극한(비교)

{{{#!folding [내용 보기, 접기]

* 먼저 [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이려면 내점의 정의에 따라 다음을 만족해야 한다.

||[math(a \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D)]

를 만족하는 적당한 양수 [math(c_{1})]가 존재한다.||

1. 여기에서

||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset D)]||

이므로

||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||

을 만족한다.

1. [math(c_{2} \leq c_{1})]인 임의의 양수 [math(c_{2})]에 대하여

||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D)]||

이므로

||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||

을 만족한다.

1. 따라서 임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 [math(c_{2})]를 [math(c_{1})]과 [math(c)]중 작은 값으로 두자. 그러면

||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||

의 식을 만족한다.

[math(c \leq c_{1})]이면 2번과 같은 방법으로 성립되며, [math(c > c_{1})]이면 1번에서

||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]||

이 되기 때문에 성립한다.

* 그러므로

||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||

을 만족하며, [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다.}}}