실수체계(r6 판)

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분류

수학

1. 개요2. 기본적인 실수의 성질

1. 개요[편집]

The Real Number System
실수에 대하여 어떤 성질을 만족하는 체계이다. ~~"Real"이라는 단어를 보고 "레알 넘버"니까 참된 숫자라고~~ 혹여 다르게 생각할 수 있겠으나, 기준이 되는

0

과

1

을 기점으로 덧셈과 곱셈 연산에 대한 성질 등 여러 성질을 만족하면서 현실에서 대소를 비교할 수 있는 숫자들의 체계를 가리킨다.
여기에는 사칙연산만 안다면 직관적으로도 알 수 있는 성질들이 많기도 하며, 또한 별도 증명이 없이 시작하는 공리(Axiom)들로 도배되어 있다.
이를 기점으로 여러 정리들이 이루어진다. 이를테면 음수에 음수를 곱하면 양수가 됨을 증명(...)하는 것.

공리, 정리에 대한 자세한 설명은 이 문서를 참조할 수 있으며, 집합에 대한 자세한 설명은 이 문서를 참조할 수 있다.

2. 기본적인 실수의 성질[편집]

다음은 실수에 대한 성질을 다루며, 공리로 다루어 시작한다.
(논리체계를 시작으로 하여

1 \in \mathbb{C}

1 \neq 0

을 공리로 둔 다음 여러 논리체계의 정리를 거쳐

1 \in \mathbb{R}

이 성립함을 증명한 곳(...)도 있다. 여기서

\mathbb{C}

는 모든 복소수들을 모아놓은 집합이다. 복소수체계를 공리로 두고 시작하는 방법이든 실수체계를 공리로 두고 시작하는 방법이든 둘 중 하나는 공리로 둘 수 밖에 없다.)

모든 실수를 모아놓은 집합

\mathbb{R}

과 임의의 실수

a

b

c

에 대하여 다음을 만족한다.
1. 덧셈 연산 "

+

"에 대한 성질

$a+b \in \mathbb{R}$ : 덧셈 연산에 대하여 닫혀 있다.[닫힘]
${\color{red}a}+{\color{orange}b}={\color{orange}b}+{\color{red}a}$ : 덧셈 연산에 대한 교환법칙이 성립한다.
${\color{blue}(}a+b{\color{blue})}+c=a+{\color{blue}(}b+c{\color{blue})}$ : 덧셈 연산에 대한 결합법칙이 성립한다. 괄호를 풀어서 $=a+b+c$ 이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
${\color{red}0} \in \mathbb{R}$ 이 존재하여
$a+{\color{red}0}={\color{red}0}+a=a$ 인 $a$ 에 대한 항등식을 만족한다.
: 덧셈 연산에 대한 $a$ 의 항등원인 ${\color{red}0}$ 이 존재한다.
${\color{green}-a} \in \mathbb{R}$ 이 존재하면서
$a+{\color{green}(-a)}={\color{green}(-a)}+a={\color{red}0}$ 인 $a$ 에 대한 항등식을 만족한다.
: 덧셈 연산에 대한 $a$ 의 역원인 ${\color{green}-a}$ 이 존재한다.

2. 곱셈 연산 "

•

"에 대한 성질

$a•b \in \mathbb{R}$ : 곱셈 연산에 대하여 닫혀 있다.[닫힘]
${\color{red}a}•{\color{orange}b}={\color{orange}b}•{\color{red}a}$ : 곱셈 연산에 대한 교환법칙이 성립한다.
${\color{blue}(}a•b{\color{blue})}•c=a•{\color{blue}(}b•c{\color{blue})}$ : 곱셈 연산에 대한 결합법칙이 성립한다. 괄호를 풀어서 $=a•b•c$ 이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
${\color{red}1} \in \mathbb{R}$ 이 존재하여
$a•{\color{red}1}={\color{red}1}•a=a$ 인 $a$ 에 대한 항등식을 만족한다.
: 곱셈 연산에 대한 $a$ 의 항등원인 ${\color{red}1}$ 이 존재한다.
" $0$ 이 아닌" $a$ 에 대하여, ${\color{green}{\dfrac{1}{a}}} \in \mathbb{R}$ 이 존재하면서
$a•{\color{green}{\dfrac{1}{a}}}={\color{green}{\dfrac{1}{a}}}•a={\color{red}1}$ 인 $a$ 에 대한 항등식을 만족한다.
: 곱셈 연산에 대한 $a$ 의 역원인 ${\color{green}{\dfrac{1}{a}}}$ 이 존재한다.

3. 덧셈 연산과 곱셈 연산에 대한 성질 (분배법칙)

${\color{red}a}{\color{green}•}{\color{blue}(}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{gold}c}{\color{blue})}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c}$
${\color{blue}(}{\color{red}a}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{blue})}{\color{green}•}{\color{gold}c}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{green}•}{\color{gold}c}$

[닫힘] ^1.1 ^1.2 즉

\mathbb{R}

의 그 어느 두 원소를 가져와서 해당 연산을 해도

\mathbb{R}

의 원소가 아닌 원소로 되지 않는다.