위상수학(비교)

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##"내점의 정의", "열린집합의 정의", "열린집합의 성질"

[목차]

== 개요 ==

{{{+3 Topology / 位相數學}}}

위상수학은 공간 또는 도형의 구조와 연속성을 다루는 수학의 한 학문이다.

== 열린집합과 위상 ==

위상수학에서는 [[실수체계]]에서 열린구간들로 확인할 수 있는 실수 집합의 각 원소들 사이의 관계와 실수체계의 구조를 보고, 이를 이용하여 실수 전체의 집합만이 아닌 일반적인 집합의 구조를 볼 수 있다. 이것을 확인하는 계산의 기초로서 위상 및 위상의 한 요소인 열린집합의 설명을 먼저 서술한다.

=== 실수체계의 위상 ===

==== 내점 ====

>[anchor(내점의 정의)]내점 (Interior point)

> [math(\mathbb{R})]의 부분집합 [math(A)]가 있다고 하자.

> 이 때 [math(A)]의 원소(한 지점)인 [math(p)]에 대하여 적당한 양{{{#gray 의 상}}}수 [math(c)]가 있어 [math(\left\{x | a-c<x<a+c\right\} \subset A)]를 만족한다면, [math(p)]는 [math(A)]의 '''내점'''(interior point)이라 부른다.

{{{#gray [math(p)]는 점을 뜻하는 단어인 " '''p'''oint"에서, [math(c)]는 상수를 뜻하는 단어인 "'''c'''onstant"의 앞글자를 가져왔다.}}}

집합이 있어야 내점을 논할 수 있다. 그리고 어떤 (부분)집합의 원소 [math(p)]가 내점임을 보이려면 적당한 [math(c)]가 존재하고 상기 조건을 만족함을 보이는 것으로 충분하다.

==== 열린집합 ====

{{{+1

* 열린집합의 정의}}}정의(definition)에는 앞서 보았던 내점(interior point)이 이용된다. 열린집합은 "개폐"할 때의 '개'를 써서 "개집합"이라고도 부른다.

>[anchor(열린집합의 정의)]열린집합(Open Set)

>[math(\mathbb{R})]의 부분집합 [math(A)]가 있고 [math(A)]의 모든 원소(지점)이 [math(A)]의 내점이 된다면, [math(A)]는 '''열린집합'''(open set)이라 부른다.

열린집합의 흔히(?) 잘 아는 예시로는 열린구간이 있다. {{{#gray (열린구간에 포함되는 열린구간이 있다.)}}}

공집합([math(\emptyset)])은 원소도 없는 집합이면서도 __내점이 없는 집합__이다. {{{#gray (공집합의 내점을 모두 모은 집합이 공집합 자기자신이다.)}}} 공집합은 따라서 열린집합이다.

{{{+1

* 열린집합의 성질}}}열린집합의 성질은 다음을 만족한다.

>[anchor(열린집합의 성질)]열린집합의 성질

>자연수 [math(i)][*색인 {{{#!wiki

"색인"이라는 뜻의 단어 index의 앞글자인 i를 가져와서 표기한다. 추려내는 대상들의 각각에 색인(또는 라벨)을 매기는 방법은 [math(\mathbb{R})]의 각 원소로 매기는 등 여러 가지가 있다. 엄밀히 말하면 모든 실수를 모아놓은 집합인 [math(\mathbb{R})]의 원소의 수는 모든 자연수를 모아놓은 집합인 [math(\mathbb{N})]보다 더 많아서 색인은 [math(\mathbb{N})]보다 더 많이 나올 수 있다.{{{#gray (자세한 설명은 실수체계의 [[실수체계#가산집합|가산집합]] 부분을 참조.)}}} 그래서 [math(i)]의 범위를 자연수로 두기에는 갯수가 모자라지만, 여기서는 색인을 순번 매기기처럼 이해할 수 있도록 색인을 다룬다.

{{{#gray i 하면 허수 단위 [math(i)]를 떠올릴 수 있겠지만, 무작정 이렇게 알기보다는 어느 수식을 읽는다 해도 먼저 각 알파벳을 포함한 기호들이 무슨 의미로 쓰이는지를 파악하면서 읽는 것이 좋다.}}}}}}] 와 임의의 열린집합 [math(O_{1})], [math(O_{2})], [math(O_{3})] ... [math(O_{i})] ... 에 대하여

같은 방법으로 유한개의 열린집합의 교집합 곧 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(\overset{k \leq n}{\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}}O_{k})]은 열린집합이 됨을 보일 수 있다.

