 위키러들이 있을 수 있으니 문서 중간중간에 정의를 설명해놓았다. 실수체계에 대한 자세한 내용은 [[실수체계|이 문서]]를 참조할 수 있다. 위상에 대한 내용은 [[위상수학|이 문서]] 참조. | |
| 21 | ||
| 22 | 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합(, 집합의 표기법, 포함관계, 멱집합, 집합의 연산), 명제, 부등호, 절댓값, 함수(, 정의역, 공역, 함숫값), 수열 등의 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition), 정리(Theorem)들이므로 이해하기 쉬울 수 있다. "[math(\epsilon)]-근방" 등의 일부 기호는 풀어서 서술함을 밝힌다. | |
| 23 | 여기에서는 변수가 1개인 함수를 본다. | |
| 24 | * 먼저 실수 전체집합을 [math(\mathbb{R})]이라 하자. | |
| 25 | * 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수인 변수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자. (교과서에 따라 [math(E)]라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 [math(D)]로 적는다.) | |
| 26 | * (당연히 [math(D \subset \mathbb{R})]이 된다.) | |
| 27 | * (또한 이는 [math(f:D \to \mathbb{R})]이 된다.) | |
| 28 | ||
| 29 | === 어떤 지점에서의 함수의 극한 (엡실론-델타법) === | |
| 30 | [math(x \to a)]의 경우는 다음과 같이 된다. | |
| 31 | ||
| 32 | 들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다. | |
| 33 | ||[math(f\left(x\right))]의 정의역에 대하여 [math(x=a)]가 __[math(D)]의 극한점(limit point)__[*보통위상 실수 전체 집합 [math(\mathbb{R})]에서의 "보통위상(Usual Topology)" 곧 "[math(\mathbb{R})]에서 열린 구간(이를테면 [math(\left\{x|a<x<b, \ a,b \in \mathbb{R}\right\})])들, 또는 이들의 임의의 합집합(무한 개의 합집합이여도 된다.), 또는 이들의 유한 개의 교집합__으로 구성된 [math(\mathbb{R})]의 부분집합을 원소__로 가지는 집합 [math(\mathcal{T})](이 집합은 당연히 [math(\mathcal{P}(\mathbb{R}))]의 부분집합이다.)을 갖춘 위상"에서는 집적점(accumunation point)을 극한점(limit point)으로 부른다. 고등학교 과정에서 배우는 극한은 특별한 언급이 없다면 모두 보통위상에서의 극한이다.]일 것.|| | |
| 34 | ||
| 35 | [math(x=a)]가 "[math(D)]의 극한점이 됨"을 보이려면 (꼭 [math(a \in D)]일 필요는 없다.) | |
| 36 | ||임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 | |
| 37 | [math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
| 38 | 임을 보여야한다. | |
| 39 | ||
| 40 | 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루는 경우라면 정의역의 모든 점 및 경계에 해당되는 지점들(로그함수의 경우에는 간단한 경우 진수가 0으로 되는 [math(x)]의 지점들)이 극한점으로 될 수 있으나, 간혹 정의역 [math(D)]가 복잡하게 제한되는 경우가 있다. 이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다. | |
| 41 | 그러한 경우에는 극한을 계산하고자 하는 [math(x)]의 지점이 극한점이 됨을 증명해야 한다. | |
| 42 | ||
| 43 | 만일 [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이라면 그것으로도 충분하다. 왜냐면 [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 __곧 극한점이 되기 때문__이다. 자세한 이유는 [[#극한점 전제조건|아래 하위 문단의 내용]] 참조. | |
| 44 | ||
| 45 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다. | |
| 46 | ||[math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]와 [math(a)]에 대하여 | |
| 47 | 아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ("오차"라는 뜻의 '''e'''rror를 생각해보자.) | |
| 48 | 상수 [math(L \in \mathbb{R})]에 대하여 다음 명제 곧 | |
| 49 | > __[math(x \in D)]이고__ [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면[* 이는 [math(0 < \left\| x-a \right\| < \delta)]와 동치이며, 여기에서 꼭 [math(x=a)]__일 필요는 없음__이 나타닌다.] | |
