제곱근(r32 판)

반대말은 제곱[1]. $x^2=a$ 일 때 $x=\sqrt{a}$, $x=-\sqrt{a}$라고 하며 기호 $\sqrt{}$를 쓴다. 근호가 뿌리처럼 생겼다고 해서 기호 이름이 루트이다.

실수 $a$에 대하여 제곱근을 말할 때, "$a$의 제곱근"과 "제곱근 $a$" 두 용례의 혼동에 주의하자.

이는 세제곱근, 네제곱근 등 거듭제곱근에도 동일하다. 단, 제곱근의 개수와 그에 따른 표현이 다를 뿐이다.

한편 제곱근은 "분수"의 지수로 표현할 수 있다. 이를테면 $\sqrt{a}$의 경우 $\sqrt{a} = a^{{1}\over{2}}$로 지수에 ${{1} \over {2}}$을 적음으로써 표현할 수 있다.
세제곱근의 경우 지수에 ${{1} \over {3}}$을 적음으로써 표현할 수 있다.

허수 문서 참조.

$i$의 제곱근은 무엇인가 생각할 수 있다. 곧 $x^2=i$를 만족하는 $x$가 무엇인지 궁금할 수 있다.

이는 대소를 비교할 수 있는 수(실수)인 $a$, $b$에 대하여 $x=a+bi$로 치환한 방정식 $a+b i=\sqrt{i}$을 풀어보면 된다.
양변을 제곱해보면 미지수 $a$, $b$에 대한 연립이차방정식을 얻을 수 있다. $\left(bi\right)^{2}=-b^{2}$가 되므로
$a^{2}-b^{2}+2ab i=i$을 얻는다. 양변에서 실수부와 허수부를 비교해보면
$\begin{cases} a^{2}-b^{2}=0 \quad\text{(실수부)} \\ 2ab=1 \quad\text{(허수부)} \end{cases}$
실수부의 좌변을 인수분해하면
$\left(a+b\right)\left(a-b\right)=0$이 되므로
$a=b$ 또는 $a=-b$ 이라는 결과를 얻는다.

$a=-b$를 허수부인 $2ab=1$에 대입하여 미지수 $a$를 소거하면 $-2b^{2}=1$을 얻는다. 이는 정리하면 $b^{2}=-{{1}\over{2}}$가 되는데, $b$가 실수라는 조건에 모순이 된다. $a=-b$는 무리방정식에서 무연근(제곱을 하여 차수가 더블로 뻥튀기된 까닭에 발생된 근으로서 원래 방정식과 아무런 관계가 없는 근)임을 알 수 있다.

한편 $a=b$를 허수부인 $2ab=1$에 대입하여 미지수 $a$를 소거하면 $2b^{2}=1$을 얻고, 정리하면 $b^{2}={{1}\over{2}}$가 되어 다음을 얻게 된다.
$b={{\sqrt{2}}\over{2}}$ 또는 $b=-{{\sqrt{2}}\over{2}}$
이를 $a=b$에 대입하고, 앞에서 $x=a+bi$에 대입하면 다음을 얻는다.
$x={{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i$ 또는 $x=-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i$

따라서 $i$의 제곱근은 ${{\sqrt{2}}\over{2}}+{{\sqrt{2}}\over{2}}i$ 또는 $-{{\sqrt{2}}\over{2}}-{{\sqrt{2}}\over{2}}i$임을 알 수 있다.

조금 더 식을 바꿔보면 다음과 같이 된다.
$\cos\left({{\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {4}}\right)$, $\cos\left({{5\pi} \over {4}}\right)+i \sin\left({{5\pi} \over {4}}\right)$
(실제로 복소평면[2]상에서 삼각함수를 이런 용도로도 사용할 수 있다. $i$의 경우 $i=\cos\left({{\pi} \over {2}}\right)+i \sin\left({{\pi} \over {2}}\right)$가 된다.)

세제곱근 8인 $8 = \sqrt[3]8$ 은 실수 범위 내에서는 2이지만 복소수 범위에서는 $x=2 \text{ ,or }x=-1\pm\sqrt{3}i$가 있다.

$x^3=-1$이나 $x^3=1$을 구해야 하는 경우가 있다. 이는 $\omega$ 기호를 이용하여 나타내기도 한다.
일단 $x^3-1=0$로 이항한 후 인수분해를 하면 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0$ 이 식이 되는데, 그러면 근은 $x=1\;\textsf{or}\;x=\dfrac{-1\pm \sqrt 3i}{2}$ 이 된다. 한 허근이 $\omega$이면 다른 허근은 켤레복소수이므로 $\overline \omega$가 된다.