| r2 | ||
|---|---|---|
| r1 (새 문서) | 1 | [[분류:일반상대론]] |
| r2 | 2 | [[분류:고전장론]] |
| 3 | [[분류:중력이론]] | |
| r1 (새 문서) | 4 | |
| 5 | [목차] | |
| 6 | ||
| 7 | == 개요 == | |
| 8 | ||
| r2 | 9 | 이 문서는 일반상대론에서 쓰이는 중력 작용량과 대표적인 물질장 작용량을 정리한다. 핵심 관점은 다음과 같다. |
| r1 (새 문서) | 10 | |
| r2 | 11 | * 일반상대론의 동역학 변수는 계량 [math(g_{\mu\nu})]이다. |
| 12 | * 중력 방정식은 계량에 대한 작용량 변분에서 나온다. | |
| 13 | * 물질장의 운동방정식은 해당 물질장에 대한 작용량 변분에서 나온다. | |
| 14 | * 에너지-운동량 텐서는 물질 작용량을 계량에 대해 변분하여 정의한다. | |
| 15 | * 미분동형사상 불변성은 에너지-운동량 텐서의 공변보존과 연결된다. | |
| r1 (새 문서) | 16 | |
| r2 | 17 | 전체 작용량은 보통 다음 구조를 가진다. |
| 18 | ||
| r1 (새 문서) | 19 | [math( |
| 20 | S[g,\Psi] | |
| r2 | 21 | |
| r1 (새 문서) | 22 | S_{\mathrm{grav}}[g] |
| 23 | + | |
| 24 | S_{\mathrm{matter}}[g,\Psi] | |
| 25 | + | |
| r2 | 26 | S_{\mathrm{boundary}}[g,\Psi] |
| r1 (새 문서) | 27 | )] |
| 28 | ||
| r2 | 29 | 여기서 [math(\Psi)]는 스칼라장, 스피너장, gauge 장, 유체 변수 등 모든 물질 자유도를 상징한다. |
| r1 (새 문서) | 30 | |
| r2 | 31 | 가장 표준적인 4차원 Einstein 중력에서는 |
| r1 (새 문서) | 32 | |
| 33 | [math( | |
| r2 | 34 | S[g,\Psi] |
| 35 | ||
| 36 | \frac{1}{2\kappa} | |
| 37 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},(R-2\Lambda) | |
| 38 | + | |
| 39 | S_{\mathrm{GHY}} | |
| 40 | + | |
| 41 | S_{\mathrm{matter}}[g,\Psi] | |
| 42 | )] | |
| 43 | ||
| 44 | 이다. | |
| 45 | ||
| 46 | 계량에 대해 변분하면 Einstein 방정식을 얻는다. | |
| 47 | ||
| 48 | [math( | |
| r1 (새 문서) | 49 | G_{\mu\nu} |
| 50 | + | |
| 51 | \Lambda g_{\mu\nu} | |
| r2 | 52 | |
| r1 (새 문서) | 53 | \kappa T_{\mu\nu} |
| 54 | )] | |
| 55 | ||
| r2 | 56 | 여기서 |
| 57 | ||
| 58 | [math( | |
| 59 | G_{\mu\nu} | |
| 60 | ||
| 61 | R_{\mu\nu} | |
| 62 | ||
| 63 | \frac12 g_{\mu\nu}R | |
| 64 | )] | |
| 65 | ||
| 66 | 는 Einstein 텐서이고, | |
| 67 | ||
| 68 | [math( | |
| 69 | \kappa=8\pi G | |
| 70 | )] | |
| 71 | ||
| 72 | 이다. | |
| 73 | ||
| 74 | 자연단위계 [math(c=\hbar=1)]를 쓰지 않으면 | |
| 75 | ||
| 76 | [math( | |
| 77 | \kappa | |
| 78 | ||
| 79 | \frac{8\pi G}{c^4} | |
| 80 | )] | |
| 81 | ||
| 82 | 이다. | |
| 83 | ||
| r1 (새 문서) | 84 | == 기본 규약 == |
| 85 | ||
| r2 | 86 | 이 문서에서는 다음 규약을 기본으로 사용한다. |
| r1 (새 문서) | 87 | |
| r2 | 88 | * 계량 부호: [math((- + + +))] |
| 89 | * 자연단위계: [math(c=\hbar=1)] | |
| 90 | * 중력 결합상수: [math(\kappa=8\pi G)] | |
| 91 | * 계량 행렬식: [math(g=\det(g_{\mu\nu}))] | |
| 92 | * 부피요소: [math(\sqrt{-g},d^4x)] | |
| 93 | * Einstein 합 규약 사용 | |
| 94 | * Greek index: 시공간 지표 [math(\mu,\nu,\rho,\sigma=0,1,2,3)] | |
| 95 | * Latin index: 국소 Lorentz 지표 [math(a,b,c,d=0,1,2,3)] | |
| 96 | * 공간 ADM 지표: [math(i,j,k=1,2,3)] | |
| r1 (새 문서) | 97 | |
| r2 | 98 | Minkowski 계량은 |
| r1 (새 문서) | 99 | |
| 100 | [math( | |
| 101 | \eta_{ab} | |
| r2 | 102 | |
| r1 (새 문서) | 103 | \operatorname{diag}(-,+,+,+) |
| 104 | )] | |
| 105 | ||
| r2 | 106 | 이다. |
| r1 (새 문서) | 107 | |
| r2 | 108 | 곡률 부호 규약은 다음과 같이 둔다. |
| 109 | ||
| r1 (새 문서) | 110 | [math( |
| 111 | [\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho | |
| r2 | 112 | |
| r1 (새 문서) | 113 | R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma |
| 114 | )] | |
| 115 | ||
| r2 | 116 | 따라서 Riemann 텐서는 |
| r1 (새 문서) | 117 | |
| 118 | [math( | |
| r2 | 119 | R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} |
| 120 | ||
| 121 | \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} | |
| 122 | ||
| 123 | \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} | |
| 124 | + | |
| 125 | \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} | |
| 126 | ||
| 127 | \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma} | |
| 128 | )] | |
| 129 | ||
| 130 | 이고, Ricci 텐서는 | |
| 131 | ||
| 132 | [math( | |
| r1 (새 문서) | 133 | R_{\mu\nu} |
| r2 | 134 | |
| 135 | R^\rho{}_{\mu\rho\nu} | |
| r1 (새 문서) | 136 | )] |
| 137 | ||
| r2 | 138 | 이다. |
| r1 (새 문서) | 139 | |
| r2 | 140 | Ricci 스칼라는 |
| 141 | ||
| 142 | [math( | |
| 143 | R | |
| 144 | ||
| 145 | g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} | |
| 146 | )] | |
| 147 | ||
| 148 | 이다. | |
| 149 | ||
| 150 | 주의할 점은 일반상대론 문헌마다 다음 네 가지 부호 선택이 다를 수 있다는 것이다. | |
| 151 | ||
| 152 | * 계량 부호 [math((-+++))] 또는 [math((+---))] | |
| 153 | * Riemann 텐서 정의의 부호 | |
| 154 | * Einstein-Hilbert 작용량 앞 부호 | |
| 155 | * 물질 Lagrangian의 부호 | |
| 156 | ||
| 157 | 따라서 다른 문헌의 식을 가져올 때는 반드시 [math(R^\rho{}{\sigma\mu\nu})], [math(G{\mu\nu})], [math(T_{\mu\nu})] 정의를 함께 확인해야 한다. | |
| 158 | ||
| r1 (새 문서) | 159 | == 기하학적 기본량 == |
| 160 | ||
| 161 | === Levi-Civita 접속 === | |
| 162 | ||
| r2 | 163 | 일반상대론의 표준 접속은 Levi-Civita 접속이다. 이는 다음 두 조건으로 결정된다. |
| r1 (새 문서) | 164 | |
| 165 | [math( | |
| 166 | \nabla_\rho g_{\mu\nu}=0 | |
| 167 | )] | |
| 168 | ||
| 169 | [math( | |
| 170 | \Gamma^\rho_{\mu\nu} | |
| r2 | 171 | |
| 172 | \Gamma^\rho_{\nu\mu} | |
| 173 | )] | |
| 174 | ||
| 175 | 첫 번째 조건은 계량 양립성, 두 번째 조건은 무비틀림 조건이다. | |
| 176 | ||
| 177 | 성분으로 쓰면 | |
| 178 | ||
| 179 | [math( | |
| 180 | \Gamma^\rho_{\mu\nu} | |
| 181 | ||
| 182 | \frac12 g^{\rho\sigma} | |
| r1 (새 문서) | 183 | \left( |
| 184 | \partial_\mu g_{\nu\sigma} | |
| 185 | + | |
| 186 | \partial_\nu g_{\mu\sigma} | |
| r2 | 187 | |
| r1 (새 문서) | 188 | \partial_\sigma g_{\mu\nu} |
| 189 | \right) | |
| 190 | )] | |
| 191 | ||
| r2 | 192 | 이다. |
| r1 (새 문서) | 193 | |
| r2 | 194 | === 곡률 텐서와 수축 === |
| r1 (새 문서) | 195 | |
| r2 | 196 | Riemann 텐서는 두 공변미분의 비가환성을 측정한다. |
| 197 | ||
| r1 (새 문서) | 198 | [math( |
| r2 | 199 | [\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho |
| 200 | ||
| 201 | R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma | |
| r1 (새 문서) | 202 | )] |
| 203 | ||
| r2 | 204 | 아래 대칭성을 만족한다. |
| r1 (새 문서) | 205 | |
| 206 | [math( | |
| r2 | 207 | R_{\rho\sigma\mu\nu} |
| 208 | ||
| 209 | - | |
| 210 | ||
| 211 | R_{\sigma\rho\mu\nu} | |
| 212 | ||
| 213 | - | |
| 214 | ||
| 215 | R_{\rho\sigma\nu\mu} | |
| 216 | )] | |
| 217 | ||
| 218 | [math( | |
| 219 | R_{\rho\sigma\mu\nu} | |
| 220 | ||
| 221 | R_{\mu\nu\rho\sigma} | |
| 222 | )] | |
| 223 | ||
| 224 | 그리고 첫 번째 Bianchi 항등식은 | |
| 225 | ||
| 226 | [math( | |
| 227 | R_{\rho[\sigma\mu\nu]}=0 | |
| 228 | )] | |
| 229 | ||
| 230 | 이다. | |
| 231 | ||
| 232 | Ricci 텐서와 Ricci 스칼라는 각각 | |
| 233 | ||
| 234 | [math( | |
| r1 (새 문서) | 235 | R_{\mu\nu} |
| r2 | 236 | |
| r1 (새 문서) | 237 | R^\rho{}_{\mu\rho\nu} |
| 238 | )] | |
| 239 | ||
| 240 | [math( | |
| 241 | R | |
| r2 | 242 | |
| r1 (새 문서) | 243 | g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} |
| 244 | )] | |
| 245 | ||
| r2 | 246 | 이다. |
| r1 (새 문서) | 247 | |
| r2 | 248 | === Einstein 텐서와 Bianchi 항등식 === |
| r1 (새 문서) | 249 | |
| r2 | 250 | Einstein 텐서는 |
| 251 | ||
| r1 (새 문서) | 252 | [math( |
| r2 | 253 | G_{\mu\nu} |
| 254 | ||
| 255 | R_{\mu\nu} | |
| 256 | ||
| 257 | \frac12 g_{\mu\nu}R | |
| 258 | )] | |
| 259 | ||
| 260 | 이다. | |
| 261 | ||
| 262 | 수축된 Bianchi 항등식은 | |
| 263 | ||
| 264 | [math( | |
| r1 (새 문서) | 265 | \nabla^\mu G_{\mu\nu}=0 |
| 266 | )] | |
| 267 | ||
| r2 | 268 | 이다. |
| r1 (새 문서) | 269 | |
| r2 | 270 | Einstein 방정식 |
| 271 | ||
| r1 (새 문서) | 272 | [math( |
| r2 | 273 | G_{\mu\nu} |
| 274 | + | |
| 275 | \Lambda g_{\mu\nu} | |
| 276 | ||
| 277 | \kappa T_{\mu\nu} | |
| 278 | )] | |
| 279 | ||
| 280 | 에서 [math(\Lambda)]가 상수이면 | |
| 281 | ||
| 282 | [math( | |
| r1 (새 문서) | 283 | \nabla^\mu T_{\mu\nu}=0 |
| 284 | )] | |
| 285 | ||
| r2 | 286 | 가 따른다. |
| 287 | ||
| 288 | 이는 중력 방정식의 일관성 조건이며, 동시에 물질 작용량의 미분동형사상 불변성에서 나오는 Noether 항등식이다. | |
| 289 | ||
| r1 (새 문서) | 290 | == 변분 공식 == |
| 291 | ||
| 292 | === 계량과 역계량의 변분 === | |
| 293 | ||
| 294 | 계량과 역계량은 | |
| 295 | ||
| 296 | [math( | |
| 297 | g_{\mu\rho}g^{\rho\nu} | |
| r2 | 298 | |
