극한(r17 판)

수학에서 $x$가 $a$에 가까워질 때, $f(x)$가 한없이 $L$에 가까워지면 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$이다.
이때, $x$는 $a$가 무조건 맞지는 않는다.

무한 수열 $a_{n}$ 에 대해 $n$이 무한히 커지고 $a_{n}$이 $L$에 가까워지면 ${\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L$ 이라고 한다.

고등학교 과정을 넘어가면 다음과 같이 엄밀하게 배운다. 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합과 명제(멱집합), 부등호, 절댓값, 함숫값 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition)이므로 이해하기 쉬울 수 있다. 기호를 풀어 쓰면 다음과 같다.

$x \to a$의 경우는 다음과 같이 된다. ($f\left(x\right)$의 정의역에 대하여 $x=a$가 극한점(limit point)[1]이라는 전제가 깔려있어야 한다. 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루나, 간혹 정의역이 복잡하게 제한되는 경우가 있다.)

무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 $x$에 대한 함수 $f(x)$가 자연수 $n$에 대한 함수 ${\color{green}a_{n}}$으로 바뀌었다고 생각해보자.)

이를 이용하여 함수든 수열이든 수렴하는 극한의 사칙연산에 대한 성질, 샌드위치 정리의 성립, $\displaystyle\lim_{n\to \infty}{{1}\over {n}}=0$의 성립을 증명할 수 있다. (무한 수열에서 ${{1}\over {n}}$, ${{1}\over {n^2}}$, ${{1}\over {n^3}}$ 등으로 바꿀 수 있는 부분은 $0$으로 안심하고날릴 수 있다. 다만 0으로 나누는 식이 되지 않도록 주의하자.)

극한의 엄밀한 정의가 없던 때, 무한수열 $a_{n}=$$1$, $0$, $1$, $0$, $1$, $0$, $\ldots$에 대하여 "$0$과 $1$이 반복되니 이 수열의 극한값은 그 중간값인 ${{1}\over{2}}$가 되지 않을까?"라는 말이 오갔다는 카더라가 있다. 엄밀한 정의가 생겨난 지금에서는 "발산한다"는 결론이 쉽게 나지만.