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실수체계(비교)

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1
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2
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13
[목차]
24
== 개요 ==
35
{{{+2 The Real Number System}}}
......
810
공리, 정리에 대한 자세한 설명은 [[논리(수학)|이 문서]]를 참조할 수 있으며, 집합에 대한 자세한 설명은 [[집합(수학)|이 문서]]를 참조할 수 있다.
911
1012
== 기본적인 실수의 성질 ==
11
다음은 실수에 대한 성질을 다루며, 공리로 다루어 시작한다.
13
다음은 실수에 대한 성질을 공리들을 다루는 것으로 시작한다.
1214
(논리체계를 시작으로 하여 [math(1 \in \mathbb{C})], [math(1 \neq 0)]을 공리로 둔 다음 여러 논리체계의 정리를 거쳐 [math(1 \in \mathbb{R})]이 성립함을 [[http://us.metamath.org/mpeuni/1re.html|증명한 곳]](...)도 있다. 여기서 [math(\mathbb{C})]는 모든 [[복소수]]들을 모아놓은 집합이다. 복소수체계를 공리로 두고 시작하는 방법이든 실수체계를 공리로 두고 시작하는 방법이든 둘 중 하나는 공리로 둘 수 밖에 없다. 단, [[허수]]에 대하여 [math(i \in \mathbb{C})]는 둘 중 어느 방법으로 하든 [[http://us.metamath.org/mpeuni/ax-icn.html|공리]]로 둔다.)
1315
1416
또한 집합론에서 두 원소를 두고 "관계"(relation)를 정의하면서 "연산"을 정의하고 시작한다. 이는 (단순 모든 실수의 집합만이 아닌 일반적인 집합에 대한 개념을 다루는 까닭에) 내용이 방대하므로 (고등학교 과정에서는 배우지 않는다.) [[집합(수학)|집합]] 문서의 서술로 남겨두고 여기에는 생략한다.
......
1618
다음은 덧셈과 곱셈 연산에 대한 성질이다.
1719
||모든 실수를 모아놓은 집합 [math(\mathbb{R})]과 임의의 실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 다음을 만족한다.
1820
{{{+1 I.}}} [[덧셈]] 연산 "[math(+)]"에 대한 성질
19
1. [anchor(Axiom_1.1)][math(a+b \in \mathbb{R})] : 덧셈 연산'''에 대하여 닫혀 있다'''.[*닫힘 즉 [math(\mathbb{R})]의 그 어느 두 원소를 가져와서 해당 연산을 해도 [math(\mathbb{R})]의 원소가 아닌 원소로 되지 않는다.]
20
1. [anchor(Axiom_1.2)][math({\color{red}a}+{\color{orange}b}={\color{orange}b}+{\color{red}a})] : 덧셈 연산에 대한 '''교환법칙'''이 성립한다.
21
1. [anchor(Axiom_1.3)][math({\color{blue}(}a+b{\color{blue})}+c=a+{\color{blue}(}b+c{\color{blue})})] : 덧셈 연산에 대한 '''결합법칙'''이 성립한다. 괄호를 풀어서 [math(=a+b+c)]이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
22
1. [anchor(Axiom_1.4)][math({\color{red}0} \in \mathbb{R})]이 존재하여
21
'''Axiom 1.1.''' [anchor(Axiom 1.1)][math(a+b \in \mathbb{R})] : 덧셈 연산'''에 대하여 닫혀 있다'''.[*닫힘 즉 [math(\mathbb{R})]의 그 어느 두 원소를 가져와서 해당 연산을 해도 [math(\mathbb{R})]의 원소가 아닌 원소로 되지 않는다.]
22
'''Axiom 1.2.''' [anchor(Axiom 1.2)][math({\color{red}a}+{\color{orange}b}={\color{orange}b}+{\color{red}a})] : 덧셈 연산에 대한 '''교환법칙'''이 성립한다.