| 50 | > [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다.[* 이는 [math({\color{gray}0\leq \ }\left\| f \left(x \right)-L \right\| < \epsilon)]와 동치이다. 회색으로 칠한 부등호([math(0\leq )]) 부분은 [math(f \left(x \right))]와 [math(L)]의 오차가 [math(0)]으로 나오는 경우([math(f \left(x \right)=L)]이 성립하는 경우. 잘 아는 예로는 함숫값이 [math(x)]의 값에 관계없이 일정한 상수로만 나오는 함수가 있다.)가 있으므로 기술을 잘 하지 않는 편이다.] | |
| 51 | 를 참이 되게 할 수 있는 __적당한 양수 [math(\delta)]를 항상 정할 수__ 있는 상수 [math(L)]이 존재할 때 ("편차"라는 뜻의 '''d'''ifference를 생각해보자.) | |
| 52 | ||
| 53 | 함수 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 [math(L)]로 '''수렴한다'''고 말하며 (동치로서) 기호로는 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]으로 표기한다. | |
| 54 | ||
| 55 | 만일 해당되는 [math(L)]이 존재하지 않으면, [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 '''발산한다'''고 말한다. || | |
| 56 | 이해를 돕기 위해 "수렴한다", "발산한다"라는 표현을 하였으며, 원래는 이보다 "함수 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 {{{#blue 극한을 가진}}}다.(A function [math(f\left(x\right))] {{{#blue has a limit}}} at [math(x=a)])" 라는 말로 더 많이 표현한다. | |
| 57 | ||
| 58 | 기호들을 사용하면 다음과 같다. | |
| 59 | ||[math(f:D\left(\subset\mathbb{R}\right) \to \mathbb{R},\ \ a \in D^{\prime})] | |
| 60 | [math(\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=L}\\ | |
| 61 | \Longleftrightarrow \exist L \in \mathbb{R}\ \text{such as}\ \forall \epsilon >0,\ \exist \delta > 0 \ \text{such as} \\ | |
| 62 | x \in D,\ 0< \left\|x-a\right\| < \delta \Longrightarrow \left\| f(x)-L\right\| < \epsilon)]|| | |
| 63 | 여기서 [math(D^{\prime})]는 [math(D)]의 모든 극한점들을 모아놓는 집합이다. | |
| 64 | ==== 참고사항1 ==== | |
| 65 | =====# 내점이면 극한점이 되는 이유 #===== | |
| 66 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이라고 하면 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 됨을 보이자. | |
| 67 | ||
| 68 | {{{+1 '''1.'''}}} 내점의 정의에 따라 다음을 만족한다. | |
| 69 | ||[math(a \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D)] | |
| 70 | 를 만족하는 적당한 양수 [math(c_{1})]가 존재한다.|| | |
| 71 | ||
| 72 | {{{+1 '''2.'''}}} '''1.'''에서 다음을 만족한다. | |
| 73 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset D)]|| | |
| 74 | ||
| 75 | {{{+1 '''3.'''}}} '''2.'''의 집합의 원소로는 [math(a-c_{1})]와 [math(a)]의 산술평균인 [math(\displaystyle{{{\left(a-c_{1}\right)+a}\over {2}}})]을 생각할 수 있으며. 사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많으면서 [math(D)]의 원소이다. | |
| 76 | 따라서 다음을 만족한다. | |
| 77 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
| 78 | ||
| 79 | {{{+1 '''4.'''}}} '''3.'''에서 [math({\color{green}c_{2}} \leq c_{1})]인 임의의 양수 [math({\color{green}c_{2}} )]에 대하여 | |
| 80 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D)]|| | |
| 81 | 이 되며, 다음 집합은 ([math(a-c_{2})]보다 크면서 [math(a)]보다 작은 실수는 무수히 많으면서도) [math(D)]의 부분집합이며 또한 공집합이 아니다. | |
