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분류
1. 개요[편집]
수학에서 가 에 가까워질 때, 가 한없이 에 가까워지면 이다.
이때, 는 가 무조건 맞지는 않는다.
이때, 는 가 무조건 맞지는 않는다.
2. 수열[편집]
무한 수열 에 대해 이 무한히 커지고 이 에 가까워지면 이라고 한다.
3. 엡실론‐델타법[편집]
고등학교 과정을 넘어가면 다음과 같이 엄밀하게 배운다. 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합과 명제(멱집합), 부등호, 절댓값, 함숫값 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition)이므로 이해하기 쉬울 수 있다. 기호를 풀어 쓰면 다음과 같다.
의 경우는 다음과 같이 된다.
들어가기 앞서 의 정의역에 대하여 가 극한점(limit point)[1]이라는 전제가 깔려있어야 한다.
흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루는 경우라면 정의역의 모든 점 및 경계에 해당되는 지점들(로그함수의 경우에는 간단한 경우 진수가 0으로 되는 의 지점들)이 극한점으로 될 수 있으나, 간혹 정의역이 복잡하게 제한되는 경우가 있다. (이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다.)
그러한 경우에는 극한을 계산하고자 하는 의 지점이 극한점이 됨을 증명해야 한다.
의 정의역(집합)을 라 할 때 가 "의 극한점이 됨"을 보이려면 (꼭 일 필요는 없다.)
의 경우는 다음과 같이 된다.
들어가기 앞서 의 정의역에 대하여 가 극한점(limit point)[1]이라는 전제가 깔려있어야 한다.
흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루는 경우라면 정의역의 모든 점 및 경계에 해당되는 지점들(로그함수의 경우에는 간단한 경우 진수가 0으로 되는 의 지점들)이 극한점으로 될 수 있으나, 간혹 정의역이 복잡하게 제한되는 경우가 있다. (이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다.)
그러한 경우에는 극한을 계산하고자 하는 의 지점이 극한점이 됨을 증명해야 한다.
의 정의역(집합)을 라 할 때 가 "의 극한점이 됨"을 보이려면 (꼭 일 필요는 없다.)
임의의 양수 에 대하여 |
임을 보여야한다.
가 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다.
에 대한 함수 와 에 대하여 아무 인 을 잡더라도 ("오차"라는 뜻의 error를 생각해보자.) 상수 에 대하여 다음 명제 곧 를 참이 되게 할 수 있는 적당한 양수 를 항상 정할 수 있는 상수 이 존재할 때 ("편차"라는 뜻의 difference를 생각해보자.) 함수 는 에서 로 수렴한다고 말하며 (동치로서) 기호로는 으로 표기한다. 만일 해당되는 이 존재하지 않으면, 는 에서 발산한다고 말한다. |
극한점이라는 전제가 없으면 문제가 발생한다. 앞의
임의의 양수 에 대하여 |
명제의 부정은
어떤 양수 에 대하여 |
이 된다. 이 때 로 되면 당연히
가 된다.
여기에서 문제점이 생기게 된다. 왜냐면 앞에 말한 함수의 극한의 정의에서 다음
여기에서 문제점이 생기게 된다. 왜냐면 앞에 말한 함수의 극한의 정의에서 다음
이고 이면
이다.
라는 명제는 함숫값이 존재하지 않으므로 거짓이 되는 오류가 발생하기 때문이다.
무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 에 대한 함수 가 자연수 에 대한 함수 으로 바뀌었다고 생각해보자.)
무한수열 에 대하여 아무 인 을 잡더라도 상수 에 대하여 다음 명제 곧
를 참이 되게 할 수 있는 적당한 자연수 을 항상 정할 수 있는 상수 이 존재할 때 ("최소한의"라는 뜻의 Minimal을 생각해보자. 교과서에 따라 을 으로 표기하기도 한다.) 무한수열 은 으로 수렴한다고 말하며 (동치로서) 기호로는 으로 표기한다. 만일 해당되는 이 존재하지 않으면, 무한수열 은 발산한다고 말한다. |
이를 이용하여 함수든 수열이든 수렴하는 극한의 사칙연산에 대한 성질, 샌드위치 정리의 성립, 의 성립을 증명할 수 있다. (무한 수열에서 , , 등으로 바꿀 수 있는 부분은 으로
극한의 엄밀한 정의가 없던 때, 무한수열 , , , , , , 에 대하여 "과 이 반복되니 이 수열의 극한값은 그 중간값인 가 되지 않을까?"라는 말이 오갔다는 카더라가 있다. 엄밀한 정의가 생겨난 지금에서는 "발산한다"는 결론이 쉽게 나지만.
[1] 실수 전체 집합 에서의 "보통위상(Usual Topology)" 곧 "에서 열린 구간(이를테면 )들, 또는 이들의 임의의 합집합(무한 개의 합집합이여도 된다.), 또는 이들의 유한 개의 교집합으로 구성된 의 부분집합을 원소로 가지는 집합 (이 집합은 당연히 의 부분집합이다.)을 갖춘 위상"에서는 집적점(accumunation point)을 극한점(limit point)으로 부른다.[2] 이는 와 동치이며, 여기에서 꼭 일 필요는 없음이 나타닌다.[3] 이는 와 동치이다. 회색으로 칠한 부등호() 부분은 와 의 오차가 으로 나오는 경우(이 성립하는 경우. 잘 아는 예로는 함숫값이 의 값에 관계없이 일정한 상수로만 나오는 함수가 있다.)가 있으므로 기술을 잘 하지 않는 편이다.