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실수체계(r13 판)

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분류
1. 개요2. 기본적인 실수의 성질3. 여러 실수의 성질 증명

1. 개요[편집]

The Real Number System
실수에 대하여 어떤 성질을 만족하는 체계이다. "Real"이라는 단어를 보고 "레알 넘버"니까 참된 숫자라고 혹여 다르게 생각할 수 있겠으나, 기준이 되는 00과 11을 기점으로 덧셈과 곱셈 연산에 대한 성질 등 여러 성질을 만족하면서 현실에서 대소를 비교할 수 있는 숫자들의 체계를 가리킨다.
여기에는 사칙연산만 안다면 직관적으로도 알 수 있는 성질들이 많기도 하며, 또한 별도 증명이 없이 시작하는 공리(Axiom)들로 도배되어 있다.
이를 기점으로 여러 정리들이 이루어진다. 이를테면 음수에 음수를 곱하면 양수가 됨을 증명(...)하는 것.

공리, 정리에 대한 자세한 설명은 이 문서를 참조할 수 있으며, 집합에 대한 자세한 설명은 이 문서를 참조할 수 있다.

2. 기본적인 실수의 성질[편집]

다음은 실수에 대한 성질을 다루며, 공리로 다루어 시작한다.
(논리체계를 시작으로 하여 1∈C1 \in \mathbb{C}, 1≠01 \neq 0을 공리로 둔 다음 여러 논리체계의 정리를 거쳐 1∈R1 \in \mathbb{R}이 성립함을 증명한 곳(...)도 있다. 여기서 C\mathbb{C}는 모든 복소수들을 모아놓은 집합이다. 복소수체계를 공리로 두고 시작하는 방법이든 실수체계를 공리로 두고 시작하는 방법이든 둘 중 하나는 공리로 둘 수 밖에 없다. 단, 허수에 대하여 i∈Ci \in \mathbb{C}는 둘 중 어느 방법으로 하든 공리로 둔다.)

또한 집합론에서 두 원소를 두고 "관계"(relation)를 정의하면서 "연산"을 정의하고 시작한다. 이는 (단순 모든 실수의 집합만이 아닌 일반적인 집합에 대한 개념을 다루는 까닭에) 내용이 방대하므로 (고등학교 과정에서는 배우지 않는다.) 집합 문서의 서술로 남겨두고 여기에는 생략한다.

다음은 덧셈과 곱셈 연산에 대한 성질이다.
모든 실수를 모아놓은 집합 R\mathbb{R}과 임의의 실수 aa, bb, cc에 대하여 다음을 만족한다.
I. 덧셈 연산 "++"에 대한 성질
  1. a+b∈Ra+b \in \mathbb{R} : 덧셈 연산에 대하여 닫혀 있다.[닫힘]
  2. a+b=b+a{\color{red}a}+{\color{orange}b}={\color{orange}b}+{\color{red}a} : 덧셈 연산에 대한 교환법칙이 성립한다.
  3. (a+b)+c=a+(b+c){\color{blue}(}a+b{\color{blue})}+c=a+{\color{blue}(}b+c{\color{blue})} : 덧셈 연산에 대한 결합법칙이 성립한다. 괄호를 풀어서 =a+b+c=a+b+c이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
  4. 0∈R{\color{red}0} \in \mathbb{R}이 존재하여
    a+0=0+a=aa+{\color{red}0}={\color{red}0}+a=a인 aa에 대한 항등식을 만족한다.
    : 덧셈 연산에 대한 aa의 항등원인 0{\color{red}0}이 존재한다.
  5. −a∈R{\color{green}-a} \in \mathbb{R}이 존재하면서
    a+(−a)=(−a)+a=0a+{\color{green}(-a)}={\color{green}(-a)}+a={\color{red}0}인 aa에 대한 항등식을 만족한다.
    : 덧셈 연산에 대한 aa의 역원인 −a{\color{green}-a}이 존재한다.