| r1 (새 문서) | 299 | \delta_\mu{}^\nu |
| 300 | )] | |
| 301 | ||
| r2 | 302 | 를 만족하므로, |
| r1 (새 문서) | 303 | |
| 304 | [math( | |
| r2 | 305 | \delta g^{\mu\nu} |
| 306 | ||
| 307 | - | |
| 308 | ||
| 309 | g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}\delta g_{\rho\sigma} | |
| r1 (새 문서) | 310 | )] |
| 311 | ||
| 312 | [math( | |
| r2 | 313 | \delta g_{\mu\nu} |
| 314 | ||
| 315 | - | |
| 316 | ||
| 317 | g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}\delta g^{\rho\sigma} | |
| r1 (새 문서) | 318 | )] |
| 319 | ||
| r2 | 320 | 이다. |
| r1 (새 문서) | 321 | |
| 322 | === 행렬식의 변분 === | |
| 323 | ||
| r2 | 324 | 일반 행렬 공식 [math(\delta\ln|\det M|=\operatorname{Tr}(M^{-1}\delta M))]에 의해 |
| r1 (새 문서) | 325 | |
| 326 | [math( | |
| 327 | \delta g | |
| r2 | 328 | |
| r1 (새 문서) | 329 | g g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} |
| r2 | 330 | )] |
| 331 | ||
| 332 | 이다. | |
| 333 | ||
| 334 | 역계량을 기본 변분 변수로 쓰면 | |
| 335 | ||
| 336 | [math( | |
| 337 | \delta g | |
| 338 | ||
| 339 | - | |
| 340 | ||
| r1 (새 문서) | 341 | g g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} |
| 342 | )] | |
| 343 | ||
| 344 | 이다. | |
| 345 | ||
| 346 | 따라서 | |
| 347 | ||
| 348 | [math( | |
| 349 | \delta\sqrt{-g} | |
| r2 | 350 | |
| 351 | \frac12\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} | |
| 352 | ||
| 353 | -\frac12\sqrt{-g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} | |
| r1 (새 문서) | 354 | )] |
| 355 | ||
| 356 | 이다. | |
| 357 | ||
| 358 | === 접속의 변분 === | |
| 359 | ||
| 360 | Levi-Civita 접속의 변분은 텐서이다. | |
| 361 | ||
| 362 | [math( | |
| 363 | \delta\Gamma^\rho_{\mu\nu} | |
| r2 | 364 | |
| 365 | \frac12 g^{\rho\sigma} | |
| r1 (새 문서) | 366 | \left( |
| 367 | \nabla_\mu\delta g_{\nu\sigma} | |
| 368 | + | |
| 369 | \nabla_\nu\delta g_{\mu\sigma} | |
| r2 | 370 | |
| r1 (새 문서) | 371 | \nabla_\sigma\delta g_{\mu\nu} |
| 372 | \right) | |
| 373 | )] | |
| 374 | ||
| r2 | 375 | 역계량 변분으로 쓰면 등가적으로 |
| 376 | ||
| 377 | [math( | |
| 378 | \delta\Gamma^\rho_{\mu\nu} | |
| 379 | ||
| 380 | -\frac12 | |
| 381 | \left( | |
| 382 | g_{\nu\sigma}\nabla_\mu\delta g^{\rho\sigma} | |
| 383 | + | |
| 384 | g_{\mu\sigma}\nabla_\nu\delta g^{\rho\sigma} | |
| 385 | ||
| 386 | g_{\mu\alpha}g_{\nu\beta}\nabla^\rho\delta g^{\alpha\beta} | |
| 387 | \right) | |
| 388 | )] | |
| 389 | ||
| 390 | 이다. | |
| 391 | ||
| r1 (새 문서) | 392 | === Palatini 항등식 === |
| 393 | ||
| r2 | 394 | Ricci 텐서의 변분은 |
| r1 (새 문서) | 395 | |
| 396 | [math( | |
| 397 | \delta R_{\mu\nu} | |
| r2 | 398 | |
| 399 | \nabla_\rho\delta\Gamma^\rho_{\nu\mu} | |
| 400 | ||
| 401 | \nabla_\nu\delta\Gamma^\rho_{\rho\mu} | |
| r1 (새 문서) | 402 | )] |
| 403 | ||
| r2 | 404 | 이다. |
| 405 | ||
| r1 (새 문서) | 406 | Ricci 스칼라의 변분은 |
| 407 | ||
| 408 | [math( | |
| 409 | \delta R | |
| r2 | 410 | |
| r1 (새 문서) | 411 | R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} |
| 412 | + | |
| 413 | g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu} | |
| 414 | )] | |
| 415 | ||
| r2 | 416 | 이다. |
| r1 (새 문서) | 417 | |
| r2 | 418 | 전체 미분항을 명시하면 |
| 419 | ||
| r1 (새 문서) | 420 | [math( |
| 421 | \delta R | |
| r2 | 422 | |
| r1 (새 문서) | 423 | R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} |
| 424 | + | |
| 425 | \nabla_\rho | |
| 426 | \left( | |
| r2 | 427 | g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\rho_{\nu\mu} |
| 428 | ||
| 429 | g^{\rho\mu}\delta\Gamma^\nu_{\nu\mu} | |
| r1 (새 문서) | 430 | \right) |
| 431 | )] | |
| 432 | ||
| 433 | 이다. | |
| 434 | ||
| r2 | 435 | 또는 |
| r1 (새 문서) | 436 | |
| 437 | [math( | |
| 438 | \delta R | |
| r2 | 439 | |
| r1 (새 문서) | 440 | R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} |
| 441 | + | |
| 442 | g_{\mu\nu}\Box\delta g^{\mu\nu} | |
| r2 | 443 | |
| r1 (새 문서) | 444 | \nabla_\mu\nabla_\nu\delta g^{\mu\nu} |
| 445 | )] | |
| 446 | ||
| r2 | 447 | 로 쓸 수 있다. |
| 448 | ||
| 449 | 여기서 | |
| 450 | ||
| 451 | [math( | |
| 452 | \Box | |
| 453 | ||
| 454 | \nabla_\rho\nabla^\rho | |
| 455 | )] | |
| 456 | ||
| 457 | 이다. | |
| 458 | ||
| r1 (새 문서) | 459 | == Einstein-Hilbert 작용량 == |
| 460 | ||
| 461 | 순수 중력 작용량은 Einstein-Hilbert 작용량이다. | |
| 462 | ||
| 463 | [math( | |
| 464 | S_{\mathrm{EH}} | |
| r2 | 465 | |
| r1 (새 문서) | 466 | \frac{1}{2\kappa} |
| r2 | 467 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},R |
| r1 (새 문서) | 468 | )] |
| 469 | ||
| 470 | 우주상수를 포함하면 | |
| 471 | ||
| 472 | [math( | |
| 473 | S_{\mathrm{grav}} | |
| r2 | 474 | |
| r1 (새 문서) | 475 | \frac{1}{2\kappa} |
| r2 | 476 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},(R-2\Lambda) |
| r1 (새 문서) | 477 | )] |
| 478 | ||
| 479 | 이다. | |
| 480 | ||
| r2 | 481 | 변분하면 |
| r1 (새 문서) | 482 | |
| 483 | [math( | |
| 484 | \delta S_{\mathrm{grav}} | |
| r2 | 485 | |
| r1 (새 문서) | 486 | \frac{1}{2\kappa} |
| r2 | 487 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| r1 (새 문서) | 488 | \left( |
| 489 | R_{\mu\nu} | |
| r2 | 490 | |
| 491 | \frac12 g_{\mu\nu}R | |
| r1 (새 문서) | 492 | + |
| 493 | \Lambda g_{\mu\nu} | |
| r2 | 494 | \right)\delta g^{\mu\nu} |
| r1 (새 문서) | 495 | + |
| r2 | 496 | \delta S_{\mathrm{boundary}} |
| r1 (새 문서) | 497 | )] |
| 498 | ||
| r2 | 499 | 이다. |
| r1 (새 문서) | 500 | |
| r2 | 501 | 즉, |
| r1 (새 문서) | 502 | |
| 503 | [math( | |
| r2 | 504 | \delta S_{\mathrm{grav}} |
| 505 | ||
| 506 | \frac{1}{2\kappa} | |
| 507 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} | |
| 508 | \left( | |
| r1 (새 문서) | 509 | G_{\mu\nu} |
| 510 | + | |
| 511 | \Lambda g_{\mu\nu} | |
| r2 | 512 | \right)\delta g^{\mu\nu} |
| 513 | + | |
| 514 | \delta S_{\mathrm{boundary}} | |
| r1 (새 문서) | 515 | )] |
| 516 | ||
| 517 | 이다. | |
| 518 | ||
| r2 | 519 | 경계항이 적절히 제거되거나 보상되면, 물질장까지 포함한 전체 변분에서 |
| 520 | ||
| 521 | [math( | |
| 522 | G_{\mu\nu} | |
| 523 | + | |
| 524 | \Lambda g_{\mu\nu} | |
| 525 | ||
| 526 | \kappa T_{\mu\nu} | |
| 527 | )] | |
| 528 | ||
| 529 | 를 얻는다. | |
| 530 | ||
| r1 (새 문서) | 531 | == Gibbons-Hawking-York 경계항 == |
| 532 | ||
| r2 | 533 | Einstein-Hilbert 작용량은 계량의 2계 미분을 포함한다. 따라서 단순히 경계에서 [math(\delta g_{\mu\nu}=0)]을 고정하는 것만으로는 변분 원리가 완전히 잘 정의되지 않는다. |
| r1 (새 문서) | 534 | |
| r2 | 535 | Dirichlet 경계조건, 즉 경계 유도계량 [math(h_{ij})]을 고정하는 변분 원리를 원하면 Gibbons-Hawking-York 항을 더한다. |
| r1 (새 문서) | 536 | |
| r2 | 537 | 경계 [math(\partial\mathcal M)]의 단위 법선벡터를 [math(n^\mu)]라 하자. |
| 538 | ||
| r1 (새 문서) | 539 | [math( |
| r2 | 540 | n_\mu n^\mu=\epsilon |
| r1 (새 문서) | 541 | )] |
| 542 | ||
| r2 | 543 | 여기서 [math((-+++))] 부호에서 |
| r1 (새 문서) | 544 | |
| 545 | [math( | |
| 546 | \epsilon | |
| r2 | 547 | |
| r1 (새 문서) | 548 | \begin{cases} |
| r2 | 549 | +1, & \partial\mathcal M\ \text{timelike boundary} \ |
| 550 | -1, & \partial\mathcal M\ \text{spacelike boundary} | |
| r1 (새 문서) | 551 | \end{cases} |
| 552 | )] | |
| 553 | ||
| 554 | 이다. | |
| 555 | ||
| 556 | 유도계량은 | |
| 557 | ||
| 558 | [math( | |
| 559 | h_{\mu\nu} | |
| r2 | 560 | |
| r1 (새 문서) | 561 | g_{\mu\nu} |
| r2 | 562 | |
| r1 (새 문서) | 563 | \epsilon n_\mu n_\nu |
| 564 | )] | |
| 565 | ||
| 566 | 이다. | |
| 567 | ||
| 568 | 외재곡률은 | |
| 569 | ||
| 570 | [math( | |
| 571 | K_{\mu\nu} | |
| r2 | 572 | |
| 573 | h_\mu{}^\rho h_\nu{}^\sigma\nabla_\rho n_\sigma | |
| r1 (새 문서) | 574 | )] |
| 575 | ||
| r2 | 576 | 이고 그 trace는 |
| r1 (새 문서) | 577 | |
| 578 | [math( | |
| r2 | 579 | K |
| 580 | ||
| 581 | h^{\mu\nu}K_{\mu\nu} | |
| r1 (새 문서) | 582 | )] |
| 583 | ||
| 584 | 이다. | |
| 585 | ||
| r2 | 586 | GHY 항은 |
| r1 (새 문서) | 587 | |
| 588 | [math( | |
| 589 | S_{\mathrm{GHY}} | |
| r2 | 590 | |