일반적으로 무한 개의 열린집합들의 교집합은 열린집합이 되지 않는다. 이를테면 [math(\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}\left(-1,\ \dfrac{1}{k}\right))]가 있다. 이 집합을 [math(A)]라고 하면 [math(0)]은 [math(A)]의 원소이나, 0보다 큰 모든 수는 [math(A)]의 원소가 아니다. {{{#gray (이는 아르키메데스의 정리를 이용하여 증명할 수 있다.)}}} [math(A)]에서 [math(0 \in \left(0-c,\ 0+c\right) \subset A)]를 만족할 양의 상수 [math(c)]가 존재하지 않으므로 [math(0)]은 [math(A)]의 내점이 아니며 따라서 {{{#gray [math(A)]의 원소 중 내점이 아닌 원소가 존재하기 때문에}}} [math(A)]는 열린집합이 아니다.

=== 위상공간 ===

실수체계의 모든 열린집합들은 [math(\mathbb{R})]의 부분집합이다. 이것 그리고 열린집합의 성질을 --퍼가요~♡-- 따와서 일반적인 집합으로 다루는 범위를 넓힌다. {{{#gray 미지수나 변수를 흔히 [math(x)], [math(y)]로 적는 것처럼}}} 다룰 집합을 [math(X)], [math(Y)] 등으로 적는다.

실수체계에서 집합의 내점을 먼저 정의한 다음 열린집합을 정의하고 열린집합의 성질을 찾고 그런 열린집합을 모아놓은 멱집합의 부분집합을 찾는다면, 일반적인 집합으로 넘어가서는 이 순서를 반대로 하여 열린집합의 성질(과 같은 일정 규칙)을 만족하는 멱집합의 부분집합을 찾은 다음 열린집합을 정의하고, 집합의 내점을 정의하게 된다.

==== 위상과 열린집합 ====

앞에 다루었던 실수체계에서 열린집합은 원소(지점)이 해당되는 [[#내점의 정의|내점의 정의]]에 따른 내점이다. 이런 모든 열린집합들로 구성된 구조는 실수체계의 통상적인 구조이다. 이러한 열린집합을 모두 모아놓은 집합은 [math(\mathbb{R})]의 멱집합{{{#gray (power set, 모든 부분집합들을 원소로 가지는 집합)}}} 곧 [math(\mathcal{P}\left(\mathbb{R}\right))]의 부분집합이며 단어 "usual{{{#gray (통상적인)}}}"의 앞글자를 따서 [math(U)]로 둔다. [math(U)]는 다음과 같다. {{{#gray [math(\mathcal{P})]는 [math(P)]의 흘림체이다. 그리고 [math(U)]는 U의 흘림체인 [math(\mathcal{U})]로 표기하는 경우가 많은데, 여기에는 [math(U)]로 표시 해둔다.[* 사실 22년 9월 19일 기준 underset 범위 안에서 아래첨자 범위 안에 mathcal 구문을 입력할 경우 표시가 나오지 않고 구문이 깨지는 오류가 있다. 아래 비교표 구문의 {{{ i \in I_{U} }}}를 {{{ i \in I_{\mathcal{U}} }}}으로 바꿔보자.]}}}

||[math(U=\left\{S \in \mathbb{R}\ |\ \forall p \in S,\ \exists c_{p}>0\ \text{such that}\ \left(p-c_{p},\ p+c_{p}\right)\subset S\right\})]||

가령 [math(X=\left\{1\right\})]일 경우 [math(T=\left\{ \emptyset,\ \left\{ 1 \right\} \right\})]는 [math(X)]의 위상이다.

집합 [math(X)]가 실수집합 [math(\mathbb{R})]인 경우, 규칙만 만족한다면 실수집합에서 새로운 위상 [math(T)]를 찾을 수 있다. 앞의 [math(U)]는 [math(\mathbb{R})]의 위상인데, 여러 다른 위상들과 비교하고자 [math(U)]를 '''{{{#gray ([math(\mathbb{R})]의)}}} 보통위상'''(usual topology)이라 부른다.