| 82 | ||[math(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\})]|| | |
| 83 | ||
| 84 | 따라서 다음을 만족한다. | |
| 85 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\}\right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
| 86 | ||
| 87 | {{{+1 '''5.'''}}} 임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 [math({\color{red}c_{3}})]를 [math(c_{1})]과 [math({\color{blue}c})]중 작은 값으로 두자. | |
| 88 | 여기서 다음을 보이고자 한다. | |
| 89 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
| 90 | ||
| 91 | {{{+1 '''6.'''}}} '''5.'''에서 [math(c_{1})]과 [math({\color{blue}c})]의 대소는 [math({\color{blue}c} > c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} = c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} < c_{1})] 이다. | |
| 92 | ||
| 93 | {{{+1 '''7.'''}}} '''6.'''에서 만일 [math({\color{blue}c} \leq c_{1})]이라고 하자. | |
| 94 | 그러면 [math({\color{red}c_{3}}={\color{blue}c}\leq c_{1})]이 된다. | |
| 95 | 이 때 '''4.'''와 같은 방법으로 [math({\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}})] 으로 두면 다음의 식을 만족한다. | |
| 96 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}}<x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
| 97 | 여기서 [math({\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}}={\color{blue}c})]이 되었으므로 다음이 성립한다. | |
| 98 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
| 99 | ||
| 100 | {{{+1 '''8.'''}}} '''6.'''에서 만일 [math({\color{blue}c} > c_{1})]이라고 하자. | |
| 101 | 그러면 '''1.'''에서 | |
| 102 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))] | |
| 103 | [math({\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]|| | |
| 104 | 이 된다. 여기에서 다음이 성립한다. | |
| 105 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)] | |
| 106 | [math({\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]|| | |
| 107 | ||
| 108 | 이 때 '''2.''', '''3.'''에서 | |
| 109 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
| 110 | 가 성립한다. | |
| 111 | ||
| 112 | 공집합이 아닌 다음 집합인 | |
| 113 | ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]|| | |
| 114 | 을 포함하는 집합 곧 | |
| 115 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]|| | |
| 116 | 은 공집합이 아니므로 다음 식이 성립된다. (공집합이 아닌 집합을 포함하는 집합은 공집합이 아니다.) | |
| 117 | ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
| 118 | ||
| 119 | {{{+1 '''9.'''}}} '''7.'''과 '''8.'''에 따라 다음이 성립된다. | |
| 120 | ||임의의 [math({\color{blue}c})]에 대하여 | |
| 121 | [math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
| 122 | ||
| 123 | 따라서 [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다. | |
| 124 | ||
| 125 | 참고로, __주의할 점이 있는데 [math(D)]의 극한점이라고 해서 [math(D)]의 내점이 되지는 않__는다. 만일 [math(D)]가 [math(\mathbb{R})]의 모든 유리수들만을 모아놓은 집합(곧 유리수 전체의 집합 [math(\mathbb{Q})])이고 여기서 임의의[math(x=p)] 지점을 가져왔다고 하자. | |
| 126 | 임의의 양수 [math(c)]에 대하여 다음 집합인 | |
| 127 | ||[math(\left\{x|p-c<x<p+c\right\})]|| | |