23
'''Axiom 1.3.''' [anchor(Axiom 1.3)][math({\color{blue}(}a+b{\color{blue})}+c=a+{\color{blue}(}b+c{\color{blue})})] : 덧셈 연산에 대한 '''결합법칙'''이 성립한다. 괄호를 풀어서 [math(=a+b+c)]이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
24
'''Axiom 1.4.''' [anchor(Axiom 1.4)][math({\color{red}0} \in \mathbb{R})]이 존재하여
2325
[math(a+{\color{red}0}={\color{red}0}+a=a)]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
2426
: 덧셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 항등원'''인 [math({\color{red}0})]이 존재한다.
25
1. [anchor(Axiom_1.5)][math({\color{green}-a} \in \mathbb{R})]이 존재하면서
27
'''Axiom 1.5.''' [anchor(Axiom 1.5)][math({\color{green}-a} \in \mathbb{R})]이 존재하면서
2628
[math(a+{\color{green}(-a)}={\color{green}(-a)}+a={\color{red}0})]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
2729
: 덧셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 역원'''인 [math({\color{green}-a})]이 존재한다.
2830
2931
{{{+1 II.}}} [[곱셈]] 연산 "[math(•)]"에 대한 성질
30
1.#6 [anchor(Axiom_1.6)][math(a•b \in \mathbb{R})] : 곱셈 연산'''에 대하여 닫혀 있다'''.[*닫힘]
31
1. [anchor(Axiom_1.7)][math({\color{red}a}•{\color{orange}b}={\color{orange}b}•{\color{red}a})] : 곱셈 연산에 대한 '''교환법칙'''이 성립한다.
32
1. [anchor(Axiom_1.8)][math({\color{blue}(}a•b{\color{blue})}•c=a•{\color{blue}(}b•c{\color{blue})})] : 곱셈 연산에 대한 '''결합법칙'''이 성립한다. 괄호를 풀어서 [math(=a•b•c)]이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
33
1. [anchor(Axiom_1.9)][math({\color{red}1} \in \mathbb{R})]이 존재하여
32
'''Axiom 1.6.''' [anchor(Axiom 1.6)][math(a•b \in \mathbb{R})] : 곱셈 연산'''에 대하여 닫혀 있다'''.[*닫힘]
33
'''Axiom 1.7.''' [anchor(Axiom 1.7)][math({\color{red}a}•{\color{orange}b}={\color{orange}b}•{\color{red}a})] : 곱셈 연산에 대한 '''교환법칙'''이 성립한다.
34
'''Axiom 1.8.''' [anchor(Axiom 1.8)][math({\color{blue}(}a•b{\color{blue})}•c=a•{\color{blue}(}b•c{\color{blue})})] : 곱셈 연산에 대한 '''결합법칙'''이 성립한다. 괄호를 풀어서 [math(=a•b•c)]이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
35
'''Axiom 1.9.''' [anchor(Axiom 1.9)][math({\color{red}1} \in \mathbb{R})]이 존재하여
3436
[math(a•{\color{red}1}={\color{red}1}•a=a)]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
3537
: 곱셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 항등원'''인 [math({\color{red}1})]이 존재한다.
36
1. [anchor(Axiom_1.10)]"[math(0)]이 아닌" [math(a)]에 대하여, [math({\color{green}{\dfrac{1}{a}}} \in \mathbb{R})]이 존재하면서
38
'''Axiom 1.10.''' [anchor(Axiom 1.10)]"[math(0)]이 아닌" [math(a)]에 대하여, [math({\color{green}{\dfrac{1}{a}}} \in \mathbb{R})]이 존재하면서
3739
[math(a•{\color{green}{\dfrac{1}{a}}}={\color{green}{\dfrac{1}{a}}}•a={\color{red}1})]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
3840
: 곱셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 역원'''인 [math({\color{green}{\dfrac{1}{a}}})]이 존재한다.