| r1 (새 문서) | 591 | \frac{1}{\kappa} |
| r2 | 592 | \int_{\partial\mathcal M}d^3y\sqrt{|h|},\epsilon K |
| r1 (새 문서) | 593 | )] |
| 594 | ||
| 595 | 이다. | |
| 596 | ||
| 597 | 따라서 전체 중력 작용량은 | |
| 598 | ||
| 599 | [math( | |
| 600 | S_{\mathrm{grav}} | |
| r2 | 601 | |
| r1 (새 문서) | 602 | \frac{1}{2\kappa} |
| r2 | 603 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},(R-2\Lambda) |
| r1 (새 문서) | 604 | + |
| 605 | \frac{1}{\kappa} | |
| r2 | 606 | \int_{\partial\mathcal M}d^3y\sqrt{|h|},\epsilon K |
| r1 (새 문서) | 607 | )] |
| 608 | ||
| 609 | 이다. | |
| 610 | ||
| r2 | 611 | 경계가 조각별로 매끄럽고 모서리 또는 corner가 있으면 추가적인 corner term이 필요할 수 있다. 또한 null boundary에서는 [math(K)] 기반의 표준 GHY 항이 그대로 적용되지 않으며, null generator의 비affine parameter와 transverse geometry를 이용한 별도 경계항이 필요하다. |
| 612 | ||
| r1 (새 문서) | 613 | == 물질 작용량과 에너지-운동량 텐서 == |
| 614 | ||
| r2 | 615 | 물질장 작용량은 일반적으로 |
| r1 (새 문서) | 616 | |
| 617 | [math( | |
| 618 | S_{\mathrm{matter}} | |
| r2 | 619 | |
| 620 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}, | |
| r1 (새 문서) | 621 | \mathcal L_{\mathrm{matter}} |
| 622 | )] | |
| 623 | ||
| r2 | 624 | 로 쓴다. |
| r1 (새 문서) | 625 | |
| r2 | 626 | 에너지-운동량 텐서는 |
| 627 | ||
| r1 (새 문서) | 628 | [math( |
| 629 | T_{\mu\nu} | |
| 630 | := | |
| r2 | 631 | |
| r1 (새 문서) | 632 | \frac{2}{\sqrt{-g}} |
| 633 | \frac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta g^{\mu\nu}} | |
| 634 | )] | |
| 635 | ||
| r2 | 636 | 로 정의한다. |
| r1 (새 문서) | 637 | |
| r2 | 638 | 따라서 |
| 639 | ||
| r1 (새 문서) | 640 | [math( |
| 641 | \delta S_{\mathrm{matter}} | |
| r2 | 642 | |
| 643 | -\frac12 | |
| 644 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}, | |
| r1 (새 문서) | 645 | T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} |
| 646 | )] | |
| 647 | ||
| 648 | 이다. | |
| 649 | ||
| r2 | 650 | 물질 Lagrangian이 계량에는 의존하지만 계량의 미분에는 의존하지 않는 경우, |
| r1 (새 문서) | 651 | |
| 652 | [math( | |
| r2 | 653 | T_{\mu\nu} |
| 654 | ||
| 655 | -2\frac{\partial\mathcal L_{\mathrm{matter}}}{\partial g^{\mu\nu}} | |
| 656 | + | |
| 657 | g_{\mu\nu}\mathcal L_{\mathrm{matter}} | |
| 658 | )] | |
| 659 | ||
| 660 | 이다. | |
| 661 | ||
| 662 | 단, 비최소 결합 [math(R\phi^2)], 고차미분 물질장, spin connection을 통한 스피너 결합처럼 계량의 미분 또는 vierbein에 의존하는 경우에는 위의 단순 공식만으로는 부족하고 전체 변분 정의를 사용해야 한다. | |
| 663 | ||
| 664 | 전체 작용량의 계량 변분은 | |
| 665 | ||
| 666 | [math( | |
| r1 (새 문서) | 667 | \delta S |
| r2 | 668 | |
| 669 | \frac12 | |
| r1 (새 문서) | 670 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| r2 | 671 | \left[ |
| 672 | \frac{1}{\kappa} | |
| r1 (새 문서) | 673 | \left( |
| 674 | G_{\mu\nu} | |
| 675 | + | |
| 676 | \Lambda g_{\mu\nu} | |
| 677 | \right) | |
| r2 | 678 | |
| 679 | T_{\mu\nu} | |
| 680 | \right]\delta g^{\mu\nu} | |
| r1 (새 문서) | 681 | )] |
| 682 | ||
| r2 | 683 | 이다. |
| r1 (새 문서) | 684 | |
| r2 | 685 | 임의의 [math(\delta g^{\mu\nu})]에 대해 [math(\delta S=0)]이면 |
| 686 | ||
| r1 (새 문서) | 687 | [math( |
| 688 | G_{\mu\nu} | |
| 689 | + | |
| 690 | \Lambda g_{\mu\nu} | |
| r2 | 691 | |
| r1 (새 문서) | 692 | \kappa T_{\mu\nu} |
| 693 | )] | |
| 694 | ||
| r2 | 695 | 이다. |
| r1 (새 문서) | 696 | |
| r2 | 697 | trace를 취하면 4차원에서 |
| 698 | ||
| 699 | [math( | |
| 700 | -R+4\Lambda | |
| 701 | ||
| 702 | \kappa T | |
| 703 | )] | |
| 704 | ||
| 705 | 즉, | |
| 706 | ||
| 707 | [math( | |
| 708 | R | |
| 709 | ||
| 710 | 4\Lambda-\kappa T | |
| 711 | )] | |
| 712 | ||
| 713 | 이다. | |
| 714 | ||
| 715 | 우주상수가 없으면 | |
| 716 | ||
| 717 | [math( | |
| 718 | R=-\kappa T | |
| 719 | )] | |
| 720 | ||
| 721 | 이다. | |
| 722 | ||
| 723 | 이때 Einstein 방정식은 trace-reversed form으로도 쓸 수 있다. | |
| 724 | ||
| 725 | [math( | |
| 726 | R_{\mu\nu} | |
| 727 | ||
| 728 | \kappa | |
| 729 | \left( | |
| 730 | T_{\mu\nu} | |
| 731 | ||
| 732 | \frac12 g_{\mu\nu}T | |
| 733 | \right) | |
| 734 | + | |
| 735 | \Lambda g_{\mu\nu} | |
| 736 | )] | |
| 737 | ||
| r1 (새 문서) | 738 | == 실수 스칼라장 == |
| 739 | ||
| 740 | === 최소 결합 스칼라장 === | |
| 741 | ||
| 742 | 실수 스칼라장 [math(\phi)]의 최소 결합 작용량은 | |
| 743 | ||
| 744 | [math( | |
| 745 | S_\phi | |
| r2 | 746 | |
| r1 (새 문서) | 747 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 748 | \left[ | |
| r2 | 749 | -\frac12 g^{\mu\nu}\nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi |
| 750 | ||
| r1 (새 문서) | 751 | V(\phi) |
| 752 | \right] | |
| 753 | )] | |
| 754 | ||
| 755 | 이다. | |
| 756 | ||
| 757 | 스칼라장에 대해서는 | |
| 758 | ||
| 759 | [math( | |
| 760 | \nabla_\mu\phi=\partial_\mu\phi | |
| 761 | )] | |
| 762 | ||
| 763 | 이다. | |
| 764 | ||
| r2 | 765 | Euler-Lagrange 방정식은 |
| r1 (새 문서) | 766 | |
| 767 | [math( | |
| 768 | \Box\phi | |
| r2 | 769 | |
| r1 (새 문서) | 770 | \frac{dV}{d\phi} |
| r2 | 771 | |
| r1 (새 문서) | 772 | 0 |
| 773 | )] | |
| 774 | ||
| 775 | 이다. | |
| 776 | ||
| 777 | 여기서 | |
| 778 | ||
| 779 | [math( | |
| 780 | \Box\phi | |
| r2 | 781 | |
| r1 (새 문서) | 782 | \nabla_\mu\nabla^\mu\phi |
| r2 | 783 | |
| r1 (새 문서) | 784 | \frac{1}{\sqrt{-g}} |
| 785 | \partial_\mu | |
| 786 | \left( | |
| 787 | \sqrt{-g}g^{\mu\nu}\partial_\nu\phi | |
| 788 | \right) | |
| 789 | )] | |
| 790 | ||
| 791 | 이다. | |
| 792 | ||
| 793 | 에너지-운동량 텐서는 | |
| 794 | ||
| 795 | [math( | |
| 796 | T_{\mu\nu}^{(\phi)} | |
| r2 | 797 | |
| r1 (새 문서) | 798 | \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi |
| r2 | 799 | |
| 800 | \frac12 g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi | |
| 801 | ||
| r1 (새 문서) | 802 | g_{\mu\nu}V(\phi) |
| 803 | )] | |
| 804 | ||
| 805 | 이다. | |
| 806 | ||
| r2 | 807 | trace는 4차원에서 |
| 808 | ||
| 809 | [math( | |
| 810 | T^{(\phi)} | |
| 811 | ||
| 812 | -\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi | |
| 813 | ||
| 814 | 4V(\phi) | |
| 815 | )] | |
| 816 | ||
| 817 | 이다. | |
| 818 | ||
| r1 (새 문서) | 819 | === 질량항과 자기상호작용 === |
| 820 | ||
| 821 | 대표적인 퍼텐셜은 | |
| 822 | ||
| 823 | [math( | |
| 824 | V(\phi) | |
| r2 | 825 | |
| 826 | \frac12 m^2\phi^2 | |
| r1 (새 문서) | 827 | + |
| 828 | \frac{\lambda}{4!}\phi^4 | |
| 829 | )] | |
| 830 | ||
| 831 | 이다. | |
| 832 | ||
| 833 | 운동방정식은 | |
| 834 | ||
| 835 | [math( | |
| 836 | \Box\phi | |
| r2 | 837 | |
| r1 (새 문서) | 838 | m^2\phi |
| r2 | 839 | |
| r1 (새 문서) | 840 | \frac{\lambda}{3!}\phi^3 |
| r2 | 841 | |
| r1 (새 문서) | 842 | 0 |
| 843 | )] | |
| 844 | ||
| 845 | 이다. | |
| 846 | ||
| r2 | 847 | 평탄공간 극한에서 [math(\Box=-\partial_t^2+\nabla^2)]이므로 자유 massive scalar의 방정식은 |
| 848 | ||
| 849 | [math( | |
| 850 | (\Box-m^2)\phi=0 | |
| 851 | )] | |
| 852 | ||
| 853 | 이다. | |
| 854 | ||
| 855 | 이는 [math((-+++))] 부호에서 Klein-Gordon 방정식의 표준 형태이다. | |
| 856 | ||
| r1 (새 문서) | 857 | === 비최소 결합 스칼라장 === |
| 858 | ||
| 859 | 곡률과 직접 결합하는 스칼라장 작용량은 | |
| 860 | ||
| 861 | [math( | |
| 862 | S_\phi | |
| r2 | 863 | |
| r1 (새 문서) | 864 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 865 | \left[ | |
| r2 | 866 | -\frac12\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi |
| 867 | ||
| r1 (새 문서) | 868 | V(\phi) |
| r2 | 869 | |
| 870 | \frac12\xi R\phi^2 | |
| r1 (새 문서) | 871 | \right] |
| 872 | )] | |
| 873 | ||
| 874 | 이다. | |
| 875 | ||
| r2 | 876 | 스칼라장 방정식은 |
| r1 (새 문서) | 877 | |
| 878 | [math( | |
| 879 | \Box\phi | |
| r2 | 880 | |
| 881 | V'(\phi) | |
| 882 | ||
| r1 (새 문서) | 883 | \xi R\phi |
| r2 | 884 | |
| r1 (새 문서) | 885 | 0 |
| 886 | )] | |
| 887 | ||
| 888 | 이다. | |
| 889 | ||
| 890 | 에너지-운동량 텐서는 | |
| 891 | ||
| 892 | [math( | |
| 893 | T_{\mu\nu}^{(\phi,\xi)} | |
| r2 | 894 | |
| r1 (새 문서) | 895 | \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi |
| r2 | 896 | |
| 897 | \frac12g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi | |
| 898 | ||
| r1 (새 문서) | 899 | g_{\mu\nu}V(\phi) |
| 900 | + | |
| 901 | \xi | |
| 902 | \left[ | |
| 903 | G_{\mu\nu}\phi^2 | |
| 904 | + | |
| 905 | g_{\mu\nu}\Box(\phi^2) | |
| r2 | 906 | |
| r1 (새 문서) | 907 | \nabla_\mu\nabla_\nu(\phi^2) |
| 908 | \right] | |
| 909 | )] | |
| 910 | ||
| 911 | 이다. | |
| 912 | ||
| r2 | 913 | 이 표현에는 [math(G_{\mu\nu}\phi^2)] 항이 포함되어 있으므로 Einstein 방정식에 대입하면 |
| 914 | ||
| 915 | [math( | |
| 916 | \left( | |
| 917 | \frac{1}{\kappa} | |
| 918 | ||
| 919 | \xi\phi^2 | |
| 920 | \right)G_{\mu\nu} | |
| 921 | + | |
| 922 | \frac{\Lambda}{\kappa}g_{\mu\nu} | |
| 923 | ||
| 924 | T_{\mu\nu}^{(\mathrm{minimal\ part})} | |
| 925 | + | |
| 926 | \xi | |
| 927 | \left[ | |
| 928 | g_{\mu\nu}\Box(\phi^2) | |
| 929 | ||
| 930 | \nabla_\mu\nabla_\nu(\phi^2) | |
| 931 | \right] | |
| 932 | )] | |
| 933 | ||
| 934 | 처럼 [math(G_{\mu\nu})] 항을 좌변으로 옮겨 쓰기도 한다. | |
| 935 | ||
| r1 (새 문서) | 936 | [math(D)]차원에서 conformal coupling은 |
| 937 | ||
| 938 | [math( | |
| 939 | \xi_{\mathrm{conf}} | |
| r2 | 940 | |
| r1 (새 문서) | 941 | \frac{D-2}{4(D-1)} |
| 942 | )] | |
| 943 | ||
| 944 | 이다. | |
| 945 | ||
| r2 | 946 | 4차원에서는 |
| r1 (새 문서) | 947 | |
| 948 | [math( | |
| r2 | 949 | \xi_{\mathrm{conf}} |
| 950 | ||
| 951 | \frac16 | |
| r1 (새 문서) | 952 | )] |
| 953 | ||
| 954 | 이다. | |
| 955 | ||
| 956 | == 복소 스칼라장 == | |
| 957 | ||
| 958 | 복소 스칼라장 [math(\Phi)]의 작용량은 | |
| 959 | ||
| 960 | [math( | |
| 961 | S_\Phi | |
| r2 | 962 | |
| r1 (새 문서) | 963 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 964 | \left[ | |
| r2 | 965 | |
| r1 (새 문서) | 966 | g^{\mu\nu}\nabla_\mu\Phi^\ast\nabla_\nu\Phi |
| r2 | 967 | |
| r1 (새 문서) | 968 | V(|\Phi|^2) |
| 969 | \right] | |
| 970 | )] | |
| 971 | ||
| 972 | 이다. | |
| 973 | ||
| r2 | 974 | [math(\Phi)]와 [math(\Phi^\ast)]를 독립장으로 취급하면 운동방정식은 |
| r1 (새 문서) | 975 | |
| 976 | [math( | |
| 977 | \Box\Phi | |
| r2 | 978 | |
| 979 | \frac{\partial V}{\partial\Phi^\ast} | |
| 980 | ||
| r1 (새 문서) | 981 | 0 |
| 982 | )] | |
| 983 | ||
| 984 | [math( | |
| 985 | \Box\Phi^\ast | |
| r2 | 986 | |
| 987 | \frac{\partial V}{\partial\Phi} | |
| 988 | ||
| r1 (새 문서) | 989 | 0 |
| 990 | )] | |
| 991 | ||
| 992 | 이다. | |
| 993 | ||
| r2 | 994 | 전역 [math(U(1))] 대칭 |
| r1 (새 문서) | 995 | |
| 996 | [math( | |
| 997 | \Phi\mapsto e^{i\alpha}\Phi | |
| 998 | )] | |
| 999 | ||
| r2 | 1000 | 에 대한 Noether 전류는 |
| r1 (새 문서) | 1001 | |
| 1002 | [math( | |
| 1003 | j^\mu | |
| r2 | 1004 | |
| r1 (새 문서) | 1005 | -i |
| 1006 | \left( | |
| 1007 | \Phi^\ast\nabla^\mu\Phi | |
| r2 | 1008 | |
| r1 (새 문서) | 1009 | \Phi\nabla^\mu\Phi^\ast |
| 1010 | \right) | |
| 1011 | )] | |
| 1012 | ||
| 1013 | 이다. | |
| 1014 | ||
| 1015 | on-shell에서 | |
| 1016 | ||
| 1017 | [math( | |
| 1018 | \nabla_\mu j^\mu=0 | |
| 1019 | )] | |
| 1020 | ||
| 1021 | 이다. | |
| 1022 | ||
| 1023 | 에너지-운동량 텐서는 | |
| 1024 | ||
| 1025 | [math( | |
| 1026 | T_{\mu\nu}^{(\Phi)} | |
| r2 | 1027 | |
| r1 (새 문서) | 1028 | \nabla_\mu\Phi^\ast\nabla_\nu\Phi |
| 1029 | + | |
| 1030 | \nabla_\nu\Phi^\ast\nabla_\mu\Phi | |
| r2 | 1031 | |
| r1 (새 문서) | 1032 | g_{\mu\nu} |
| 1033 | \left( | |
| 1034 | \nabla_\rho\Phi^\ast\nabla^\rho\Phi | |
| 1035 | + | |
| 1036 | V(|\Phi|^2) | |
| 1037 | \right) | |
| 1038 | )] | |
| 1039 | ||
| 1040 | 이다. | |
| 1041 | ||
| 1042 | == 전자기장 == | |
| 1043 | ||
| 1044 | === Maxwell 작용량 === | |
| 1045 | ||
| 1046 | 전자기 퍼텐셜 [math(A_\mu)]의 장세기는 | |
| 1047 | ||
| 1048 | [math( | |
| 1049 | F_{\mu\nu} | |
| r2 | 1050 | |
| r1 (새 문서) | 1051 | \nabla_\mu A_\nu |
| r2 | 1052 | |
| r1 (새 문서) | 1053 | \nabla_\nu A_\mu |
| r2 | 1054 | |
| r1 (새 문서) | 1055 | \partial_\mu A_\nu |
| r2 | 1056 | |
| r1 (새 문서) | 1057 | \partial_\nu A_\mu |
| 1058 | )] | |
| 1059 | ||
| 1060 | 이다. | |
| 1061 | ||
| 1062 | Maxwell 작용량은 | |
| 1063 | ||
| 1064 | [math( | |
| 1065 | S_{\mathrm{EM}} | |
| r2 | 1066 | |
| 1067 | -\frac14 | |
| 1068 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}, | |
| r1 (새 문서) | 1069 | F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} |
| 1070 | )] | |
| 1071 | ||
| 1072 | 이다. | |
| 1073 | ||
| 1074 | 외부 전류 [math(J^\mu)]와 결합하면 | |
| 1075 | ||
| 1076 | [math( | |
| 1077 | S_{\mathrm{EM+J}} | |
| r2 | 1078 | |
| r1 (새 문서) | 1079 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 1080 | \left[ | |
| r2 | 1081 | -\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} |
| 1082 | ||
| r1 (새 문서) | 1083 | J^\mu A_\mu |
| 1084 | \right] | |
| 1085 | )] | |
| 1086 | ||
| 1087 | 이다. | |
| 1088 | ||
| r2 | 1089 | [math(A_\mu)]에 대해 변분하면 |
| r1 (새 문서) | 1090 | |
| 1091 | [math( | |
| 1092 | \nabla_\mu F^{\mu\nu} | |
| r2 | 1093 | |
| r1 (새 문서) | 1094 | J^\nu |
| 1095 | )] | |
| 1096 | ||
| r2 | 1097 | 이다. |
| 1098 | ||
| r1 (새 문서) | 1099 | Bianchi 항등식은 |
| 1100 | ||
| 1101 | [math( | |
| 1102 | \nabla_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0 | |
| 1103 | )] | |
| 1104 | ||
| 1105 | 이다. | |
| 1106 | ||
| 1107 | 미분형식으로는 | |
| 1108 | ||
| 1109 | [math( | |
| r2 | 1110 | F=dA |
| 1111 | )] | |
| 1112 | ||
| 1113 | [math( | |
| r1 (새 문서) | 1114 | dF=0 |
| 1115 | )] | |
| 1116 | ||
| r2 | 1117 | [math( |
| 1118 | d\star F=\star J | |
| 1119 | )] | |
| 1120 | ||
| r1 (새 문서) | 1121 | 이다. |
| 1122 | ||
| 1123 | 에너지-운동량 텐서는 | |
| 1124 | ||
| 1125 | [math( | |
| 1126 | T_{\mu\nu}^{(\mathrm{EM})} | |
| r2 | 1127 | |
| r1 (새 문서) | 1128 | F_{\mu\rho}F_\nu{}^\rho |
| r2 | 1129 | |
| 1130 | \frac14g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma} | |
| r1 (새 문서) | 1131 | )] |
| 1132 | ||
| 1133 | 이다. | |
| 1134 | ||
| r2 | 1135 | [math(D)]차원에서 trace는 |
| r1 (새 문서) | 1136 | |
| 1137 | [math( | |
| r2 | 1138 | T^\mu{}_\mu |
| 1139 | ||
| 1140 | \left( | |
| 1141 | 1-\frac{D}{4} | |
| 1142 | \right) | |
| 1143 | F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma} | |
| 1144 | )] | |
| 1145 | ||
| 1146 | 이다. | |
| 1147 | ||
| 1148 | 따라서 [math(D=4)]에서는 | |
| 1149 | ||
| 1150 | [math( | |
| r1 (새 문서) | 1151 | T^\mu{}_\mu=0 |
| 1152 | )] | |
| 1153 | ||
| r2 | 1154 | 이다. |
| 1155 | ||
| r1 (새 문서) | 1156 | === Lorenz gauge === |
| 1157 | ||
| 1158 | Lorenz gauge는 | |
| 1159 | ||
| 1160 | [math( | |
| 1161 | \nabla_\mu A^\mu=0 | |
| 1162 | )] | |
| 1163 | ||
| 1164 | 이다. | |
| 1165 | ||
| r2 | 1166 | 현재 문서의 규약 |
| r1 (새 문서) | 1167 | |
| 1168 | [math( | |
| r2 | 1169 | F_{\mu\nu} |
| 1170 | ||
| 1171 | \nabla_\mu A_\nu-\nabla_\nu A_\mu | |
| 1172 | )] | |
| 1173 | ||
| 1174 | [math( | |
| 1175 | \nabla_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu | |
| 1176 | )] | |
| 1177 | ||
| 1178 | 을 쓰면 | |
| 1179 | ||
| 1180 | [math( | |
| r1 (새 문서) | 1181 | \Box A_\nu |
| r2 | 1182 | |
| r1 (새 문서) | 1183 | R_{\nu\mu}A^\mu |
| r2 | 1184 | |
| 1185 | J_\nu | |
| r1 (새 문서) | 1186 | )] |
| 1187 | ||
| r2 | 1188 | 이다. |
| r1 (새 문서) | 1189 | |
| r2 | 1190 | 단, 일부 문헌은 [math(F_{\mu\nu})] 또는 Maxwell 방정식의 부호를 반대로 정의하므로 우변 부호가 달라질 수 있다. |
| 1191 | ||
| 1192 | === Gauge 대칭 === | |
| 1193 | ||
| 1194 | Maxwell 이론은 gauge 변환 | |
| 1195 | ||
| 1196 | [math( | |
| 1197 | A_\mu | |
| 1198 | \mapsto | |
| 1199 | A_\mu+\nabla_\mu\lambda | |
| 1200 | )] | |
| 1201 | ||
| 1202 | 에 대해 불변이다. | |
| 1203 | ||
| 1204 | 장세기는 변하지 않는다. | |
| 1205 | ||
| 1206 | [math( | |
| 1207 | F_{\mu\nu} | |
| 1208 | \mapsto | |
| 1209 | F_{\mu\nu} | |
| 1210 | )] | |
| 1211 | ||
| 1212 | 전류 보존 | |
| 1213 | ||
| 1214 | [math( | |
| 1215 | \nabla_\mu J^\mu=0 | |
| 1216 | )] | |
| 1217 | ||
| 1218 | 은 Maxwell 방정식의 consistency condition이다. | |
| 1219 | ||
| r1 (새 문서) | 1220 | == 전하를 가진 스칼라장 == |
| 1221 | ||