| 128 | 를 보자. | |
| 129 | 위 집합에서는 [math(c)]가 그 어떤 값이 되어도 무수히 많은 유리수가 존재하면서도 이들은 모두 [math(D)]의 원소이다. 따라서 [math(D)]의 원소에 해당되는 모든 [math(x)]의 지점은 [math(D)]의 극한점이 된다. | |
| 130 | 한편, 위 집합에서는 [math(c)]가 그 어떤 값이라도 __무수히 많은 무리수__가 존재하며, 따라서 위 집합은 [math(D)]의 부분집합이 될 수 없다. 따라서 [math(D)]의 원소에 해당되는 모든 [math(x)]의 지점은 [math(D)]의 내점이 아님을 알 수 있다. | |
| 131 | (여담으로 [math(\mathbb{Q})]의 극한점들을 모아놓은 집합은 [math(\mathbb{R})]이 된다.) | |
| 132 | ||
| 133 | =====# 수렴하는 극한의 유일성 #===== | |
| 134 | 극한이 [math(L)]로 수렴할 경우, 유일(unique)하다. (여기 보통위상[*보통위상]에서는. [[위상]]이 어떤 구성으로 되어있느냐에 따라 수렴하는 극한값이 유일하지 않을 수 있다.) | |
| 135 | ||
| 136 | {{{+1 '''0.'''}}} 가정하기를(Suppose that) 서로 다른 두 실수 [math(L_{1})]과 [math(L_{2})]에 대하여 [math(L_{1} < L_{2})]이면서 | |
| 137 | ||[math(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left( x \right)=L_{1}})]이고 [math(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left( x \right)=L_{2}})]|| | |
| 138 | 라고 하자. (곧 [math(x \to a)]의 극한값이 둘이라고 하자.) | |
| 139 | ||
| 140 | {{{+1 '''1.'''}}} 그러면 함수의 정의에 따라 [math(L_{1})]과 [math(L_{2})]에 따른 임의의 두 양수 [math(\epsilon_{1})], [math(\epsilon_{2})]에 대하여 ([math(\epsilon_{1})], [math(\epsilon_{2})]이 그 어떤 값이라도) 적당한 양수 [math(\delta_{1})], [math(\delta_{2})]가 존재하여 다음을 만족한다. 다시 말해, 다음 두 명제는 참이 된다. | |
| 141 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{1} < x < a+\delta_{1})]이면 | |
| 142 | >[math(L_{1}-\epsilon_{1}< f\left(x\right) < L_{1}+\epsilon_{1})]이다. | |
| 143 | >------- | |
| 144 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{2} < x < a+\delta_{2})]이면 | |
| 145 | >[math(L_{2}-\epsilon_{2}< f\left(x\right) < L_{2}+\epsilon_{2})]이다. | |
| 146 | ||
| 147 | {{{+1 '''2.'''}}} 이 때 양수 [math(\epsilon)]을 | |
| 148 | ||[math(\displaystyle{{\color{blue}\epsilon} < {{L_{2} - L_{1}}\over{2}}})]|| | |
| 149 | 을 만족하는 적당한 값으로 두자. | |
| 150 | ||
| 151 | {{{+1 '''3.'''}}} 이 때 '''2.'''에서 [math(\epsilon_{1}={\color{blue}\epsilon})], [math(\epsilon_{2}={\color{blue}\epsilon})]으로 두어도 '''1.'''에 따라 적당한 양수 [math(\delta_{1})], [math(\delta_{2})]가 존재하여 다음을 만족한다. | |
| 152 | ([math(\epsilon_{1}=\epsilon_{2}={\color{blue}\epsilon})]을 대입한 것이며, 두 명제는 참이 된다.) | |
| 153 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{1} < x < a+\delta_{1})]이면 | |
| 154 | >[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]이다. | |
| 155 | >------- | |
| 156 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{2} < x < a+\delta_{2})]이면 | |
| 157 | >[math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다. | |
| 158 | ||
| 159 | {{{+1 '''4.'''}}} '''3.'''에서 양수 [math(\delta)]를 [math(\delta_{1})]과 [math(\delta_{2})] 중 작은 값으로 결정하면 다음 역시 만족한다.([math(\delta_{1})], [math(\delta_{2})]을 [math({\color{red}\delta})]으로 바꾼 것이며 두 명제는 참이 된다.) | |
| 160 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면 | |
