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분류
1. 개요[편집]
수학에서 가 에 가까워질 때, 가 한없이 에 가까워지면 이다.
이때, 는 가 무조건 맞지는 않는다.
이때, 는 가 무조건 맞지는 않는다.
2. 수열[편집]
무한 수열 에 대해 이 무한히 커지고 이 에 가까워지면 이라고 한다.
3. 엡실론‐델타법[편집]
고등학교 과정을 넘어가면 다음과 같이 엄밀하게 배운다. 기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합과 명제(멱집합), 부등호, 절댓값, 함숫값 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition)이므로 이해하기 쉬울 수 있다. 기호를 풀어 쓰면 다음과 같다.
- 먼저 실수 전체집합을 이라 하자.
- 공역을 로 두면서도 실수 에 대한 함수 의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 라 하자. (교과서에 따라 라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 로 적는다.)
- (당연히 이 된다.)
- (또한 이는 이 된다.)
3.1. 어떤 지점에서의 함수의 극한[편집]
의 경우는 다음과 같이 된다.
들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다.
들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다.
- 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루는 경우라면 정의역의 모든 점 및 경계에 해당되는 지점들(로그함수의 경우에는 간단한 경우 진수가 0으로 되는 의 지점들)이 극한점으로 될 수 있으나, 간혹 정의역이 복잡하게 제한되는 경우가 있다. (이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다.)
그러한 경우에는 극한을 계산하고자 하는 의 지점이 극한점이 됨을 증명해야 한다.
- 가 "의 극한점이 됨"을 보이려면 (꼭 일 필요는 없다.)임의의 양수 에 대하여임을 보여야한다.
- 가 의 "내점(Interior point)"이어도 충분하다. 왜냐면 가 의 '내점'이면 곧 극한점이 되기 때문.
- [내용 보기, 접기]
- * 먼저 가 의 "내점(Interior point)"이려면 내점의 정의에 따라 다음을 만족해야 한다.
를 만족하는 적당한 양수 가 존재한다.
1. 여기에서
이므로
을 만족한다. (와 의 산술평균을 생각해보자. 사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많다.)
2. 인 임의의 양수 에 대하여
이므로
을 만족한다. (와 의 산술평균을 생각해보자.)
3. 따라서 임의의 양수 에 대하여 를 과 중 작은 값으로 두자. 그러면
의 식을 만족한다.
이면 2번과 같은 방법으로 성립되며, 이면 1번에서
이 되기 때문에 식이 성립한다.
* 그러므로
을 만족하며, 가 의 '내점'이면 은 의 '극한점'이 된다.
가 의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다.
에 대한 함수 와 에 대하여 아무 인 을 잡더라도 ("오차"라는 뜻의 error를 생각해보자.) 상수 에 대하여 다음 명제 곧 를 참이 되게 할 수 있는 적당한 양수 를 항상 정할 수 있는 상수 이 존재할 때 ("편차"라는 뜻의 difference를 생각해보자.) 함수 는 에서 로 수렴한다고 말하며 (동치로서) 기호로는 으로 표기한다. 만일 해당되는 이 존재하지 않으면, 는 에서 발산한다고 말한다. |
- 극한이 로 수렴할 경우, 유일하다. (여기 보통위상[보통위상]에서는)
- 만일 가 의 극한점이라는 전제가 없으면 (특히 어떤 값으로 수렴함을 보이는 과정에서) 문제가 발생한다. 앞의임의의 양수 에 대하여라는 명제의 부정은어떤 양수 에 대하여이 된다.
여기에서 문제점이 생기게 된다. 왜냐면 앞에 말한 함수의 극한의 정의에서 다음이고 , 이면
이다.라는 명제에서 문제점이 발생하기 때문인데, 를 제외한 나머지 에의 의 지점 가운데 에 포함되는 지점에서는 함숫값이 존재하지 않기 때문에 명제가 거짓이 되는 오류가 발생하기 때문이다. 저런 경우는 인 경우이다.
만일 저런 것을 고려할(?) 필요 없이 로 정해버리면(를 충분히 작은 값으로 잡아버리면) 의 값과 관계 없이 가정에서 조건과 , 이라는 조건이 서로 모순되고, 이는 곧 가정이 거짓이 되므로 전체적으로 명제가 참이 되버리는 오류가 발생하며, 이 때 의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다.
그러므로 가 의 극한점이라는 전제가 있어야 한다.
3.2. 수열의 극한[편집]
무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 에 대한 함수 가 자연수 에 대한 함수 으로 바뀌었다고 생각해보자.)
무한수열 에 대하여 아무 인 을 잡더라도 상수 에 대하여 다음 명제 곧
를 참이 되게 할 수 있는 적당한 자연수 을 항상 정할 수 있는 상수 이 존재할 때 ("최소한의"라는 뜻의 Minimal을 생각해보자. 교과서에 따라 을 으로 표기하기도 한다.) 무한수열 은 으로 수렴한다고 말하며 (동치로서) 기호로는 으로 표기한다. 만일 해당되는 이 존재하지 않으면, 무한수열 은 발산한다고 말한다. |
이를 이용하여 함수든 수열이든 수렴하는 극한의 사칙연산에 대한 성질, 샌드위치 정리의 성립, 의 성립을 증명할 수 있다. (무한 수열에서 , , 등으로 바꿀 수 있는 부분은 으로
극한의 엄밀한 정의가 없던 때, 무한수열 , , , , , , 에 대하여 "과 이 반복되니 이 수열의 극한값은 그 중간값인 가 되지 않을까?"라는 말이 오갔다는 카더라가 있다. 엄밀한 정의가 생겨난 지금에서는 "발산한다"는 결론이 쉽게 나지만.
[보통위상] 1.1 1.2 실수 전체 집합 에서의 "보통위상(Usual Topology)" 곧 "에서 열린 구간(이를테면 )들, 또는 이들의 임의의 합집합(무한 개의 합집합이여도 된다.), 또는 이들의 유한 개의 교집합으로 구성된 의 부분집합을 원소로 가지는 집합 (이 집합은 당연히 의 부분집합이다.)을 갖춘 위상"에서는 집적점(accumunation point)을 극한점(limit point)으로 부른다. 고등학교 과정에서 배우는 극한은 특별한 언급이 없다면 모두 보통위상에서의 극한이다.[2] 이는 와 동치이며, 여기에서 꼭 일 필요는 없음이 나타닌다.[3] 이는 와 동치이다. 회색으로 칠한 부등호() 부분은 와 의 오차가 으로 나오는 경우(이 성립하는 경우. 잘 아는 예로는 함숫값이 의 값에 관계없이 일정한 상수로만 나오는 함수가 있다.)가 있으므로 기술을 잘 하지 않는 편이다.