| 1222 | 복소 스칼라장 [math(\Phi)]가 [math(U(1))] gauge 장 [math(A_\mu)]에 결합하면 | |
| 1223 | ||
| 1224 | [math( | |
| 1225 | D_\mu\Phi | |
| r2 | 1226 | |
| 1227 | (\nabla_\mu-iqA_\mu)\Phi | |
| r1 (새 문서) | 1228 | )] |
| 1229 | ||
| 1230 | 이다. | |
| 1231 | ||
| r2 | 1232 | Gauge 변환은 |
| 1233 | ||
| 1234 | [math( | |
| 1235 | \Phi\mapsto e^{iq\lambda(x)}\Phi | |
| 1236 | )] | |
| 1237 | ||
| 1238 | [math( | |
| 1239 | A_\mu\mapsto A_\mu+\partial_\mu\lambda | |
| 1240 | )] | |
| 1241 | ||
| 1242 | 이다. | |
| 1243 | ||
| r1 (새 문서) | 1244 | 작용량은 |
| 1245 | ||
| 1246 | [math( | |
| 1247 | S | |
| r2 | 1248 | |
| r1 (새 문서) | 1249 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 1250 | \left[ | |
| r2 | 1251 | -\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} |
| 1252 | ||
| r1 (새 문서) | 1253 | g^{\mu\nu}(D_\mu\Phi)^\ast D_\nu\Phi |
| r2 | 1254 | |
| r1 (새 문서) | 1255 | V(|\Phi|^2) |
| 1256 | \right] | |
| 1257 | )] | |
| 1258 | ||
| 1259 | 이다. | |
| 1260 | ||
| 1261 | 스칼라장 방정식은 | |
| 1262 | ||
| 1263 | [math( | |
| 1264 | D_\mu D^\mu\Phi | |
| r2 | 1265 | |
| r1 (새 문서) | 1266 | \frac{\partial V}{\partial\Phi^\ast} |
| r2 | 1267 | |
| r1 (새 문서) | 1268 | 0 |
| 1269 | )] | |
| 1270 | ||
| 1271 | 이다. | |
| 1272 | ||
| 1273 | Gauge 장 방정식은 | |
| 1274 | ||
| 1275 | [math( | |
| r2 | 1276 | \nabla_\mu F^{\mu\nu} |
| 1277 | ||
| 1278 | J^\nu | |
| r1 (새 문서) | 1279 | )] |
| 1280 | ||
| r2 | 1281 | 이고, |
| r1 (새 문서) | 1282 | |
| 1283 | [math( | |
| 1284 | J^\nu | |
| r2 | 1285 | |
| r1 (새 문서) | 1286 | iq |
| 1287 | \left[ | |
| 1288 | \Phi^\ast D^\nu\Phi | |
| r2 | 1289 | |
| r1 (새 문서) | 1290 | \Phi(D^\nu\Phi)^\ast |
| 1291 | \right] | |
| 1292 | )] | |
| 1293 | ||
| 1294 | 이다. | |
| 1295 | ||
| r2 | 1296 | Higgs형 퍼텐셜은 |
| 1297 | ||
| 1298 | [math( | |
| 1299 | V(|\Phi|^2) | |
| 1300 | ||
| 1301 | \lambda | |
| 1302 | \left( | |
| 1303 | |\Phi|^2 | |
| 1304 | ||
| 1305 | \frac{v^2}{2} | |
| 1306 | \right)^2 | |
| 1307 | )] | |
| 1308 | ||
| 1309 | 로 쓴다. | |
| 1310 | ||
| 1311 | 진공에서는 | |
| 1312 | ||
| 1313 | [math( | |
| 1314 | |\Phi|=\frac{v}{\sqrt2} | |
| 1315 | )] | |
| 1316 | ||
| 1317 | 이고, gauge 장은 Higgs mechanism에 의해 질량을 얻는다. | |
| 1318 | ||
| r1 (새 문서) | 1319 | == Yang-Mills 장 == |
| 1320 | ||
| 1321 | 비가환 gauge 군 [math(G)]의 Lie algebra 생성자를 [math(T^a)]라 하자. | |
| 1322 | ||
| 1323 | [math( | |
| 1324 | [T^a,T^b] | |
| r2 | 1325 | |
| r1 (새 문서) | 1326 | if^{abc}T^c |
| 1327 | )] | |
| 1328 | ||
| r2 | 1329 | 정규화는 |
| 1330 | ||
| 1331 | [math( | |
| 1332 | \operatorname{Tr}(T^aT^b) | |
| 1333 | ||
| 1334 | \frac12\delta^{ab} | |
| 1335 | )] | |
| 1336 | ||
| 1337 | 로 둔다. | |
| 1338 | ||
| r1 (새 문서) | 1339 | Gauge 장은 |
| 1340 | ||
| 1341 | [math( | |
| 1342 | A_\mu=A_\mu^aT^a | |
| 1343 | )] | |
| 1344 | ||
| 1345 | 이다. | |
| 1346 | ||
| 1347 | 공변미분은 | |
| 1348 | ||
| 1349 | [math( | |
| 1350 | D_\mu | |
| r2 | 1351 | |
| r1 (새 문서) | 1352 | \nabla_\mu |
| r2 | 1353 | |
| r1 (새 문서) | 1354 | igA_\mu |
| 1355 | )] | |
| 1356 | ||
| 1357 | 이다. | |
| 1358 | ||
| 1359 | 장세기는 | |
| 1360 | ||
| 1361 | [math( | |
| 1362 | F_{\mu\nu} | |
| r2 | 1363 | |
| r1 (새 문서) | 1364 | \frac{i}{g}[D_\mu,D_\nu] |
| r2 | 1365 | |
| r1 (새 문서) | 1366 | \partial_\mu A_\nu |
| r2 | 1367 | |
| r1 (새 문서) | 1368 | \partial_\nu A_\mu |
| r2 | 1369 | |
| r1 (새 문서) | 1370 | ig[A_\mu,A_\nu] |
| 1371 | )] | |
| 1372 | ||
| 1373 | 이다. | |
| 1374 | ||
| 1375 | 성분으로는 | |
| 1376 | ||
| 1377 | [math( | |
| 1378 | F_{\mu\nu}^a | |
| r2 | 1379 | |
| r1 (새 문서) | 1380 | \partial_\mu A_\nu^a |
| r2 | 1381 | |
| r1 (새 문서) | 1382 | \partial_\nu A_\mu^a |
| 1383 | + | |
| 1384 | gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c | |
| 1385 | )] | |
| 1386 | ||
| 1387 | 이다. | |
| 1388 | ||
| 1389 | Yang-Mills 작용량은 | |
| 1390 | ||
| 1391 | [math( | |
| 1392 | S_{\mathrm{YM}} | |
| r2 | 1393 | |
| 1394 | -\frac12 | |
| 1395 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}, | |
| r1 (새 문서) | 1396 | \operatorname{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}) |
| 1397 | )] | |
| 1398 | ||
| 1399 | 이다. | |
| 1400 | ||
| r2 | 1401 | 성분으로 쓰면 |
| r1 (새 문서) | 1402 | |
| 1403 | [math( | |
| r2 | 1404 | S_{\mathrm{YM}} |
| r1 (새 문서) | 1405 | |
| r2 | 1406 | -\frac14 |
| 1407 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}, | |
| r1 (새 문서) | 1408 | F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu} |
| 1409 | )] | |
| 1410 | ||
| 1411 | 이다. | |
| 1412 | ||
| 1413 | 운동방정식은 | |
| 1414 | ||
| 1415 | [math( | |
| 1416 | D_\mu F^{\mu\nu}=0 | |
| 1417 | )] | |
| 1418 | ||
| 1419 | 이다. | |
| 1420 | ||
| 1421 | 성분으로는 | |
| 1422 | ||
| 1423 | [math( | |
| 1424 | \nabla_\mu F^{a\mu\nu} | |
| 1425 | + | |
| 1426 | gf^{abc}A_\mu^bF^{c\mu\nu} | |
| r2 | 1427 | |
| r1 (새 문서) | 1428 | 0 |
| 1429 | )] | |
| 1430 | ||
| 1431 | 이다. | |
| 1432 | ||
| r2 | 1433 | Bianchi 항등식은 |
| 1434 | ||
| 1435 | [math( | |
| 1436 | D_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0 | |
| 1437 | )] | |
| 1438 | ||
| 1439 | 또는 미분형식으로 | |
| 1440 | ||
| 1441 | [math( | |
| 1442 | DF=0 | |
| 1443 | )] | |
| 1444 | ||
| 1445 | 이다. | |
| 1446 | ||
| r1 (새 문서) | 1447 | 에너지-운동량 텐서는 |
| 1448 | ||
| 1449 | [math( | |
| 1450 | T_{\mu\nu}^{(\mathrm{YM})} | |
| r2 | 1451 | |
| r1 (새 문서) | 1452 | F_{\mu\rho}^aF_\nu{}^{a\rho} |
| r2 | 1453 | |
| 1454 | \frac14g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}^aF^{a\rho\sigma} | |
| r1 (새 문서) | 1455 | )] |
| 1456 | ||
| 1457 | 이다. | |
| 1458 | ||
| r2 | 1459 | 4차원 고전 Yang-Mills 이론은 질량항이 없을 때 classically traceless이다. |
| 1460 | ||
| 1461 | [math( | |
| 1462 | T^\mu{}_\mu=0 | |
| 1463 | )] | |
| 1464 | ||
| 1465 | 단, 양자론에서는 trace anomaly가 생길 수 있다. | |
| 1466 | ||
| r1 (새 문서) | 1467 | == Dirac 스피너장 == |
| 1468 | ||
| 1469 | === Vierbein === | |
| 1470 | ||
| r2 | 1471 | 스피너장을 곡률시공간에 결합하려면 vierbein 또는 tetrad가 필요하다. |
| r1 (새 문서) | 1472 | |
| 1473 | [math( | |
| 1474 | g_{\mu\nu} | |
| r2 | 1475 | |
| r1 (새 문서) | 1476 | e_\mu{}^a e_\nu{}^b\eta_{ab} |
| 1477 | )] | |
| 1478 | ||
| 1479 | 역 vierbein은 | |
| 1480 | ||
| 1481 | [math( | |
| r2 | 1482 | e^\mu{}a e\mu{}^b |
| 1483 | ||
| r1 (새 문서) | 1484 | \delta_a{}^b |
| 1485 | )] | |
| 1486 | ||
| 1487 | [math( | |
| r2 | 1488 | e^\mu{}a e\nu{}^a |
| 1489 | ||
| r1 (새 문서) | 1490 | \delta^\mu{}_\nu |
| 1491 | )] | |
| 1492 | ||
| 1493 | 를 만족한다. | |
| 1494 | ||
| 1495 | 곡률공간 gamma matrix는 | |
| 1496 | ||
| 1497 | [math( | |
| 1498 | \gamma^\mu | |
| r2 | 1499 | |
| r1 (새 문서) | 1500 | e^\mu{}_a\gamma^a |
| 1501 | )] | |
| 1502 | ||
| 1503 | 이다. | |
| 1504 | ||
| 1505 | 평탄공간 gamma matrix는 | |
| 1506 | ||
| 1507 | [math( | |
| r2 | 1508 | {\gamma^a,\gamma^b} |
| 1509 | ||
| r1 (새 문서) | 1510 | 2\eta^{ab} |
| 1511 | )] | |
| 1512 | ||
| 1513 | 를 만족한다. | |
| 1514 | ||
| 1515 | 따라서 | |
| 1516 | ||
| 1517 | [math( | |
| r2 | 1518 | {\gamma^\mu,\gamma^\nu} |
| 1519 | ||
| r1 (새 문서) | 1520 | 2g^{\mu\nu} |
| 1521 | )] | |
| 1522 | ||
| 1523 | 이다. | |
| 1524 | ||
| r2 | 1525 | Vierbein 행렬식은 |
| 1526 | ||
| 1527 | [math( | |
| 1528 | e=\det(e_\mu{}^a)=\sqrt{-g} | |
| 1529 | )] | |
| 1530 | ||
| 1531 | 이다. | |
| 1532 | ||
| r1 (새 문서) | 1533 | === Spin connection === |
| 1534 | ||
| 1535 | 스피너 공변미분은 | |
| 1536 | ||
| 1537 | [math( | |
| 1538 | \nabla_\mu\psi | |
| r2 | 1539 | |
| r1 (새 문서) | 1540 | \partial_\mu\psi |
| 1541 | + | |
| r2 | 1542 | \frac14\omega_{\mu ab}\gamma^{ab}\psi |
| r1 (새 문서) | 1543 | )] |
| 1544 | ||
| 1545 | 이다. | |
| 1546 | ||
| 1547 | 여기서 | |
| 1548 | ||
| 1549 | [math( | |
| 1550 | \gamma^{ab} | |
| r2 | 1551 | |
| 1552 | \frac12[\gamma^a,\gamma^b] | |
| r1 (새 문서) | 1553 | )] |