| 161 | >[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]이다. | |
| 162 | >------- | |
| 163 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면 | |
| 164 | >[math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다. | |
| 165 | ||
| 166 | {{{+1 '''5.'''}}} '''4.'''의 두 명제를 합하면 다음 명제는 참이 된다. (충분조건이 동일하므로, 필요조건만을 합치면 된다.) | |
| 167 | >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면 | |
| 168 | >[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]__이면서__ [math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다. | |
| 169 | ||
| 170 | {{{+1 '''6.'''}}} 이 때('''5.'''에서) 모순(contradiction)이 발생한다. | |
| 171 | 왜냐면 '''5.'''의 결론부분인 | |
| 172 | >[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]__이면서__ [math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다. | |
| 173 | 에서 다음 두 집합 | |
| 174 | [math(D_{1}=\left\{ y | L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< y < L_{1}+{\color{blue}\epsilon}\right\})] | |
| 175 | [math(D_{2}=\left\{ y | L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< y < L_{2}+{\color{blue}\epsilon}\right\})] | |
| 176 | 을 정의하면 | |
| 177 | [math(D_{1})]와 [math(D_{2})]는 서로 소이기 때문이다. | |
| 178 | * 더 자세히 말하자면, [math(D_{1})]의 모든 지점은 [math(L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]보다 작은 값의 지점이며 [math(D_{2})]의 모든 지점은 [math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon})]보다 큰 값의 지점이다. | |
| 179 | * '''2.'''에서 [math(\displaystyle{{\color{blue}\epsilon} < {{L_{2} - L_{1}}\over{2}}})]이므로 ([math(L_{2})]와 [math(L_{1})]의 차이의 절반보다 작은 값이다.) | |
| 180 | [math(L_{1}+{\color{blue}\epsilon} < L_{2}-{\color{blue}\epsilon})] | |
| 181 | 이므로 [math(D_{1})]의 그 어느 점도 [math(D_{2})]의 원소가 될 수 없으면서 [math(D_{2})]의 그 어느 점도 [math(D_{1})]의 원소가 될 수 없다. | |
| 182 | ||
| 183 | 따라서 '''5.'''의 명제는 '''거짓이 되는 모순이 생긴다.''' | |
| 184 | ||
| 185 | {{{+1 '''7.'''}}} '''6.'''에서 시작하여 어디서 거짓이 되었는가를 찾고자 거슬러 올라가고 거슬러 올라가기를 거듭함으로써, 처음 가정했던 '''0.'''이 거짓이 된다. 곧 수렴하는 극한값이 2개가 된다는 말은 거짓이며, 이는 __귀류법에 따라__ 수렴하는 극한의 유일성이 증명된다. | |
| 186 | ||
| 187 | =====# [anchor(극한점 전제조건)]적어도 극한점임이 전제되어야 하는 이유 #===== | |
| 188 | 결론부터 말하자면 수렴하는 극한의 유일성에 문제가 발생하기 때문이다. | |
| 189 | ||
| 190 | {{{+1 '''0.'''}}} 가정하기를 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 없다고 하자. | |
| 191 | ||
| 192 | {{{+1 '''1.'''}}} 그럼 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 __아닌 경우__가 존재한다. | |
| 193 | ||
| 194 | {{{+1 '''2.'''}}} 극한점의 조건을 보자. | |
| 195 | [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점인 조건은 다음과 같다. | |
| 196 | ||임의의 양수 [math(c)]에 대하여 | |
| 197 | [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]|| | |
| 198 | ||
| 199 | 이 명제의 부정은 | |
| 200 | ||{{{#red 어떤}}} 양수 [math(c)]에 대하여 | |
| 201 | [math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D {\color{red}\ =\ }\emptyset)]|| | |
