극한(r14 판)

수학에서 $x$가 $a$에 가까워질 때, $f(x)$가 한없이 $L$에 가까워지면 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$이다.
이때, $x$는 $a$가 무조건 맞지는 않는다.

무한 수열 $a_{n}$ 에 대해 $n$이 무한히 커지고 $a_{n}$이 $L$에 가까워지면 ${\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L$ 이라고 한다.

고등학교 과정을 넘어가면 다음과 같이 엄밀하게 배운다. (기호를 풀어 쓰면 다음과 같다.)

$x \to a$의 경우는 다음과 같이 된다. ($f\left(x\right)$의 정의역에 대하여 $x=a$가 극한점(limit point)[1]이라는 전제가 깔려있어야 한다. 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루나, 간혹 정의역이 복잡하게 제한되는 경우가 있다.)

무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 $x$에 대한 함수 $f(x)$가 자연수 $n$에 대한 함수 ${\color{green}a_{n}}$으로 바뀌었다고 생각해보자.)

이를 이용하여 함수든 수열이든 수렴하는 극한의 사칙연산에 대한 성질, $\displaystyle\lim_{n\to \infty}{{1}\over {n}}=0$임을 증명할 수 있다.

극한의 엄밀한 정의가 없던 때, 무한수열 $a_{n}=$$1$, $0$, $1$, $0$, $1$, $0$, $\ldots$에 대하여 "$0$과 $1$이 반복되니 이 수열의 극한값은 그 중간값인 ${{1}\over{2}}$가 되지 않을까?"라는 말이 오갔다는 카더라가 있다.