| 1554 | ||
| 1555 | 이다. | |
| 1556 | ||
| r2 | 1557 | adjoint에 대해서는 |
| r1 (새 문서) | 1558 | |
| 1559 | [math( | |
| r2 | 1560 | \nabla_\mu\bar\psi |
| 1561 | ||
| 1562 | \partial_\mu\bar\psi | |
| 1563 | ||
| 1564 | \frac14\omega_{\mu ab}\bar\psi\gamma^{ab} | |
| r1 (새 문서) | 1565 | )] |
| 1566 | ||
| 1567 | 이다. | |
| 1568 | ||
| r2 | 1569 | Spin connection은 tetrad postulate |
| r1 (새 문서) | 1570 | |
| 1571 | [math( | |
| r2 | 1572 | \nabla_\mu e_\nu{}^a |
| 1573 | ||
| 1574 | \partial_\mu e_\nu{}^a | |
| 1575 | ||
| 1576 | \Gamma^\rho_{\mu\nu}e_\rho{}^a | |
| 1577 | + | |
| 1578 | \omega_\mu{}^a{}b e\nu{}^b | |
| 1579 | ||
| 1580 | 0 | |
| r1 (새 문서) | 1581 | )] |
| 1582 | ||
| r2 | 1583 | 로 결정된다. |
| r1 (새 문서) | 1584 | |
| 1585 | === Dirac 작용량 === | |
| 1586 | ||
| r2 | 1587 | 곡률시공간에서 Hermitian form의 Dirac 작용량은 |
| r1 (새 문서) | 1588 | |
| 1589 | [math( | |
| 1590 | S_{\mathrm{Dirac}} | |
| r2 | 1591 | |
| 1592 | \int_{\mathcal M}d^4x,e | |
| r1 (새 문서) | 1593 | \left[ |
| 1594 | \frac{i}{2} | |
| 1595 | \left( | |
| 1596 | \bar\psi\gamma^\mu\nabla_\mu\psi | |
| r2 | 1597 | |
| r1 (새 문서) | 1598 | \nabla_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi |
| 1599 | \right) | |
| r2 | 1600 | |
| r1 (새 문서) | 1601 | m\bar\psi\psi |
| 1602 | \right] | |
| 1603 | )] | |
| 1604 | ||
| 1605 | 이다. | |
| 1606 | ||
| 1607 | 운동방정식은 | |
| 1608 | ||
| 1609 | [math( | |
| 1610 | i\gamma^\mu\nabla_\mu\psi | |
| r2 | 1611 | |
| r1 (새 문서) | 1612 | m\psi |
| r2 | 1613 | |
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| 1615 | )] | |
| 1616 | ||
| 1617 | 이다. | |
| 1618 | ||
| 1619 | adjoint 방정식은 | |
| 1620 | ||
| 1621 | [math( | |
| 1622 | i\nabla_\mu\bar\psi\gamma^\mu | |
| 1623 | + | |
| 1624 | m\bar\psi | |
| r2 | 1625 | |
| r1 (새 문서) | 1626 | 0 |
| 1627 | )] | |
| 1628 | ||
| 1629 | 이다. | |
| 1630 | ||
| 1631 | Gauge 장과 결합하면 | |
| 1632 | ||
| 1633 | [math( | |
| 1634 | D_\mu\psi | |
| r2 | 1635 | |
| r1 (새 문서) | 1636 | \nabla_\mu\psi |
| r2 | 1637 | |
| r1 (새 문서) | 1638 | iqA_\mu\psi |
| 1639 | )] | |
| 1640 | ||
| 1641 | 이다. | |
| 1642 | ||
| 1643 | Dirac 전류는 | |
| 1644 | ||
| 1645 | [math( | |
| 1646 | j^\mu | |
| r2 | 1647 | |
| r1 (새 문서) | 1648 | q\bar\psi\gamma^\mu\psi |
| 1649 | )] | |
| 1650 | ||
| 1651 | 이다. | |
| 1652 | ||
| r2 | 1653 | 스피너의 에너지-운동량 텐서는 vierbein 변분으로 정의하는 것이 가장 자연스럽다. |
| 1654 | ||
| 1655 | [math( | |
| 1656 | T^\mu{}_a | |
| 1657 | ||
| 1658 | -\frac{1}{e} | |
| 1659 | \frac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta e_\mu{}^a} | |
| 1660 | )] | |
| 1661 | ||
| 1662 | 대칭화된 spacetime tensor는 on-shell에서 보통 | |
| 1663 | ||
| 1664 | [math( | |
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| 1666 | ||
| 1667 | \frac{i}{4} | |
| 1668 | \left[ | |
| 1669 | \bar\psi\gamma_{(\mu}\nabla_{\nu)}\psi | |
| 1670 | ||
| 1671 | \nabla_{(\mu}\bar\psi\gamma_{\nu)}\psi | |
| 1672 | \right] | |
| 1673 | )] | |
| 1674 | ||
| 1675 | 형태로 쓴다. 질량항은 방정식을 이용하면 이 대칭화된 표현에 흡수되어 나타난다. | |
| 1676 | ||
| r1 (새 문서) | 1677 | == Proca 장 == |
| 1678 | ||
| 1679 | 질량을 가진 벡터장 [math(A_\mu)]의 작용량은 | |
| 1680 | ||
| 1681 | [math( | |
| 1682 | S_{\mathrm{Proca}} | |
| r2 | 1683 | |
| r1 (새 문서) | 1684 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 1685 | \left[ | |
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| r1 (새 문서) | 1689 | \right] |
| 1690 | )] | |
| 1691 | ||
| 1692 | 이다. | |
| 1693 | ||
| 1694 | 운동방정식은 | |
| 1695 | ||
| 1696 | [math( | |
| 1697 | \nabla_\mu F^{\mu\nu} | |
| r2 | 1698 | |
| r1 (새 문서) | 1699 | m^2A^\nu |
| r2 | 1700 | |
| r1 (새 문서) | 1701 | 0 |
| 1702 | )] | |
| 1703 | ||
| 1704 | 이다. | |
| 1705 | ||
| r2 | 1706 | 발산을 취하면 antisymmetry 때문에 |
| r1 (새 문서) | 1707 | |
| 1708 | [math( | |
| 1709 | m^2\nabla_\nu A^\nu=0 | |
| 1710 | )] | |
| 1711 | ||
| 1712 | 이다. | |
| 1713 | ||
| 1714 | 따라서 [math(m\neq0)]이면 | |
| 1715 | ||
| 1716 | [math( | |
| 1717 | \nabla_\nu A^\nu=0 | |
| 1718 | )] | |
| 1719 | ||
| 1720 | 이다. | |
| 1721 | ||
| r2 | 1722 | 이는 gauge condition이 아니라 운동방정식에서 나오는 constraint이다. |
| 1723 | ||
| r1 (새 문서) | 1724 | 에너지-운동량 텐서는 |
| 1725 | ||
| 1726 | [math( | |
| 1727 | T_{\mu\nu}^{(\mathrm{Proca})} | |
| r2 | 1728 | |
| r1 (새 문서) | 1729 | F_{\mu\rho}F_\nu{}^\rho |
| r2 | 1730 | |
| 1731 | \frac14g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma} | |
| r1 (새 문서) | 1732 | + |
| 1733 | m^2 | |
| 1734 | \left( | |
| 1735 | A_\mu A_\nu | |
| r2 | 1736 | |
| 1737 | \frac12g_{\mu\nu}A_\rho A^\rho | |
| r1 (새 문서) | 1738 | \right) |
| 1739 | )] | |
| 1740 | ||
| 1741 | 이다. | |
| 1742 | ||
| r2 | 1743 | Massless Maxwell 장은 4차원에서 2개의 물리적 자유도를 가지지만, massive Proca 장은 3개의 물리적 자유도를 가진다. |
| 1744 | ||
| r1 (새 문서) | 1745 | == p-form 장 == |
| 1746 | ||
| 1747 | [math(p)]-form gauge potential을 | |
| 1748 | ||
| 1749 | [math( | |
| 1750 | A_p | |
| r2 | 1751 | |
| r1 (새 문서) | 1752 | \frac{1}{p!} |
| 1753 | A_{\mu_1\cdots\mu_p} | |
| 1754 | dx^{\mu_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\mu_p} | |
| 1755 | )] | |
| 1756 | ||
| 1757 | 라 하자. | |
| 1758 | ||
| 1759 | 장세기는 | |
| 1760 | ||
| 1761 | [math( | |
| 1762 | F_{p+1}=dA_p | |
| 1763 | )] | |
| 1764 | ||
| 1765 | 이다. | |
| 1766 | ||
| 1767 | 성분으로는 | |
| 1768 | ||
| 1769 | [math( | |
| 1770 | F_{\mu_0\mu_1\cdots\mu_p} | |
| r2 | 1771 | |
| r1 (새 문서) | 1772 | (p+1)\partial_{[\mu_0}A_{\mu_1\cdots\mu_p]} |
| 1773 | )] | |
| 1774 | ||
| 1775 | 이다. | |
| 1776 | ||
| r2 | 1777 | 작용량은 [math(D)]차원에서 |
| r1 (새 문서) | 1778 | |
| 1779 | [math( | |
| 1780 | S_p | |
| r2 | 1781 | |
| 1782 | -\frac{1}{2(p+1)!} | |
| 1783 | \int_{\mathcal M}d^Dx\sqrt{-g}, | |
| r1 (새 문서) | 1784 | F_{\mu_1\cdots\mu_{p+1}} |
| 1785 | F^{\mu_1\cdots\mu_{p+1}} | |
| 1786 | )] | |
| 1787 | ||
| 1788 | 이다. | |
| 1789 | ||
| 1790 | 운동방정식은 | |
| 1791 | ||
| 1792 | [math( | |
| 1793 | \nabla_{\mu_1} | |
| 1794 | F^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{p+1}} | |
| r2 | 1795 | |
| r1 (새 문서) | 1796 | 0 |
| 1797 | )] | |
| 1798 | ||
| 1799 | 이다. | |
| 1800 | ||
| 1801 | 미분형식으로는 | |
| 1802 | ||
| 1803 | [math( | |
| 1804 | d\star F_{p+1}=0 | |
| 1805 | )] | |
| 1806 | ||
| 1807 | 이다. | |
| 1808 | ||
| 1809 | Bianchi 항등식은 | |
| 1810 | ||
| 1811 | [math( | |
| 1812 | dF_{p+1}=0 | |
| 1813 | )] | |
| 1814 | ||
| 1815 | 이다. | |
| 1816 | ||
| r2 | 1817 | Gauge 대칭은 |
| 1818 | ||
| 1819 | [math( | |
| 1820 | A_p | |
| 1821 | \mapsto | |
| 1822 | A_p+d\Lambda_{p-1} | |
| 1823 | )] | |
| 1824 | ||
| 1825 | 이다. | |
| 1826 | ||
| r1 (새 문서) | 1827 | 에너지-운동량 텐서는 |
| 1828 | ||
| 1829 | [math( | |
| 1830 | T_{\mu\nu}^{(p)} | |
| r2 | 1831 | |
| r1 (새 문서) | 1832 | \frac{1}{p!} |
| 1833 | F_{\mu\alpha_1\cdots\alpha_p} | |
| 1834 | F_\nu{}^{\alpha_1\cdots\alpha_p} | |
| r2 | 1835 | |
| r1 (새 문서) | 1836 | \frac{1}{2(p+1)!}g_{\mu\nu} |
| 1837 | F_{\alpha_0\cdots\alpha_p} | |
| 1838 | F^{\alpha_0\cdots\alpha_p} | |
| 1839 | )] | |
| 1840 | ||
| 1841 | 이다. | |
| 1842 | ||
| 1843 | == 완전유체 == | |
| 1844 | ||
| 1845 | 완전유체의 에너지-운동량 텐서는 | |
| 1846 | ||
| 1847 | [math( | |
| 1848 | T_{\mu\nu} | |
| r2 | 1849 | |
| r1 (새 문서) | 1850 | (\rho+p)u_\mu u_\nu |
| 1851 | + | |
| 1852 | pg_{\mu\nu} | |
| 1853 | )] | |
| 1854 | ||
| 1855 | 이다. | |
| 1856 | ||
| 1857 | 여기서 | |
| 1858 | ||
| 1859 | [math( | |
| 1860 | u_\mu u^\mu=-1 | |
| 1861 | )] | |
| 1862 | ||
| 1863 | 이다. | |
| 1864 | ||
| 1865 | 보존방정식은 | |
| 1866 | ||
| 1867 | [math( | |
| 1868 | \nabla_\mu T^{\mu\nu}=0 | |
| 1869 | )] | |
| 1870 | ||
| 1871 | 이다. | |
| 1872 | ||
| r2 | 1873 | [math(u_\nu)] 방향으로 사영하면 에너지 보존식을 얻는다. |
| r1 (새 문서) | 1874 | |
| 1875 | [math( | |
| 1876 | u^\mu\nabla_\mu\rho | |