| 202 | 이 된다. | |
| 203 | ||
| 204 | {{{+1 '''3.'''}}} 함수의 극한의 정의에서 다음 명제를 보자. | |
| 205 | > [math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면 | |
| 206 | > [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. | |
| 207 | ||
| 208 | {{{+1 '''4.'''}}} '''1.'''의 경우(충분히 나올 수 있다) '''2.'''를 만족하는 [math(c)]를 가져와서 '''3.'''의 [math(\delta)]를 [math(\delta \leq c)]를 만족하는 적당한 값으로 두자.([math(\delta)]를 충분히 작은 값으로 잡자.) | |
| 209 | ||
| 210 | 그러면 [math(L)]의 값과 관계 없이 '''3.'''에 제시된 명제의 가정에서 두 조건이 서로 모순된다. | |
| 211 | ||1. [math(x \in D)] | |
| 212 | 2. [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]|| | |
| 213 | 따라서 '''가정이 거짓이 되며''', 가정이 거짓인 이유로 '''명제가 전체적으로 참'''이 되버리는 오류가 발생한다. | |
| 214 | ||
| 215 | {{{+1 '''5.'''}}} 이 때 [math(L)]의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다. 이는 수렴하는 함수의 유일성에 위배된다. | |
| 216 | ||
| 217 | 그러므로 적어도 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 있어야 한다. | |
| 218 | ||
| 219 | === 수열의 극한 === | |
| 220 | 무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f(x))]가 자연수 [math(n)]에 대한 함수 [math({\color{green}a_{n}})]으로 바뀌었다고 생각해보자.) | |
| 221 | ||무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]에 대하여 | |
| 222 | 아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 | |
| 223 | 상수 [math(L)]에 대하여 다음 명제 곧 | |
| 224 | > 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(n>{\color{blue}M})]이면 | |
| 225 | > [math(L-\epsilon< {\color{green}a_{n}} < L+\epsilon)]이다. | |
| 226 | 를 참이 되게 할 수 있는 __적당한 자연수 [math({\color{blue}M})]을 항상 정할 수__ 있는 상수 [math(L)]이 존재할 때 ("최소한의"라는 뜻의 Minimal을 생각해보자. 교과서에 따라 [math(M)]을 [math(N)]으로 표기하기도 한다.) | |
| 227 | ||
| 228 | 무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]은 [math(L)]으로 '''수렴한다'''고 말하며 (동치로서) 기호로는 [math(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\color{green}a_{n}}=L)]으로 표기한다. | |
| 229 | ||
| 230 | 만일 해당되는 [math(L)]이 존재하지 않으면, 무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]은 '''발산한다'''고 말한다. || | |
| 231 | ||
| 232 | 이를 이용하여 함수든 수열이든 수렴하는 극한의 사칙연산에 대한 성질, 샌드위치 정리의 성립, [math(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{{1}\over {n}}=0)]의 성립을 증명할 수 있다. (무한 수열에서 [math({{1}\over {n}})], [math({{1}\over {n^2}})], [math({{1}\over {n^3}})] 등으로 바꿀 수 있는 부분은 [math(0)]으로 --안심하고--날릴 수 있다. 다만 0으로 나누는 식이 되지 않도록 주의하자.) | |
| 233 | ||
| 234 | == 다른 공간에서 극한의 정의 == | |
| 235 | === 위상공간에서 극한의 정의 === | |
| 236 | 위상수학에서는 위상에 따른 열린집합(개집합)을 두고 집적점(극한점)을 정의하게 된다. | |
| 237 | ====# 보통위상[*보통위상]에서 변환하는 과정 #==== | |
| 238 | 앞의 [[#엡실론-델타법 정의|엡실론-델타법]]에서 다루는 부등호 식은 바꿔보면 일종의 열린집합과 원소의 포함관계로 표시된다. ([math(A)] 초과 [math(B)] 미만의 모든 점의 집합을 [math(\left( A,\ B\right))]과 같이 열린구간을 표시한다.) | |
| 239 | ||
| 240 | ---- | |
| 241 | * 부등식을 집합식으로 변환 | |
| 242 | || 번호 || 부등식 || 집합식 || | |
