허수(r15 판)

음수의 제곱근에 해당되는 값이 더해진 수.

열람 주의 : 실수체계가 먼저 이해되어야 합니다.

양수의 제곱은 양수이며 음수의 제곱은 양수가 된다. 여기에서 제곱하여 양수가 되는 수는 양수 아니면 음수임이 분명하므로 양수의 제곱근은 양수 또는 음수이다.

그런데, 제곱하면 음수가 되는 수를 찾아야 하는 경우 곧 음수의 제곱근을 구해야 하는 경우가 있다. (이차방정식 문제를 풀다 보면 쉽게 겪을 수 있는 문제이다.) 조금 더 간략히 하자면 $x^2=-1$을 만족하는 $x$를 구해야 하는 경우가 있다.

앞의 $x^2=-1$을 만족하는 $x$은 $\sqrt{-1}$, $-\sqrt{-1}$가 되며, 이러한 수는 "뭔지는 모르겠지만 하나의 문자식 같은 가상의 수라고 여기면서" 사칙연산을 하면 잘 된다고 한다.

여기에서 $\sqrt{-1}$가 있는 수를 허수(imaginary number)라고 부르며, imaginary의 머릿글자 i를 따서 $i=\sqrt{-1}$로 표기하며, $i$는 허수단위라고 부른다. ("실상"과 "허상"이라는 단어, "상상하다"는 의미가 들어있는 "imagine"이라는 단어를 떠올려보자.)

전기공학 등 전기와 관련된 물리현상을 공부하는 경우 허수단위를 $\sqrt{-1}=j$로 표기하는 경우가 있다. 이는 전류를 뜻하는 $I$[1]와의 혼동을 피하기 위함이다.

[각주 보기, 접기]

[1] Intensity of Current

두 실수 $a$, $b$에 대하여 허수를 포함한 수를

로 나타내며 이를 복소수(complex number)라 부른다. 실수라고 부르기에는 콤플렉스가 있는 숫자 곱셈에 대한 혼동의 여지가 없으면 곱셈 기호를 생략하고

로 나타내며, 전자의 $a$를 실수부(real part), 후자의 $b$를 허수부(imaginary part)로 부른다. (복합단지를 두고 "complex"라고 부른다.)

이렇게 하여 $a > 0$, $b > 0$인 $a$, $b$에 대하여 다음을 만족한다.

앞의 실수체계에서 확장을 하여 복소수체계를 생각해볼 수 있다.

1. $\mathbb{C} = \left\{ a+bi\ |\ a,\ b\in\mathbb{R}\right\}$
인 복소수 전체의 집합 $\mathbb{C}$
2. 임의의 실수 $a_{R}$, $a_{I}$, $b_{R}$, $b_{I}$, $c_{R}$, $c_{I}$에 대한 임의의 세 복소수($\mathbb{C}$의 임의의 세 원소)인 $a_{R}+a_{I}i$, $b_{R}+b_{I}i$, $c_{R}+c_{I}i$을 생각해볼 수 있다.

이를 이용하면 덧셈, 곱셈에 대한 성질을 실수체계처럼 만족하는 복소수체계를 생각할 수 있다. (단, 대소비교는 불가능하며 그 이유는 다음 문단 내용을 참조.)

허수는 일반적으로 대소비교가 불가능하다. 앞의 실수체계의 대소비교에 대한 성질을 끌어다 쓰면 모순되는 점이 발생하기 때문.