| 1877 | + | |
| 1878 | (\rho+p)\nabla_\mu u^\mu | |
| r2 | 1879 | |
| r1 (새 문서) | 1880 | 0 |
| 1881 | )] | |
| 1882 | ||
| 1883 | 공간 투영텐서를 | |
| 1884 | ||
| 1885 | [math( | |
| 1886 | P_{\mu\nu} | |
| r2 | 1887 | |
| r1 (새 문서) | 1888 | g_{\mu\nu} |
| 1889 | + | |
| 1890 | u_\mu u_\nu | |
| 1891 | )] | |
| 1892 | ||
| 1893 | 라 하면 Euler 방정식은 | |
| 1894 | ||
| 1895 | [math( | |
| 1896 | (\rho+p)u^\mu\nabla_\mu u_\alpha | |
| 1897 | + | |
| 1898 | P_\alpha{}^\mu\nabla_\mu p | |
| r2 | 1899 | |
| r1 (새 문서) | 1900 | 0 |
| 1901 | )] | |
| 1902 | ||
| 1903 | 이다. | |
| 1904 | ||
| r2 | 1905 | 상태방정식은 보통 |
| r1 (새 문서) | 1906 | |
| 1907 | [math( | |
| r2 | 1908 | p=w\rho |
| 1909 | )] | |
| 1910 | ||
| 1911 | 로 둔다. | |
| 1912 | ||
| 1913 | 대표적인 경우는 | |
| 1914 | ||
| 1915 | [math( | |
| 1916 | w=0 | |
| 1917 | )] | |
| 1918 | ||
| 1919 | 인 먼지, | |
| 1920 | ||
| 1921 | [math( | |
| 1922 | w=\frac13 | |
| 1923 | )] | |
| 1924 | ||
| 1925 | 인 복사, | |
| 1926 | ||
| 1927 | [math( | |
| 1928 | w=-1 | |
| 1929 | )] | |
| 1930 | ||
| 1931 | 인 우주상수형 유체이다. | |
| 1932 | ||
| 1933 | 현상론적으로는 | |
| 1934 | ||
| 1935 | [math( | |
| r1 (새 문서) | 1936 | S_{\mathrm{fluid}} |
| r2 | 1937 | |
| 1938 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}, | |
| r1 (새 문서) | 1939 | \mathcal L_{\mathrm{fluid}} |
| 1940 | )] | |
| 1941 | ||
| 1942 | 로 쓸 수 있다. | |
| 1943 | ||
| r2 | 1944 | 특정 조건에서는 on-shell에서 |
| r1 (새 문서) | 1945 | |
| 1946 | [math( | |
| 1947 | \mathcal L_{\mathrm{fluid}}=p | |
| 1948 | )] | |
| 1949 | ||
| r2 | 1950 | 로 둘 수 있지만, 완전한 변분 원리에는 입자수 보존, 엔트로피 보존, Clebsch potential, 유체 좌표 등의 제약조건이 필요하다. |
| r1 (새 문서) | 1951 | |
| 1952 | == 점입자 작용량 == | |
| 1953 | ||
| 1954 | 질량 [math(m)]을 가진 자유 점입자의 작용량은 | |
| 1955 | ||
| 1956 | [math( | |
| 1957 | S_{\mathrm{particle}} | |
| r2 | 1958 | |
| r1 (새 문서) | 1959 | -m\int d\tau |
| 1960 | )] | |
| 1961 | ||
| 1962 | 이다. | |
| 1963 | ||
| 1964 | 일반 매개변수 [math(\lambda)]를 쓰면 | |
| 1965 | ||
| 1966 | [math( | |
| 1967 | S_{\mathrm{particle}} | |
| r2 | 1968 | |
| r1 (새 문서) | 1969 | -m |
| 1970 | \int d\lambda | |
| 1971 | \sqrt{ | |
| r2 | 1972 | |
| r1 (새 문서) | 1973 | g_{\mu\nu}(x) |
| 1974 | \frac{dx^\mu}{d\lambda} | |
| 1975 | \frac{dx^\nu}{d\lambda} | |
| 1976 | } | |
| 1977 | )] | |
| 1978 | ||
| 1979 | 이다. | |
| 1980 | ||
| 1981 | 변분하면 측지선 방정식을 얻는다. | |
| 1982 | ||
| 1983 | [math( | |
| 1984 | \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} | |
| 1985 | + | |
| 1986 | \Gamma^\mu_{\rho\sigma} | |
| 1987 | \frac{dx^\rho}{d\tau} | |
| 1988 | \frac{dx^\sigma}{d\tau} | |
| r2 | 1989 | |
| r1 (새 문서) | 1990 | 0 |
| 1991 | )] | |
| 1992 | ||
| 1993 | 전자기장과 결합한 전하 [math(q)]의 점입자 작용량은 | |
| 1994 | ||
| 1995 | [math( | |
| 1996 | S | |
| r2 | 1997 | |
| r1 (새 문서) | 1998 | -m\int d\tau |
| 1999 | + | |
| 2000 | q\int A_\mu dx^\mu | |
| 2001 | )] | |
| 2002 | ||
| 2003 | 이다. | |
| 2004 | ||
| 2005 | 운동방정식은 Lorentz force 법칙이다. | |
| 2006 | ||
| 2007 | [math( | |
| 2008 | m | |
| 2009 | \left( | |
| 2010 | \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} | |
| 2011 | + | |
| 2012 | \Gamma^\mu_{\rho\sigma} | |
| 2013 | \frac{dx^\rho}{d\tau} | |
| 2014 | \frac{dx^\sigma}{d\tau} | |
| 2015 | \right) | |
| r2 | 2016 | |
| r1 (새 문서) | 2017 | qF^\mu{}_\nu |
| 2018 | \frac{dx^\nu}{d\tau} | |
| 2019 | )] | |
| 2020 | ||
| r2 | 2021 | 세계선 재매개변수 불변성을 명확히 하려면 einbein [math(e(\lambda))]을 도입하여 |
| 2022 | ||
| 2023 | [math( | |
| 2024 | S | |
| 2025 | ||
| 2026 | \frac12 | |
| 2027 | \int d\lambda | |
| 2028 | \left[ | |
| 2029 | e^{-1}g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu | |
| 2030 | ||
| 2031 | em^2 | |
| 2032 | \right] | |
| 2033 | )] | |
| 2034 | ||
| 2035 | 로 쓸 수도 있다. [math(e)]를 제거하면 위의 Nambu-Goto형 점입자 작용량과 동등하다. | |
| 2036 | ||
| r1 (새 문서) | 2037 | == FLRW 우주론에서의 작용량 == |
| 2038 | ||
| 2039 | FLRW 계량은 | |
| 2040 | ||
| 2041 | [math( | |
| 2042 | ds^2 | |
| r2 | 2043 | |
| 2044 | - | |
| 2045 | ||
| r1 (새 문서) | 2046 | N(t)^2dt^2 |
| 2047 | + | |
| 2048 | a(t)^2 | |
| 2049 | \left[ | |
| 2050 | \frac{dr^2}{1-kr^2} | |
| 2051 | + | |
| 2052 | r^2d\Omega_2^2 | |
| 2053 | \right] | |
| 2054 | )] | |
| 2055 | ||
| 2056 | 이다. | |
| 2057 | ||
| r2 | 2058 | 여기서 |
| 2059 | ||
| 2060 | * | |
| 2061 | * [math(a(t))]: scale factor | |
| 2062 | * [math(k=+1,0,-1)]: 공간 곡률 | |
| 2063 | * [math(V_0)]: comoving 공간 부피 | |
| 2064 | ||
| r1 (새 문서) | 2065 | 평탄한 경우 [math(k=0)]이면 |
| 2066 | ||
| 2067 | [math( | |
| 2068 | ds^2 | |
| r2 | 2069 | |
| 2070 | - | |
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| r1 (새 문서) | 2072 | N(t)^2dt^2 |
| 2073 | + | |
| 2074 | a(t)^2\delta_{ij}dx^idx^j | |
| 2075 | )] | |
| 2076 | ||
| 2077 | 이다. | |
| 2078 | ||
| r2 | 2079 | 부분적분과 GHY 처리를 마친 중력 minisuperspace 작용량은 |
| r1 (새 문서) | 2080 | |
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| r2 | 2091 | |
| r1 (새 문서) | 2092 | \frac{\Lambda}{3}Na^3 |
| 2093 | \right] | |
| 2094 | )] | |
| 2095 | ||
| 2096 | 이다. | |
| 2097 | ||
| 2098 | 균질 스칼라장 [math(\phi(t))]의 작용량은 | |
| 2099 | ||
| 2100 | [math( | |
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| r1 (새 문서) | 2103 | V_0 |
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| r1 (새 문서) | 2109 | V(\phi) |
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| 2111 | )] | |
| 2112 | ||
| 2113 | 이다. | |
| 2114 | ||
| 2115 | 전체 minisuperspace 작용량은 | |
| 2116 | ||
| 2117 | [math( | |
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| r2 | 2135 | |
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| 2137 | \right) | |
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| 2139 | )] | |
| 2140 | ||
| 2141 | 이다. | |
| 2142 | ||
| r2 | 2143 | Lapse "math(N)" (lapse)을 남겨둔 경우 Hubble 변수는 |
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| r2 | 2146 | H_N |
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| 2150 | ||
| 2151 | 이다. | |
| 2152 | ||
| 2153 | "math(N)" (lapse)에 대한 변분은 Friedmann constraint를 준다. | |
| 2154 | ||
| 2155 | [math( | |
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| r1 (새 문서) | 2160 | \frac{\kappa}{3}\rho |
| 2161 | + | |
| 2162 | \frac{\Lambda}{3} | |
| 2163 | )] | |
| 2164 | ||
| r2 | 2165 | 여기서 균질 스칼라장의 에너지 밀도와 압력은 |
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| 2167 | [math( | |
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| 2169 | ||
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| 2174 | ||
| r2 | 2175 | [math( |
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| 2182 | ||
| r1 (새 문서) | 2183 | 이다. |
| 2184 | ||
| r2 | 2185 | Cosmic time gauge [math(N=1)]에서는 |
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| 2187 | [math( | |
| r2 | 2188 | H=\frac{\dot a}{a} |
| 2189 | )] | |
| 2190 | ||
| 2191 | 이고, | |
| 2192 | ||
| 2193 | [math( | |
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| r2 | 2195 | |
| 2196 | \frac12\dot\phi^2+V(\phi) | |
| r1 (새 문서) | 2197 | )] |
| 2198 | ||
| 2199 | [math( | |
| 2200 | p_\phi | |
| r2 | 2201 | |
| 2202 | \frac12\dot\phi^2-V(\phi) | |
| r1 (새 문서) | 2203 | )] |
| 2204 | ||
| 2205 | 이다. | |
| 2206 | ||
| r2 | 2207 | 스칼라장 방정식은 [math(N=1)]에서 |
| r1 (새 문서) | 2208 | |
| 2209 | [math( | |
| 2210 | \ddot\phi | |
| 2211 | + | |
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| 2213 | + | |
| r2 | 2214 | V'(\phi) |
| 2215 | ||
| r1 (새 문서) | 2216 | 0 |
| 2217 | )] | |
| 2218 | ||
| 2219 | 이다. | |
| 2220 | ||
| r2 | 2221 | 가속도 방정식은 |
| 2222 | ||
| 2223 | [math( | |
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| 2230 | ||
| 2231 | 이다. | |
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| 2239 | )] | |
| 2240 | ||
