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실수체계(r3 판)

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분류
1. 개요2. 기본적인 실수의 성질

1. 개요[편집]

The Real Number System
실수에 대하여 어떤 성질을 만족하는 체계이다. "Real"이라는 단어를 보고 "레알 넘버"니까 참된 숫자라고 혹여 다르게 생각할 수 있겠으나, 기준이 되는 00과 11을 기점으로 덧셈과 곱셈 연산에 대한 성질 등 여러 성질을 만족하면서 현실에서 대소를 비교할 수 있는 숫자들의 체계를 가리킨다.
여기에는 사칙연산만 안다면 직관적으로도 알 수 있는 성질들이 많기도 하며, 또한 별도 증명이 없이 시작하는 공리(Axiom)들로 도배되어 있다.
이를 기점으로 여러 정리들이 이루어진다. 이를테면 음수에 음수를 곱하면 양수가 됨을 증명(...)하는 것.

공리, 정리에 대한 자세한 설명은 이 문서를 참조할 수 있으며, 집합에 대한 자세한 설명은 이 문서를 참조할 수 있다.

2. 기본적인 실수의 성질[편집]

다음은 실수에 대한 성질을 다루며, 공리로 다루어 시작한다. (논리체계를 시작으로 하여 1∈C1 \in \mathbb{C}, 1≠01 \neq 0을 공리로 둔 다음 여러 논리체계의 정리를 거쳐 1∈R1 \in \mathbb{R}이 성립함을 증명한 곳(...)도 있다. 여기서 C\mathbb{C}는 모든 복소수들을 모아놓은 집합이다.)
모든 실수를 모아놓은 집합 R\mathbb{R}과 임의의 실수 aa, bb, cc에 대하여 다음을 만족한다.
1. 덧셈 연산에 대한 성질
  • a+b=b+a{\color{red}a}+{\color{orange}b}={\color{orange}b}+{\color{red}a} : 덧셈 연산에 대한 교환법칙이 성립한다.
  • (a+b)+c=a+(b+c){\color{blue}(}a+b{\color{blue})}+c=a+{\color{blue}(}b+c{\color{blue})} : 덧셈 연산에 대한 결합법칙이 성립한다.
  • 0∈R{\color{red}0} \in \mathbb{R}이 존재하여
    a+0=0+a=a]:[math(aa+{\color{red}0}={\color{red}0}+a=a] : [math(a에 대한 덧셈연산의 항등원인 00이 존재한다. (임의의 aa에 대하여 이 항등식을 만족한다.)
  • −a∈R{\color{blue}-a} \in \mathbb{R}이 존재하여
    a+(−a)=(−a)+a=0]:[math(aa+{\color{blue}(-a)}={\color{blue}(-a)}+a=0] : [math(a에 대한 덧셈연산의 역원인 −a-a이 존재한다. (임의의 aa에 대하여 이 항등식을 만족한다.)