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실수체계(r3 RAW)

[목차]
== 개요 ==
{{{+2 The Real Number System}}}
실수에 대하여 어떤 성질을 만족하는 체계이다.  --"Real"이라는 단어를 보고 "레알 넘버"니까 참된 숫자라고-- 혹여 다르게 생각할 수 있겠으나, 기준이 되는 [math(0)]과 [math(1)]을 기점으로 [[덧셈]]과 [[곱셈]] 연산에 대한 성질 등 여러 성질을 만족하면서 현실에서 대소를 비교할 수 있는 숫자들의 체계를 가리킨다.
여기에는 사칙연산만 안다면 직관적으로도 알 수 있는 성질들이 많기도 하며, 또한 별도 증명이 없이 시작하는 공리(Axiom)들로 도배되어 있다.
이를 기점으로 여러 정리들이 이루어진다.  이를테면 음수에 음수를 곱하면 양수가 됨을 증명(...)하는 것.

공리, 정리에 대한 자세한 설명은 [[논리(수학)|이 문서]]를 참조할 수 있으며, 집합에 대한 자세한 설명은 [[집합(수학)|이 문서]]를 참조할 수 있다.

== 기본적인 실수의 성질 ==
다음은 실수에 대한 성질을 다루며, 공리로 다루어 시작한다.  (논리체계를 시작으로 하여 [math(1 \in \mathbb{C})], [math(1 \neq 0)]을 공리로 둔 다음 여러 논리체계의 정리를 거쳐 [math(1 \in \mathbb{R})]이 성립함을 [[http://us.metamath.org/mpeuni/1re.html|증명한 곳]](...)도 있다.  여기서 [math(\mathbb{C})]는 모든 [[복소수]]들을 모아놓은 집합이다.) 
||모든 실수를 모아놓은 집합 [math(\mathbb{R})]과 임의의 실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 다음을 만족한다.
1. [[덧셈]] 연산에 대한 성질
 * [math({\color{red}a}+{\color{orange}b}={\color{orange}b}+{\color{red}a})] : 덧셈 연산에 대한 '''교환법칙'''이 성립한다.
 * [math({\color{blue}(}a+b{\color{blue})}+c=a+{\color{blue}(}b+c{\color{blue})})] : 덧셈 연산에 대한 '''결합법칙'''이 성립한다.
 * [math({\color{red}0} \in \mathbb{R})]이 존재하여
 [math(a+{\color{red}0}={\color{red}0}+a=a] : [math(a)]에 대한 덧셈연산의 항등원인 [math(0)]이 존재한다.  (임의의 [math(a)]에 대하여 이 항등식을 만족한다.)
 * [math({\color{blue}-a} \in \mathbb{R})]이 존재하여
 [math(a+{\color{blue}(-a)}={\color{blue}(-a)}+a=0] : [math(a)]에 대한 덧셈연산의 역원인 [math(-a)]이 존재한다.  (임의의 [math(a)]에 대하여 이 항등식을 만족한다.)
||
[[분류:수학]]