| 243 | || 1 ||[math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이다. ||[math(x \in \left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})]이다. || | |
| 244 | || 2 ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이다.|| | |
| 245 | ||
| 246 | 여기에서 열린구간을 어떤 한 지점을 포함하는 열린집합으로 바꿔 표현할 수 있다. 곧 위상수학에서 다루는 열린집합들로만 함수의 극한의 정의를 표현할 수 있다. | |
| 247 | ||
| 248 | ---- | |
| 249 | * 엡실론-델타법에서 [math(\delta)] 집합 부분 내용의 변화 | |
| 250 | 위의 집합식에서, 각 [math(\epsilon)]마다 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있도록 어떤 양수 [math(\delta)]가 존재하여 어떤 한 지점 [math(a)]을 포함하는 열린구간 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right))]을 두고 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})]으로 [math(x)]의 범위를 잡을 수 있다고 가정해보자. 그러면 해당 열린구간 [math(\left(a-\delta ,\ a+\delta \right))]은 열린집합이므로, 다음 두 비교가 나온다. | |
| 251 | || 번호 || 식 || | |
| 252 | || 1.1. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ... 양수 [math(\delta)]가 존재하여 [math(x \in \left(a-\delta ,\ a+\delta \right) \backslash \left\{a \right\})] 이다. || | |
| 253 | || 1.2. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ... [math(a)]를 포함하는 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이다. || | |
| 254 | ||
| 255 | 앞에서 '''1.1.'''이면 '''1.2.'''이라는 설명이 있으므로, '''1.2.'''이면 '''1.1.'''이라는 설명을 해보자. [math(a)]를 포함하는 [math(O_{\delta})]를 아무 거나 가져온다고 하자면, 그 지점 [math(a)]는 그 열린집합 [math(O_{\delta})]의 내점(interior point)이니 적당한 양수 [math(\delta_{1})]를 가져오면 [math(a \in \left(a-\delta_{1},\ a+\delta_{1} \right) \subset O_{\delta})]가 된다. {{{#gray 이 열린집합이 존재함을 보이는 것만으로도 [math(a \in \left(a-\delta_{1},\ a+\delta_{1} \right) \subset O_{\delta})]를 만족하는 적당한 [math(\delta_{1})]는 존재하고 곧 엡실론-델타법에서 말하는 [math(\delta)] 열린구간을 찾는 것이 되므로 극한을 가진다고 말할 수 있다.}}} | |
| 256 | ||
| 257 | 이로써 "[math(\epsilon)]값이 어떠하더라도 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이 될 수 있는, [math(a \in O_{\delta})]인 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재할 때 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 극한을 가진다"고 바꿀 수 있다. {{{#gray 곧 델타를 다루는 설명을 열린집합을 다루는 설명으로 바꾸는 것이다.}}} | |
| 258 | ||
| 259 | ---- | |
| 260 | * [math(\epsilon)] 집합 부분의 변화 | |
| 261 | 2번 식을 보자. ([math(f\left(x\right))]의 범위를 다루는 부분인데, 다음 두 비교를 보자. | |
| 262 | || 번호 || 식 || | |
| 263 | || 2.1. ||아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ... [math(a)]를 포함하는 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon ,\ L+\epsilon \right))]이다. || | |
| 264 | || 2.2. ||아무 [math(L \in O_{\epsilon})]인 열린집합 [math(O_{\epsilon})]을 잡더라도 ... [math(a)]를 포함하는 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in O_{\epsilon})]이다. || | |
| 265 | ||
| 266 | 먼저 '''2.1.'''이면 '''2.2'''이라는 설명을 해보자. | |
| 267 | ||
| 268 | [math(L)] 지점을 포함하는 아무 열린집합 [math(O_{\epsilon})]을 가져온다고 하면 [math(L)]는 [math(O_{\epsilon})]의 내점이므로 적당한 양수 [math(\epsilon_{1})]을 가져오면 다음을 만족한다. | |
