실수체계(r2 판)

The Real Number System
실수에 대하여 어떤 성질을 만족하는 체계이다. "Real"이라는 단어를 보고 "레알 넘버"니까 참된 숫자라고 혹여 다르게 생각할 수 있겠으나, 기준이 되는 $0$과 $1$을 기점으로 덧셈과 곱셈 연산에 대한 성질 등 여러 성질을 만족하면서 현실에서 대소를 비교할 수 있는 숫자들의 체계를 가리킨다.
여기에는 사칙연산만 안다면 직관적으로도 알 수 있는 성질들이 많기도 하며, 또한 별도 증명이 없이 시작하는 공리(Axiom)들로 도배되어 있다.
이를 기점으로 여러 정리들이 이루어진다. 이를테면 음수에 음수를 곱하면 양수가 됨을 증명(...)하는 것.

공리, 정리에 대한 자세한 설명은 이 문서를 참조할 수 있으며, 집합에 대한 자세한 설명은 이 문서를 참조할 수 있다.

다음은 실수에 대한 성질을 다루며, 공리로 다루어 시작한다. (논리체계를 시작으로 하여 $1 \in \mathbb{C}$, $1 \neq 0$을 공리로 둔 다음 여러 논리체계의 정리를 거쳐 $1 \in \mathbb{R}$이 성립함을 증명한 곳도 있다. 여기서 $\mathbb{C}$는 모든 복소수들을 모아놓은 집합이다.)