극한(비교)

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 r113 vs r114
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 ||[math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]와 [math(a)]에 대하여
 아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ("오차"라는 뜻의 '''e'''rror를 생각해보자.)
 상수 [math(L \in \mathbb{R})]에 대하여 다음 명제 곧
-> __[math(x \in D)]이고__ [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면[* 이는 [math(0 < \left\| x-a \right\| < \delta)]와 동치이며, 여기에서 꼭 [math(x=a)]__일 필요는 없음__이 나타닌다.]
-> [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다.[* 이는 [math({\color{gray}0\leq \ }\left\| f \left(x \right)-L \right\| < \epsilon)]와 동치이다.  회색으로 칠한 부등호([math(0\leq )]) 부분은 [math(f \left(x \right))]와 [math(L)]의 오차가 [math(0)]으로 나오는 경우([math(f \left(x \right)=L)]이 성립하는 경우.  잘 아는 예로는 함숫값이 [math(x)]의 값에 관계없이 일정한 상수로만 나오는 함수가 있다.)가 있으므로 기술을 잘 하지 않는 편이다.]
+>{{{#!wiki style="padding: 0.5em;"
+__[math(x \in D)]이고__ [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면[* 이는 [math(0 < \left\| x-a \right\| < \delta)]와 동치이며, 여기에서 꼭 [math(x=a)]__일 필요는 없음__이 나타닌다.]
+[math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다.[* 이는 [math({\color{gray}0\leq \ }\left\| f \left(x \right)-L \right\| < \epsilon)]와 동치이다.  회색으로 칠한 부등호([math(0\leq )]) 부분은 [math(f \left(x \right))]와 [math(L)]의 오차가 [math(0)]으로 나오는 경우([math(f \left(x \right)=L)]이 성립하는 경우.  잘 아는 예로는 함숫값이 [math(x)]의 값에 관계없이 일정한 상수로만 나오는 함수가 있다.)가 있으므로 기술을 잘 하지 않는 편이다.]}}}
 를 참이 되게 할 수 있는 __적당한 양수 [math(\delta)]를 항상 정할 수__ 있는 상수 [math(L)]이 존재할 때 ("차이"라는 뜻의 '''d'''ifference를 생각해보자.)
 함수 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 [math(L)]로 '''수렴한다'''고 말하며 (동치로서) 기호로는 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]으로 표기한다.
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 ||무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]에 대하여
 아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도
 상수 [math(L)]에 대하여 다음 명제 곧
-> 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(n>{\color{blue}M})]이면
-> [math(L-\epsilon< {\color{green}a_{n}} < L+\epsilon)]이다.
+>{{{#!wiki style="padding: 0.5em"
+자연수 [math(n)]에 대하여 [math(n>{\color{blue}M})]이면
+[math(L-\epsilon< {\color{green}a_{n}} < L+\epsilon)]이다.}}}
 를 참이 되게 할 수 있는 __적당한 자연수 [math({\color{blue}M})]을 항상 정할 수__ 있는 상수 [math(L)]이 존재할 때 ("최소한의"라는 뜻의 Minimal을 생각해보자.  교과서에 따라 [math(M)]을 [math(N)]으로 표기하기도 한다.)
 무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]은 [math(L)]으로 '''수렴한다'''고 말하며 (동치로서) 기호로는 [math(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\color{green}a_{n}}=L)]으로 표기한다.
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 변수가 2개 이상이 되면 각 변수들은 독립적이므로 서로 수직인 축들이 2개 이상으로 되어 있는 [math(\mathbb{R}^{2})], [math(\mathbb{R}^{3})] 평면, (3차원) 공간 등 [math(n)]차원 (유클리드)공간에서 점의 좌표와 점과 점 사이의 거리를 이용한 (위상으로) 극한을 정의한다.
 == [anchor(함수의 연속)]연속 ==
+앞의 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]에서 [math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 정의되고
+>[math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)=L)]
+를 만족하게 된다면 [math(f(x))]는 [math(x=a)]에서 연속이라고 말한다.
 == 여담 ==
 극한의 엄밀한 정의가 없던 때, 무한수열 [math(a_{n}=)][math(1)], [math(0)], [math(1)], [math(0)], [math(1)], [math(0)], [math(\ldots)]에 대하여 "[math(0)]과 [math(1)]이 반복되니 이 수열의 극한값은 그 중간값인 [math({{1}\over{2}})]가 되지 않을까?"라는 말이 오갔다는 카더라가 있다.  엄밀한 정의가 생겨난 지금에서는 "발산한다"는 결론이 쉽게 나지만.
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