실수체계(r11판 RAW)

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== 개요 ==
{{{+2 The Real Number System}}}
실수에 대하여 어떤 성질을 만족하는 체계이다.  --"Real"이라는 단어를 보고 "레알 넘버"니까 참된 숫자라고-- 혹여 다르게 생각할 수 있겠으나, 기준이 되는 [math(0)]과 [math(1)]을 기점으로 [[덧셈]]과 [[곱셈]] 연산에 대한 성질 등 여러 성질을 만족하면서 현실에서 대소를 비교할 수 있는 숫자들의 체계를 가리킨다.
여기에는 사칙연산만 안다면 직관적으로도 알 수 있는 성질들이 많기도 하며, 또한 별도 증명이 없이 시작하는 공리(Axiom)들로 도배되어 있다.
이를 기점으로 여러 정리들이 이루어진다.  이를테면 음수에 음수를 곱하면 양수가 됨을 증명(...)하는 것.

공리, 정리에 대한 자세한 설명은 [[논리(수학)|이 문서]]를 참조할 수 있으며, 집합에 대한 자세한 설명은 [[집합(수학)|이 문서]]를 참조할 수 있다.

== 기본적인 실수의 성질 ==
다음은 실수에 대한 성질을 다루며, 공리로 다루어 시작한다.
(논리체계를 시작으로 하여 [math(1 \in \mathbb{C})], [math(1 \neq 0)]을 공리로 둔 다음 여러 논리체계의 정리를 거쳐 [math(1 \in \mathbb{R})]이 성립함을 [[http://us.metamath.org/mpeuni/1re.html|증명한 곳]](...)도 있다.  여기서 [math(\mathbb{C})]는 모든 [[복소수]]들을 모아놓은 집합이다.  복소수체계를 공리로 두고 시작하는 방법이든 실수체계를 공리로 두고 시작하는 방법이든 둘 중 하나는 공리로 둘 수 밖에 없다.  단, [[허수]]에 대하여 [math(i \in \mathbb{C})]는 둘 중 어느 방법으로 하든 [[http://us.metamath.org/mpeuni/ax-icn.html|공리]]로 둔다.)

또한 집합론에서 두 원소를 두고 "관계"(relation)를 정의하면서 "연산"을 정의하고 시작한다.  이는 (단순 모든 실수의 집합만이 아닌 일반적인 집합에 대한 개념을 다루는 까닭에) 내용이 방대하므로 (고등학교 과정에서는 배우지 않는다.) [[집합(수학)|집합]] 문서의 서술로 남겨두고 여기에는 생략한다.

다음은 덧셈과 곱셈 연산에 대한 성질이다.
||모든 실수를 모아놓은 집합 [math(\mathbb{R})]과 임의의 실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 다음을 만족한다.
{{{+1 I.}}} [[덧셈]] 연산 "[math(+)]"에 대한 성질
 1. [math(a+b \in \mathbb{R})] : 덧셈 연산'''에 대하여 닫혀 있다'''.[*닫힘 즉 [math(\mathbb{R})]의 그 어느 두 원소를 가져와서 해당 연산을 해도 [math(\mathbb{R})]의 원소가 아닌 원소로 되지 않는다.]
 1. [math({\color{red}a}+{\color{orange}b}={\color{orange}b}+{\color{red}a})] : 덧셈 연산에 대한 '''교환법칙'''이 성립한다.
 1. [math({\color{blue}(}a+b{\color{blue})}+c=a+{\color{blue}(}b+c{\color{blue})})] : 덧셈 연산에 대한 '''결합법칙'''이 성립한다.  괄호를 풀어서 [math(=a+b+c)]이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
 1. [math({\color{red}0} \in \mathbb{R})]이 존재하여
 [math(a+{\color{red}0}={\color{red}0}+a=a)]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
 : 덧셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 항등원'''인 [math({\color{red}0})]이 존재한다.
 1. [math({\color{green}-a} \in \mathbb{R})]이 존재하면서
 [math(a+{\color{green}(-a)}={\color{green}(-a)}+a={\color{red}0})]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
 : 덧셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 역원'''인 [math({\color{green}-a})]이 존재한다.

