헤론의 공식(r17 판)

삼각형의 변의 길이가 $a, b, c$라고 하고 $s$가 둘레의 길이의 절반이라면 이때 넓이는 $\displaystyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ 이다.
삼각형의 세 변의 길이만 알면 바로 넓이를 구할 수 있기 때문에 매우 유용한 공식이다.증명하는게 좀 까다로워서 그렇지

꼭짓점 A에서 밑변에 내린 수선의 발을 H라고 하고, $\overline{\rm BH}=x$라고 하자.
이때, 피타고라스 정리를 이용해 $\displaystyle \begin{aligned} c^{2}&=h^{2}+x^{2}\\ b^{2}&=h^{2}+(a-x)^{2} \end{aligned}$라고 나온다.

두 식을 빼면 $\displaystyle c^{2}-b^{2}=2ax-a^{2}$가 나온다.

그러므로 $x$는 $\displaystyle \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}$가 나온다.

아까 구한 $c^{2}=h^{2}+x^{2}$을 바꿔서 풀면

$\displaystyle \begin{aligned} h^{2}&=c^{2}-x^{2} \\&=c^{2}-\left( \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)^{\!2} \end{aligned}$ 가 된다.

인수분해를 해

$\displaystyle \begin{aligned} \left( c+\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)\left( c-\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right) \end{aligned}$ 이 식을 만들고,

또 인수분해를 해

$\displaystyle \begin{aligned} \left[ \dfrac{(a+c)^{2}-b^{2}}{2a} \right]\left[ \dfrac{b^{2}-(a-c)^{2}}{2a} \right] \end{aligned}$ 이 식을 만든다.

식을 풀면

$\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{4a^{2}}(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a) \end{aligned}$,
$\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{1}{4a^{2}}\cdot 2s \cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-a) \end{aligned}$,
$\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{4}{a^{2}}s(s-a)(s-b)(s-c) \end{aligned}$ 가 되는데,

이때 $\triangle ABC$이 넓이의 제곱은