| 269 | ||[math(L \in \left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1}\right) \subset O_{\epsilon})] || | |
| 270 | ||
| 271 | 이 때 '''2.1.'''이라면 [math(\epsilon=\epsilon_{1})]인 경우에서 [math(x=a)]지점을 포함하는 적당한 열린집합 [math(O_{\delta_{1}})]가 존재하므로 다음을 만족한다. | |
| 272 | ||[math(x \in O_{\delta_{1}} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in \left(L-\epsilon_{1} ,\ L+\epsilon_{1} \right))]이다. || | |
| 273 | ||
| 274 | [math(L \in \left(L-\epsilon_{1},\ L+\epsilon_{1}\right) \subset O_{\epsilon})] 이 되므로 곧 다음을 만족한다. | |
| 275 | ||[math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in O_{\epsilon})]이다. || | |
| 276 | ||
| 277 | 이것으로 '''2.1.'''이면 '''2.2'''이다. | |
| 278 | ||
| 279 | 반대로 '''2.2'''이면 '''2.1.'''이 됨을 설명해보자면 '''2.2.'''에서 '''아무''' [math(L \in O_{\epsilon})]인 열린집합이므로, [math(O_{\epsilon}=\left(L-\epsilon,\ L+\epsilon\right))]으로 두면 각 [math(\epsilon)]마다 적당한 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하므로 설명은 충분하다. | |
| 280 | ||
| 281 | ==== 변환 ==== | |
| 282 | 위상에 대한 설명을 하려면 열린집합에 대한 설명으로 번역(?)해야 한다. 다음은 (앞의 변환 과정을 통해 얻는) 보통위상의 [math(\mathbb{R})]에서 극한의 정의가 된다. | |
| 283 | > 정의역을 [math(D)]로 가지는 [math(x)]에 대한 함수 [math(f)]가 있고 [math(a)]가 (위상에서) [math(D)]의 집적점일 때, | |
| 284 | > 아무 [math(L \in O_{\epsilon})]인 열린집합 [math(O_{\epsilon})]을 잡더라도 | |
| 285 | > [math(a)]를 포함하는 열린집합 [math(O_{\delta})]가 존재하여 [math(x \in O_{\delta} \backslash \left\{ a \right\})] 이면 [math(f\left(x\right) \in O_{\epsilon})]일 경우 | |
| 286 | > 함수 [math(f)]는 [math(x=a)]에서 극한을 가진다고 말한다. | |
| 287 | ||
| 288 | 여기에서 위상수학에서 다루는 부분으로 넘어가서 정의를 해보자면 몇 가지의 제약조건이 더 생기게 된다. 앞의 [[#엡실론 델타법|엡실론 델타법]]은 정의역이 보통위상의 집합 [math(\mathbb{R})]의 부분집합이고 공역이 보통위상의 집합 [math(\mathbb{R})]인 함수에 대해서 다뤘다면, 위상공간에서는 일반적으로 위상이 있는 집합의 정의역{{{#gray 인 부분집합}}}에서 위상이 있는 공역 집합으로 가는 함수에 대해서 다루어야 하며 정의역과 공역은 그 위상이나 집합이 서로 다를 수 있기 때문이다. | |
| 289 | ||
| 290 | 먼저 어디가 정의역 집합의 위상에 대한 열린집합이며 어디가 공역 집합의 위상에 대한 열린집합인지를 구분해야 할 필요가 있다. | |
| 291 | ||
| 292 | 가지는 극한은 위상에 따라 다를 수 있으며 또 유일하지 않을 수 있다. ([math(\mathbb{R})]의 유한여집합위상 등) | |
| 293 | ||
| 294 | === 변수가 2개 이상인 경우 === | |
| 295 | 변수가 2개 이상이 되면 각 변수들은 독립적이므로 서로 수직인 축들이 2개 이상으로 되어 있는 [math(\mathbb{R}^{2})], [math(\mathbb{R}^{3})] 평면, (3차원) 공간 등 [math(n)]차원 (유클리드)공간에서 점의 좌표와 점과 점 사이의 거리를 이용한 (위상으로) 극한을 정의한다. | |
| 296 | ||
| 297 | == 여담 == | |
| 298 | 극한의 엄밀한 정의가 없던 때, 무한수열 [math(a_{n}=)][math(1)], [math(0)], [math(1)], [math(0)], [math(1)], [math(0)], [math(\ldots)]에 대하여 "[math(0)]과 [math(1)]이 반복되니 이 수열의 극한값은 그 중간값인 [math({{1}\over{2}})]가 되지 않을까?"라는 말이 오갔다는 카더라가 있다. 엄밀한 정의가 생겨난 지금에서는 "발산한다"는 결론이 쉽게 나지만. | |
| 299 | ||
| 300 | == 관련 문서 == | |
| 301 | * [[연속]] (continuous) | |
| 302 | * [[미분]] : 블록을 조립하거나 큐브를 만지작거리듯이 식을 이리 저리 바꾸는 풀이에 익숙할 수 있겠지만, 원리를 보자면 극한을 이용하여 계산할 수 있는 방법 중 하나이다. | |
| 303 |