{{{+1 II.}}} [[곱셈]] 연산 "[math(•)]"에 대한 성질
 1.#6 [math(a•b \in \mathbb{R})] : 곱셈 연산'''에 대하여 닫혀 있다'''.[*닫힘]
 1. [math({\color{red}a}•{\color{orange}b}={\color{orange}b}•{\color{red}a})] : 곱셈 연산에 대한 '''교환법칙'''이 성립한다.
 1. [math({\color{blue}(}a•b{\color{blue})}•c=a•{\color{blue}(}b•c{\color{blue})})] : 곱셈 연산에 대한 '''결합법칙'''이 성립한다.  괄호를 풀어서 [math(=a•b•c)]이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
 1. [math({\color{red}1} \in \mathbb{R})]이 존재하여
 [math(a•{\color{red}1}={\color{red}1}•a=a)]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
 : 곱셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 항등원'''인 [math({\color{red}1})]이 존재한다.
 1. "[math(0)]이 아닌" [math(a)]에 대하여, [math({\color{green}{\dfrac{1}{a}}} \in \mathbb{R})]이 존재하면서
 [math(a•{\color{green}{\dfrac{1}{a}}}={\color{green}{\dfrac{1}{a}}}•a={\color{red}1})]인 [math(a)]에 대한 항등식을 만족한다.
 : 곱셈 연산'''에 대한 [math(a)]의 역원'''인 [math({\color{green}{\dfrac{1}{a}}})]이 존재한다.

{{{+1 III.}}} 덧셈 연산과 곱셈 연산에 대한 성질 (분배법칙)
 1.#11 [math({\color{red}a}{\color{green}•}{\color{blue}(}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{gold}c}{\color{blue})}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c})]
 1. [math({\color{blue}(}{\color{red}a}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{blue})}{\color{green}•}{\color{gold}c}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{green}•}{\color{gold}c})]
||

다음은 대소비교에 대한 성질이다.
||{{{+1 IV.}}} 대소비교
 1.#13 임의의 실수 [math(a)], [math(b)] 에 대하여 다음 셋 중 하나는 반드시 만족한다.
  i. [math(a>b)]
  i. [math(a=b)]
  i. [math(a<b)]
 * 참고
  i. [math(a\geq b)] : [math(a>b)] '''또는''' [math(a=b)] 임을 뜻한다. ('''g'''reater than or '''eq'''ual to)
  i. [math(a\leq b)] : [math(a<b)] '''또는''' [math(a=b)] 임을 뜻한다. ('''l'''ess than or '''eq'''ual to)
  i. [math(a\neq b)] : [math(a=b)]이 아님을 뜻한다.  ('''n'''ot '''eq'''ual to)  대소를 비교해야 하는 계산에서는
  [math(a<b)] 또는 [math(a>b)]가 된다.
  단, 복소수체계에서는 일반적으로 대소비교가 불가능하다.  자세한 내용은 [[허수]] 참조.||

기타 : 위의 13.에서 i.부터 iii.까지 설명의 대상이 되는 부등식들을 호출하려면 각각 {{{math}}}라는 입력 구문 구간(마크업)[* 둘 중 하나로 가능하다.(주석에 개행을 넣을 수 있다.) {{{#!wiki
||<width=50.00%> 예시 1 ||<width=50.00%> 예시 2 ||
||\{\{\{\#\!wiki[br]\<math\> \\geq \<\/math\>\}\}\}||\[math\(\\geq\)\]||}}}]을 전제하여 {{{\geq}}}, {{{\leq}}},  {{{\neq}}} 구문을 입력해야 한다. (프로그래밍에서 입력 속도를 높이기 위해 단축키를 사용하는 것처럼 약어로 입력 구문을 정의하는 방식을 많이 채택한다.)


[[분류:수학]][[분류:더새드위키 수학 프로젝트]]