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1. 개요[편집]
수학에서 가 에 가까워질 때, 가 한없이 에 가까워지면 이다.
이때, 는 가 무조건 맞지는 않는다.
이때, 는 가 무조건 맞지는 않는다.
2. 수열[편집]
무한 수열 에 대해 이 무한히 커지고 이 에 가까워지면 이라고 한다.
3. 엡실론‐델타법[편집]
고등학교 과정을 넘어가면 다음과 같이 엄밀하게 배운다. 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합과 명제(멱집합), 부등호, 절댓값, 함숫값 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition)이므로 이해하기 쉬울 수 있다. 기호를 풀어 쓰면 다음과 같다.
3.1. 어떤 지점에 대한 함수의 극한[편집]
에 대한 함수 에 대하여 의 정의역(집합)을 라 하자.
의 경우는 다음과 같이 된다.
들어가기 앞서 의 정의역에 대하여
가 의 내점(Interior point)이어야 한다. (함수의 정의역은 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 경우만 있는 것이 아니고, 복잡하게 제한되는 경우가 있기 때문이다. 이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다.)
가 의 내점임을 보이려면 다음 명제를 증명해야 한다.
의 경우는 다음과 같이 된다.
들어가기 앞서 의 정의역에 대하여
가 의 내점(Interior point)이어야 한다. (함수의 정의역은 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 경우만 있는 것이 아니고, 복잡하게 제한되는 경우가 있기 때문이다. 이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다.)
가 의 내점임을 보이려면 다음 명제를 증명해야 한다.
를 만족하는 적당한 양수 가 존재한다. |
가 의 내점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다.
3.2. 수열의 극한[편집]
무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 에 대한 함수 가 자연수 에 대한 함수 으로 바뀌었다고 생각해보자.)
무한수열 에 대하여 아무 인 을 잡더라도 상수 에 대하여 다음 명제 곧
를 참이 되게 할 수 있는 적당한 자연수 을 항상 정할 수 있는 상수 이 존재할 때 ("최소한의"라는 뜻의 Minimal을 생각해보자. 교과서에 따라 을 으로 표기하기도 한다.) 무한수열 은 으로 수렴한다고 말하며 (동치로서) 기호로는 으로 표기한다. 만일 해당되는 이 존재하지 않으면, 무한수열 은 발산한다고 말한다. |
이를 이용하여 함수든 수열이든 수렴하는 극한의 사칙연산에 대한 성질, 샌드위치 정리의 성립, 의 성립을 증명할 수 있다. (무한 수열에서 , , 등으로 바꿀 수 있는 부분은 으로
극한의 엄밀한 정의가 없던 때, 무한수열 , , , , , , 에 대하여 "과 이 반복되니 이 수열의 극한값은 그 중간값인 가 되지 않을까?"라는 말이 오갔다는 카더라가 있다. 엄밀한 정의가 생겨난 지금에서는 "발산한다"는 결론이 쉽게 나지만.