II. 곱셈 연산 "••"에 대한 성질
  1. a•b∈Ra•b \in \mathbb{R} : 곱셈 연산에 대하여 닫혀 있다.[닫힘]
  2. a•b=b•a{\color{red}a}•{\color{orange}b}={\color{orange}b}•{\color{red}a} : 곱셈 연산에 대한 교환법칙이 성립한다.
  3. (a•b)•c=a•(b•c){\color{blue}(}a•b{\color{blue})}•c=a•{\color{blue}(}b•c{\color{blue})} : 곱셈 연산에 대한 결합법칙이 성립한다. 괄호를 풀어서 =a•b•c=a•b•c이라는 식까지 추가 서술하는 곳이 있다.
  4. 1∈R{\color{red}1} \in \mathbb{R}이 존재하여
    a•1=1•a=aa•{\color{red}1}={\color{red}1}•a=a인 aa에 대한 항등식을 만족한다.
    : 곱셈 연산에 대한 aa의 항등원인 1{\color{red}1}이 존재한다.
  5. "00이 아닌" aa에 대하여, 1a∈R{\color{green}{\dfrac{1}{a}}} \in \mathbb{R}이 존재하면서
    a•1a=1a•a=1a•{\color{green}{\dfrac{1}{a}}}={\color{green}{\dfrac{1}{a}}}•a={\color{red}1}인 aa에 대한 항등식을 만족한다.
    : 곱셈 연산에 대한 aa의 역원인 1a{\color{green}{\dfrac{1}{a}}}이 존재한다.

III. 덧셈 연산과 곱셈 연산에 대한 성질 (분배법칙)
  1. a•(b+c)=a•b+a•c{\color{red}a}{\color{green}•}{\color{blue}(}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{gold}c}{\color{blue})}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{orange}b}{\color{blue}+}{\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c}
  2. (a+b)•c=a•c+b•c{\color{blue}(}{\color{red}a}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{blue})}{\color{green}•}{\color{gold}c}={\color{red}a}{\color{green}•}{\color{gold}c}{\color{blue}+}{\color{orange}b}{\color{green}•}{\color{gold}c}

다음은 대소비교에 대한 성질이다.
IV. 대소비교
  1. 임의의 실수 aa, bb 에 대하여 다음 셋 중 하나는 반드시 만족한다.
    1. a>ba>b
    2. a=ba=b
    3. a<ba<b
  • 참고
    1. a≥ba\geq b : a>ba>b 또는 a=ba=b 임을 뜻한다. (greater than or equal to)
    2. a≤ba\leq b : a<ba<b 또는 a=ba=b 임을 뜻한다. (less than or equal to)
    3. a≠ba\neq b : a=ba=b이 아님을 뜻한다. (not equal to) 대소를 비교해야 하는 계산에서는
      a<ba<b 또는 a>ba>b가 된다.
      단, 복소수체계에서는 일반적으로 대소비교가 불가능하다. 자세한 내용은 허수 참조.

기타 : 위의 13.에서 i.부터 iii.까지 설명의 대상이 되는 부등식들을 호출하려면 각각 math라는 입력 구문 구간(마크업)[3]을 전제하여 \geq, \leq, \neq 구문을 입력해야 한다. 프로그래밍에서 입력 속도를 높이기 위해 단축키를 사용하는 것처럼 축약어로 입력 구문을 정의하는 방식을 많이 채택한다. 위의 칸에 볼드체한 표시는 문구에서 축약된 머릿글자를 의미한다.)

[닫힘] 1.1 1.2 즉 R\mathbb{R}의 그 어느 두 원소를 가져와서 해당 연산을 해도 R\mathbb{R}의 원소가 아닌 원소로 되지 않는다.[3] 둘 중 하나로 가능하다.(주석에 개행을 넣을 수 있다.)
예시 1
예시 2
{{{#!wiki
<math> \geq </math>}}}
[math(\geq)]

3. 여러 실수의 성질 증명[편집]

보기에도 당연해 보이는 것을 왜 증명해야 하는지 생각할 수 있지만, 참인지 거짓인지 명확하지 못하는 전제를 두고 증명을 하는 일은 의미가 없다. 반례가 것이 전혀 없는지도 불확실하기 때문. (이는 다른 정리나 명제를 증명할 때에도 동일하다.) 그래서 참이라고 여기는 것을 시작으로 여러 가지 성질을 증명하는 것이다.

임의의 실수 aa, bb, cc에 대하여 몇 가지 증명을 해본다.
a×0=0a \times 0 =0의 증명
1. 먼저 0∈R0 \in \mathbb{R}이 성립하므로 다음이 성립한다.
0+0∈R0{\color{blue}+0} \in \mathbb{R}이고 0+0=00{\color{blue}+0}=0 이다.
(덧셈연산에 대한 00의 항등원)

2. 1∈R1 \in \mathbb{R}이 성립하므로 다음이 성립한다.
−1∈R{\color{green}-1} \in \mathbb{R}이고 1+(−1)=01{\color{green}+(-1)}=0 이다.
(덧셈연산에 대한 11의 역원)