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실수체계(r8 판)

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분류
1. 개요2. 기본적인 실수의 성질

1. 개요[편집]

The Real Number System
실수에 대하여 어떤 성질을 만족하는 체계이다. "Real"이라는 단어를 보고 "레알 넘버"니까 참된 숫자라고 혹여 다르게 생각할 수 있겠으나, 기준이 되는 00과 11을 기점으로 덧셈과 곱셈 연산에 대한 성질 등 여러 성질을 만족하면서 현실에서 대소를 비교할 수 있는 숫자들의 체계를 가리킨다.
여기에는 사칙연산만 안다면 직관적으로도 알 수 있는 성질들이 많기도 하며, 또한 별도 증명이 없이 시작하는 공리(Axiom)들로 도배되어 있다.
이를 기점으로 여러 정리들이 이루어진다. 이를테면 음수에 음수를 곱하면 양수가 됨을 증명(...)하는 것.

공리, 정리에 대한 자세한 설명은 이 문서를 참조할 수 있으며, 집합에 대한 자세한 설명은 이 문서를 참조할 수 있다.

2. 기본적인 실수의 성질[편집]

다음은 실수에 대한 성질을 다루며, 공리로 다루어 시작한다.
(논리체계를 시작으로 하여 1∈C1 \in \mathbb{C}, 1≠01 \neq 0을 공리로 둔 다음 여러 논리체계의 정리를 거쳐 1∈R1 \in \mathbb{R}이 성립함을 증명한 곳(...)도 있다. 여기서 C\mathbb{C}는 모든 복소수들을 모아놓은 집합이다. 복소수체계를 공리로 두고 시작하는 방법이든 실수체계를 공리로 두고 시작하는 방법이든 둘 중 하나는 공리로 둘 수 밖에 없다. 단, 허수에 대하여 i∈Ci \in \mathbb{C}는 둘 중 어느 방법으로 하든 공리로 둔다.)

다음은 덧셈과 곱셈 연산에 대한 성질이다.
모든 실수를 모아놓은 집합 R\mathbb{R}과 임의의 실수 aa, bb, cc에 대하여 다음을 만족한다.
1. 덧셈 연산 "++"에 대한 성질
  • a+b∈Ra+b \in \mathbb{R} : 덧셈 연산에 대하여 닫혀 있다.[닫힘]
  • a+b=b+a{\color{red}a}+{\color{orange}b}={\color{orange}b}+{\color{red}a} : 덧셈 연산에 대한 교환법칙이 성립한다.
  • (a+b)+c=a+(b+c){\color{blue}(}a+b{\color{blue})}+c=a+{\color{blue}(}b+c{\color{blue})} : 덧셈 연산에 대한 결합법칙이 성립한다. 괄호를 풀어서 =a+b+c=a+b+c이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
  • 0∈R{\color{red}0} \in \mathbb{R}이 존재하여
    a+0=0+a=aa+{\color{red}0}={\color{red}0}+a=a인 aa에 대한 항등식을 만족한다.
    : 덧셈 연산에 대한 aa의 항등원인 0{\color{red}0}이 존재한다.
  • −a∈R{\color{green}-a} \in \mathbb{R}이 존재하면서
    a+(−a)=(−a)+a=0a+{\color{green}(-a)}={\color{green}(-a)}+a={\color{red}0}인 aa에 대한 항등식을 만족한다.
    : 덧셈 연산에 대한 aa의 역원인 −a{\color{green}-a}이 존재한다.

2. 곱셈 연산 "••"에 대한 성질
  • a•b∈Ra•b \in \mathbb{R} : 곱셈 연산에 대하여 닫혀 있다.[닫힘]
  • a•b=b•a{\color{red}a}•{\color{orange}b}={\color{orange}b}•{\color{red}a} : 곱셈 연산에 대한 교환법칙이 성립한다.
  • (a•b)•c=a•(b•c){\color{blue}(}a•b{\color{blue})}•c=a•{\color{blue}(}b•c{\color{blue})} : 곱셈 연산에 대한 결합법칙이 성립한다. 괄호를 풀어서 =a•b•c=a•b•c이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
  • 1∈R{\color{red}1} \in \mathbb{R}이 존재하여
    a•1=1•a=aa•{\color{red}1}={\color{red}1}•a=a인 aa에 대한 항등식을 만족한다.
    : 곱셈 연산에 대한 aa의 항등원인 1{\color{red}1}이 존재한다.
  • "00이 아닌" aa에 대하여, 1a∈R{\color{green}{\dfrac{1}{a}}} \in \mathbb{R}이 존재하면서
    a•1a=1a•a=1a•{\color{green}{\dfrac{1}{a}}}={\color{green}{\dfrac{1}{a}}}•a={\color{red}1}인 aa에 대한 항등식을 만족한다.
    : 곱셈 연산에 대한 aa의 역원인 1a{\color{green}{\dfrac{1}{a}}}이 존재한다.

3. 덧셈 연산과 곱셈 연산에 대한 성질 (분배법칙)
  • a•(b+c)=a•b+a•c{\color{red}a}{\color{green}•}{\color{blue}(}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{gold}c}{\color{blue})}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c}
  • (a+b)•c=a•c+b•c{\color{blue}(}{\color{red}a}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{blue})}{\color{green}•}{\color{gold}c}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{green}•}{\color{gold}c}

다음은 대소비교에 대한 성질이다.
4. 대소비교
  • 임의의 실수 aa, bb 에 대하여 다음 셋 중 하나는 반드시 만족한다.
    1. a>ba>b
    2. a=ba=b
    3. a<ba<b
  • 참고
    • a≥ba\geq b : a>ba>b 또는 a=ba=b 임을 뜻한다. (greater than or equal to)
    • a≤ba\leq b : a<ba<b 또는 a=ba=b 임을 뜻한다. (less than or equal to)

[닫힘] 1.1 1.2 즉 R\mathbb{R}의 그 어느 두 원소를 가져와서 해당 연산을 해도 R\mathbb{R}의 원소가 아닌 원소로 되지 않는다.