극한(비교)

== 개요 ==

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## 다음은 개인적으로 생각하는 극한의 정의입니다. - disciple153

\Longleftrightarrow \exist L \in \mathbb{R}\ \text{such as}\ \forall \epsilon >0,\ \exist \delta > 0 \ \text{such as} \\

x \in D,\ 0< \left\|x-a\right\| < \delta \Longrightarrow \left\| f(x)-L\right\| < \epsilon)]||

여기서 [math(D^{\prime})]는 [math(D)]의 모든 극한점들을 모아놓는 집합이다.

==== 참고사항1 ====

=====# 내점이면 극한점이 되는 이유 #=====

[math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이라고 하면 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 됨을 보이자.

{{{+1 '''1.'''}}} 그러면 함수의 정의에 따라 [math(L_{1})]과 [math(L_{2})]에 따른 임의의 두 양수 [math(\epsilon_{1})], [math(\epsilon_{2})]에 대하여 ([math(\epsilon_{1})], [math(\epsilon_{2})]이 그 어떤 값이라도) 적당한 양수 [math(\delta_{1})], [math(\delta_{2})]가 존재하여 다음을 만족한다. 다시 말해, 다음 두 명제는 참이 된다.

>[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{1} < x < a+\delta_{1})]이면

>[math(L_{1}-\epsilon_{1}< f\left(x\right) < L_{1}+\epsilon_{1})]이다.

>[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{2} < x < a+\delta_{2})]이면

>[math(L_{2}-\epsilon_{2}< f\left(x\right) < L_{2}+\epsilon_{2})]이다.

([math(\epsilon_{1}=\epsilon_{2}={\color{blue}\epsilon})]을 대입한 것이며, 두 명제는 참이 된다.)

>[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{1} < x < a+\delta_{1})]이면

>[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]이다.

>[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{2} < x < a+\delta_{2})]이면

>[math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다.

{{{+1 '''4.'''}}} '''3.'''에서 양수 [math(\delta)]를 [math(\delta_{1})]과 [math(\delta_{2})] 중 작은 값으로 결정하면 다음 역시 만족한다.([math(\delta_{1})], [math(\delta_{2})]을 [math({\color{red}\delta})]으로 바꾼 것이며 두 명제는 참이 된다.)

>[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면

>[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]이다.

>[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면

>[math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다.

== 다른 공간에서 극한의 정의 ==

=== 위상공간에서 극한의 정의 ===

위상수학에서는 위상에 따른 열린집합(개집합)을 두고 집적점(극한점)을 정의하게 된다.

====# 보통위상[*보통위상]에서 변환하는 과정 #====

앞의 [[#엡실론-델타법 정의|엡실론-델타법]]에서 다루는 부등호 식은 바꿔보면 일종의 열린집합과 원소의 포함관계로 표시된다. ([math(A)] 초과 [math(B)] 미만의 모든 점의 집합을 [math(\left( A,\ B\right))]과 같이 열린구간을 표시한다.)

* [[연속]] (continuous)

* [[미분]] : 블록을 조립하거나 큐브를 만지작거리듯이 식을 이리 저리 바꾸는 풀이에 익숙할 수 있겠지만, 원리를 보자면 극한을 이용하여 계산할 수 있는 방법 중 하나이다.