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실수체계(비교)

r13 vs r14
......
1616
다음은 덧셈과 곱셈 연산에 대한 성질이다.
1717
||모든 실수를 모아놓은 집합 [math(\mathbb{R})]과 임의의 실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 다음을 만족한다.
1818
{{{+1 I.}}} [[덧셈]] 연산 "[math(+)]"에 대한 성질
19
1. [math(a+b \in \mathbb{R})] : 덧셈 연산'''에 대하여 닫혀 있다'''.[*닫힘 즉 [math(\mathbb{R})]의 그 어느 두 원소를 가져와서 해당 연산을 해도 [math(\mathbb{R})]의 원소가 아닌 원소로 되지 않는다.]
20
1. [math({\color{red}a}+{\color{orange}b}={\color{orange}b}+{\color{red}a})] : 덧셈 연산에 대한 '''교환법칙'''이 성립한다.
21
1. [math({\color{blue}(}a+b{\color{blue})}+c=a+{\color{blue}(}b+c{\color{blue})})] : 덧셈 연산에 대한 '''결합법칙'''이 성립한다. 괄호를 풀어서 [math(=a+b+c)]이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
22
1. [math({\color{red}0} \in \mathbb{R})]이 존재하여
19
1. [anchor(Axiom_1.1)][math(a+b \in \mathbb{R})] : 덧셈 연산'''에 대하여 닫혀 있다'''.[*닫힘 즉 [math(\mathbb{R})]의 그 어느 두 원소를 가져와서 해당 연산을 해도 [math(\mathbb{R})]의 원소가 아닌 원소로 되지 않는다.]
20
1. [anchor(Axiom_1.2)][math({\color{red}a}+{\color{orange}b}={\color{orange}b}+{\color{red}a})] : 덧셈 연산에 대한 '''교환법칙'''이 성립한다.
21
1. [anchor(Axiom_1.3)][math({\color{blue}(}a+b{\color{blue})}+c=a+{\color{blue}(}b+c{\color{blue})})] : 덧셈 연산에 대한 '''결합법칙'''이 성립한다. 괄호를 풀어서 [math(=a+b+c)]이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
22
1. [anchor(Axiom_1.4)][math({\color{red}0} \in \mathbb{R})]이 존재하여
2323
[math(a+{\color{red}0}={\color{red}0}+a=a)]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
2424
: 덧셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 항등원'''인 [math({\color{red}0})]이 존재한다.
25
1. [math({\color{green}-a} \in \mathbb{R})]이 존재하면서
25
1. [anchor(Axiom_1.5)][math({\color{green}-a} \in \mathbb{R})]이 존재하면서
2626
[math(a+{\color{green}(-a)}={\color{green}(-a)}+a={\color{red}0})]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
2727
: 덧셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 역원'''인 [math({\color{green}-a})]이 존재한다.
2828
2929
{{{+1 II.}}} [[곱셈]] 연산 "[math(•)]"에 대한 성질
30
1.#6 [math(a•b \in \mathbb{R})] : 곱셈 연산'''에 대하여 닫혀 있다'''.[*닫힘]
31
1. [math({\color{red}a}•{\color{orange}b}={\color{orange}b}•{\color{red}a})] : 곱셈 연산에 대한 '''교환법칙'''이 성립한다.
32
1. [math({\color{blue}(}a•b{\color{blue})}•c=a•{\color{blue}(}b•c{\color{blue})})] : 곱셈 연산에 대한 '''결합법칙'''이 성립한다. 괄호를 풀어서 [math(=a•b•c)]이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
33
1. [math({\color{red}1} \in \mathbb{R})]이 존재하여
30
1.#6 [anchor(Axiom_1.6)][math(a•b \in \mathbb{R})] : 곱셈 연산'''에 대하여 닫혀 있다'''.[*닫힘]
31
1. [anchor(Axiom_1.7)][math({\color{red}a}•{\color{orange}b}={\color{orange}b}•{\color{red}a})] : 곱셈 연산에 대한 '''교환법칙'''이 성립한다.