3941
4042
{{{+1 III.}}} 덧셈 연산과 곱셈 연산에 대한 성질 (분배법칙)
41
1.#11 [anchor(Axiom_1.11)][math({\color{red}a}{\color{green}•}{\color{blue}(}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{gold}c}{\color{blue})}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c})]
42
1. [anchor(Axiom_1.12)][math({\color{blue}(}{\color{red}a}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{blue})}{\color{green}•}{\color{gold}c}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{green}•}{\color{gold}c})]
43
'''Axiom 1.11.''' [anchor(Axiom 1.11)][math({\color{red}a}{\color{green}•}{\color{blue}(}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{gold}c}{\color{blue})}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c})]
44
'''Axiom 1.12.''' [anchor(Axiom 1.12)][math({\color{blue}(}{\color{red}a}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{blue})}{\color{green}•}{\color{gold}c}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{green}•}{\color{gold}c})]
4345
||
4446
4547
다음은 대소비교에 대한 성질이다.
4648
||{{{+1 IV.}}} 대소비교
47
1.#13 [anchor(Axiom_1.13)]임의의 실수 [math(a)], [math(b)] 에 대하여 다음 셋 중 하나는 반드시 만족한다.
49
'''Axiom 1.13.''' [anchor(Axiom 1.13)][anchor(Axiom_1.13)]임의의 실수 [math(a)], [math(b)] 에 대하여 다음 셋 중 하나는 반드시 만족한다.
4850
i. [math(a>b)]
4951
i. [math(a=b)]
5052
i. [math(a<b)]
......
6567
6668
임의의 실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 몇 가지 증명을 해본다.
6769
70
=== 0과 1을 이용한 정리 ===
71
먼저 [math(0 \in \mathbb{R})]이 성립하므로 다음이 성립한다.
72
1. 실수 [math(0)]과 [math({\color{blue}0})]의 덧셈은 실수이다. ([[#Axiom 1.1|Axiom 1.1]]. 덧셈연산의 닫힘)
73
따라서 [math(0{\color{blue}+0} \in \mathbb{R})]이 성립한다.
74
1. 실수 [math(0)]에 대하여 실수 [math({\color{blue}0})]은 덧셈연산에 대한 항등원이다. ([[#Axiom 1.4|Axiom 1.4]]. 알기 쉽도록 색을 파랗게 칠한다.)
75
따라서 [math(0{\color{blue}+0}=0)]이 성립한다.
76
1. 실수 [math(1)]에 대한 덧셈연산의 역원이 존재하며 다음이 성립한다. ([[#Axiom 1.5|Axiom 1.5]]. 덧셈에 대한 역원)
77
||[math({\color{green}-1} \in \mathbb{R})]이고 [math(1{\color{green}+(-1)}=0)] 이다.||
78
6879
=== [math(a \times 0 =0\text{. 곧 })]0을 곱하면 0이 된다. ===
69
{{{+1 '''1.'''}}} 먼저 [math(0 \in \mathbb{R})]이 성립하므로 다음이 성립한다.
70
i. 실수 [math(0)]과 [math({\color{blue}0})]의 덧셈은 실수이다. ([[#Axiom_1.1|덧셈연산의 닫힘]]) 곧 다음이 성립한다.
71
||[math(0{\color{blue}+0} \in \mathbb{R})]||
72
i. 실수 [math(0)]에 대하여 실수 [math({\color{blue}0})]은 덧셈연산에 대한 [[#Axiom_1.4|항등원]]이므로 다음이 성립한다.
73
||[math(0{\color{blue}+0}=0)]||
80
{{{+1 '''1.'''}}}
7481
75
{{{+1 '''2.'''}}} [math(1 \in \mathbb{R})]이 성립하므로 다음이 성립한다.
76
i. 덧셈연산에 대한 [math(1)]의 [[#Axiom_1.5|역원]]이 존재하므로 다음이 성립한다.
77
||[math({\color{green}-1} \in \mathbb{R})]이고 [math(1{\color{green}+(-1)}=0)] 이다.||
7882
79
{{
80
8183
[[분류:수학]][[분류:더새드위키 수학 프로젝트]]