32
1. [anchor(Axiom_1.8)][math({\color{blue}(}a•b{\color{blue})}•c=a•{\color{blue}(}b•c{\color{blue})})] : 곱셈 연산에 대한 '''결합법칙'''이 성립한다. 괄호를 풀어서 [math(=a•b•c)]이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
33
1. [anchor(Axiom_1.9)][math({\color{red}1} \in \mathbb{R})]이 존재하여
3434
[math(a•{\color{red}1}={\color{red}1}•a=a)]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
3535
: 곱셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 항등원'''인 [math({\color{red}1})]이 존재한다.
36
1. "[math(0)]이 아닌" [math(a)]에 대하여, [math({\color{green}{\dfrac{1}{a}}} \in \mathbb{R})]이 존재하면서
36
1. [anchor(Axiom_1.10)]"[math(0)]이 아닌" [math(a)]에 대하여, [math({\color{green}{\dfrac{1}{a}}} \in \mathbb{R})]이 존재하면서
3737
[math(a•{\color{green}{\dfrac{1}{a}}}={\color{green}{\dfrac{1}{a}}}•a={\color{red}1})]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
3838
: 곱셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 역원'''인 [math({\color{green}{\dfrac{1}{a}}})]이 존재한다.
3939
4040
{{{+1 III.}}} 덧셈 연산과 곱셈 연산에 대한 성질 (분배법칙)
41
1.#11 [math({\color{red}a}{\color{green}•}{\color{blue}(}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{gold}c}{\color{blue})}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c})]
42
1. [math({\color{blue}(}{\color{red}a}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{blue})}{\color{green}•}{\color{gold}c}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{green}•}{\color{gold}c})]
41
1.#11 [anchor(Axiom_1.11)][math({\color{red}a}{\color{green}•}{\color{blue}(}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{gold}c}{\color{blue})}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c})]
42
1. [anchor(Axiom_1.12)][math({\color{blue}(}{\color{red}a}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{blue})}{\color{green}•}{\color{gold}c}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{green}•}{\color{gold}c})]
4343
||
4444
4545
다음은 대소비교에 대한 성질이다.
4646
||{{{+1 IV.}}} 대소비교
47
1.#13 임의의 실수 [math(a)], [math(b)] 에 대하여 다음 셋 중 하나는 반드시 만족한다.
47
1.#13 [anchor(Axiom_1.13)]임의의 실수 [math(a)], [math(b)] 에 대하여 다음 셋 중 하나는 반드시 만족한다.
4848
i. [math(a>b)]
4949
i. [math(a=b)]
5050
i. [math(a<b)]
......
6565
6666
임의의 실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 몇 가지 증명을 해본다.
6767
68
-------
69
{{{+2 [math(a \times 0 =0)]의 증명}}}
68
=== [math(a \times 0 =0\text{. 곧 })]0을 곱하면 0이 된다. ===
7069
{{{+1 '''1.'''}}} 먼저 [math(0 \in \mathbb{R})]이 성립하므로 다음이 성립한다.
71
||[math(0{\color{blue}+0} \in \mathbb{R})]이고 [math(0{\color{blue}+0}=0)] 이다.
72
(덧셈연산에 대한 [math(0)]의 항등원)||
70
i. 실수 [math(0)]과 [math({\color{blue}0})]의 덧셈은 실수이다. ([[#Axiom_1.1|덧셈연산의 닫힘]]) 곧 다음이 성립한다.
71
||[math(0{\color{blue}+0} \in \mathbb{R})]||
72
i. 실수 [math(0)]에 대하여 실수 [math({\color{blue}0})]은 덧셈연산에 대한 [[#Axiom_1.4|항등원]]이므로 다음이 성립한다.
73
||[math(0{\color{blue}+0}=0)]||
7374
74
{{{+1 '''2.'''}}} [math(1 \in \mathbb{R})]이 성립하므로 다음이 성립한다.
75
||[math({\color{green}-1} \in \mathbb{R})]이고 [math(1{\color{green}+(-1)}=0)] 이다.
76
(덧셈연산에 대한 [math(1)]의 역원)||
75
{{{+1 '''2.'''}}} [math(1 \in \mathbb{R})]이 성립하므로 다음이 성립한다.
76
i. 덧셈연산에 대한 [math(1)]의 [[#Axiom_1.5|역원]]이 존재하므로 다음이 성립한다.
77
||[math({\color{green}-1} \in \mathbb{R})]이고 [math(1{\color{green}+(-1)}=0)] 이다.||
7778
79
{{
7880
7981
[[분류:수학]][[분류:더새드위키 수학 프로젝트]]