| 2241 | 이다. | |
| 2242 | ||
| r1 (새 문서) | 2243 | == ADM 분해 == |
| 2244 | ||
| 2245 | ADM 형식에서 계량은 | |
| 2246 | ||
| 2247 | [math( | |
| 2248 | ds^2 | |
| r2 | 2249 | |
| 2250 | - | |
| 2251 | ||
| r1 (새 문서) | 2252 | N^2dt^2 |
| 2253 | + | |
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| r1 (새 문서) | 2257 | )] |
| 2258 | ||
| 2259 | 이다. | |
| 2260 | ||
| 2261 | 여기서 | |
| 2262 | ||
| r2 | 2263 | * |
| 2264 | * | |
| 2265 | * [math(h_{ij})]: 공간 3-계량 | |
| r1 (새 문서) | 2266 | |
| r2 | 2267 | 단위 시간법선은 |
| r1 (새 문서) | 2268 | |
| 2269 | [math( | |
| r2 | 2270 | n_\mu=(-N,0,0,0) |
| 2271 | )] | |
| 2272 | ||
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| 2279 | ||
| 2280 | 이고, | |
| 2281 | ||
| 2282 | [math( | |
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| 2284 | )] | |
| 2285 | ||
| 2286 | 이다. | |
| 2287 | ||
| 2288 | 외재곡률은 이 문서의 ADM 부호 규약에서 | |
| 2289 | ||
| 2290 | [math( | |
| r1 (새 문서) | 2291 | K_{ij} |
| r2 | 2292 | |
| r1 (새 문서) | 2293 | \frac{1}{2N} |
| 2294 | \left( | |
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| r2 | 2296 | |
| r1 (새 문서) | 2297 | D_iN_j |
| r2 | 2298 | |
| r1 (새 문서) | 2299 | D_jN_i |
| 2300 | \right) | |
| 2301 | )] | |
| 2302 | ||
| 2303 | 이다. | |
| 2304 | ||
| 2305 | ADM 중력 작용량은 | |
| 2306 | ||
| 2307 | [math( | |
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| r2 | 2309 | |
| r1 (새 문서) | 2310 | \frac{1}{2\kappa} |
| r2 | 2311 | \int dt,d^3x, |
| r1 (새 문서) | 2312 | N\sqrt h |
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| r1 (새 문서) | 2318 | K^2 |
| r2 | 2319 | |
| r1 (새 문서) | 2320 | 2\Lambda |
| 2321 | \right) | |
| 2322 | )] | |
| 2323 | ||
| 2324 | 이다. | |
| 2325 | ||
| 2326 | 켤레운동량은 | |
| 2327 | ||
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| r1 (새 문서) | 2331 | \frac{\sqrt h}{2\kappa} |
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| 2338 | ||
| 2339 | 이다. | |
| 2340 | ||
| r2 | 2341 | 그 trace는 |
| 2342 | ||
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| 2349 | 이다. | |
| 2350 | ||
| r1 (새 문서) | 2351 | Hamiltonian constraint는 |
| 2352 | ||
| 2353 | [math( | |
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| r1 (새 문서) | 2356 | \frac{2\kappa}{\sqrt h} |
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| r1 (새 문서) | 2361 | \right) |
| r2 | 2362 | |
| r1 (새 문서) | 2363 | \frac{\sqrt h}{2\kappa} |
| 2364 | \left( | |
| 2365 | {}^{(3)}R | |
| r2 | 2366 | |
| r1 (새 문서) | 2367 | 2\Lambda |
| 2368 | \right) | |
| 2369 | + | |
| 2370 | \mathcal H_{\mathrm{matter}} | |
| r2 | 2371 | |
| r1 (새 문서) | 2372 | 0 |
| 2373 | )] | |
| 2374 | ||
| 2375 | 이다. | |
| 2376 | ||
| 2377 | Momentum constraint는 | |
| 2378 | ||
| 2379 | [math( | |
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| r2 | 2381 | |
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| r1 (새 문서) | 2383 | + |
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| 2385 | ||
| r1 (새 문서) | 2386 | 0 |
| 2387 | )] | |
| 2388 | ||
| 2389 | 이다. | |
| 2390 | ||
| 2391 | 전체 Hamiltonian은 | |
| 2392 | ||
| 2393 | [math( | |
| 2394 | H | |
| r2 | 2395 | |
| r1 (새 문서) | 2396 | \int d^3x |
| 2397 | \left( | |
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| 2399 | + | |
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| 2401 | \right) | |
| 2402 | + | |
| 2403 | H_{\partial\Sigma} | |
| 2404 | )] | |
| 2405 | ||
| 2406 | 이다. | |
| 2407 | ||
| r2 | 2408 | 닫힌 공간절편에서는 경계 Hamiltonian이 없을 수 있지만, 비콤팩트 점근평탄 시공간에서는 [math(H_{\partial\Sigma})]가 ADM 에너지, 운동량, 각운동량과 연결된다. |
| 2409 | ||
| r1 (새 문서) | 2410 | == Einstein-Maxwell 이론 == |
| 2411 | ||
| 2412 | Einstein-Maxwell 작용량은 | |
| 2413 | ||
| 2414 | [math( | |
| 2415 | S | |
| r2 | 2416 | |
| r1 (새 문서) | 2417 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| r2 | 2418 | \left[ |
| 2419 | \frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda) | |
| 2420 | ||
| 2421 | \frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} | |
| 2422 | \right] | |
| r1 (새 문서) | 2423 | + |
| 2424 | S_{\mathrm{GHY}} | |
| 2425 | )] | |
| 2426 | ||
| 2427 | 이다. | |
| 2428 | ||
| 2429 | 장방정식은 | |
| 2430 | ||
| 2431 | [math( | |
| 2432 | G_{\mu\nu} | |
| 2433 | + | |
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| r2 | 2435 | |
| r1 (새 문서) | 2436 | \kappa |
| 2437 | \left( | |
| 2438 | F_{\mu\rho}F_\nu{}^\rho | |
| r2 | 2439 | |
| 2440 | \frac14g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma} | |
| r1 (새 문서) | 2441 | \right) |
| 2442 | )] | |
| 2443 | ||
| 2444 | [math( | |
| 2445 | \nabla_\mu F^{\mu\nu}=0 | |
| 2446 | )] | |
| 2447 | ||
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| 2450 | )] | |
| 2451 | ||
| 2452 | 이다. | |
| 2453 | ||
| r2 | 2454 | Reissner-Nordström-(A)dS 계량은 |
| r1 (새 문서) | 2455 | |
| 2456 | [math( | |
| 2457 | ds^2 | |
| r2 | 2458 | |
| 2459 | - | |
| 2460 | ||
| r1 (새 문서) | 2461 | f(r)dt^2 |
| 2462 | + | |
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| 2464 | + | |
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| 2466 | )] | |
| 2467 | ||
| 2468 | [math( | |
| 2469 | f(r) | |
| r2 | 2470 | |
| r1 (새 문서) | 2471 | 1 |
| r2 | 2472 | |
| r1 (새 문서) | 2473 | \frac{2GM}{r} |
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| r2 | 2476 | |
| r1 (새 문서) | 2477 | \frac{\Lambda r^2}{3} |
| 2478 | )] | |
| 2479 | ||
| r2 | 2480 | 형태로 쓸 수 있다. |
| r1 (새 문서) | 2481 | |
| r2 | 2482 | 단, [math(Q)] 항의 계수는 전자기장 정규화와 단위계에 따라 달라진다. |
| r1 (새 문서) | 2483 | |
| 2484 | == Einstein-Klein-Gordon 이론 == | |
| 2485 | ||
| 2486 | Einstein-Klein-Gordon 작용량은 | |
| 2487 | ||
| 2488 | [math( | |
| 2489 | S | |
| r2 | 2490 | |
| r1 (새 문서) | 2491 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 2492 | \left[ | |
| r2 | 2493 | \frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda) |
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| 2496 | ||
| r1 (새 문서) | 2497 | V(\phi) |
| 2498 | \right] | |
| 2499 | + | |
| 2500 | S_{\mathrm{GHY}} | |
| 2501 | )] | |
| 2502 | ||
| 2503 | 이다. | |
| 2504 | ||
| 2505 | 장방정식은 | |
| 2506 | ||
| 2507 | [math( | |
| 2508 | G_{\mu\nu} | |
| 2509 | + | |
| 2510 | \Lambda g_{\mu\nu} | |
| r2 | 2511 | |
| r1 (새 문서) | 2512 | \kappa |
| 2513 | \left[ | |
| 2514 | \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi | |
| r2 | 2515 | |
| 2516 | \frac12g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi | |
| 2517 | ||
| r1 (새 문서) | 2518 | g_{\mu\nu}V(\phi) |
| 2519 | \right] | |
| 2520 | )] | |
| 2521 | ||
| 2522 | [math( | |
| 2523 | \Box\phi | |
| r2 | 2524 | |
| r1 (새 문서) | 2525 | V'(\phi) |
| r2 | 2526 | |
| r1 (새 문서) | 2527 | 0 |
| 2528 | )] | |
| 2529 | ||
| 2530 | 이다. | |
| 2531 | ||
| 2532 | == Einstein-Yang-Mills 이론 == | |
| 2533 | ||
| 2534 | Einstein-Yang-Mills 작용량은 | |
| 2535 | ||
| 2536 | [math( | |
| 2537 | S | |
| r2 | 2538 | |
| r1 (새 문서) | 2539 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 2540 | \left[ | |
| r2 | 2541 | \frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda) |
| 2542 | ||
| 2543 | \frac14F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu} | |
| r1 (새 문서) | 2544 | \right] |
| 2545 | + | |
| 2546 | S_{\mathrm{GHY}} | |
| 2547 | )] | |
| 2548 | ||
| 2549 | 이다. | |
| 2550 | ||
| 2551 | 장방정식은 | |
| 2552 | ||
| 2553 | [math( | |
| 2554 | G_{\mu\nu} | |
| 2555 | + | |
| 2556 | \Lambda g_{\mu\nu} | |
| r2 | 2557 | |
| r1 (새 문서) | 2558 | \kappa |
| 2559 | \left[ | |
| 2560 | F_{\mu\rho}^aF_\nu{}^{a\rho} | |
| r2 | 2561 | |
| 2562 | \frac14g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}^aF^{a\rho\sigma} | |
| r1 (새 문서) | 2563 | \right] |
| 2564 | )] | |
| 2565 | ||
| 2566 | [math( | |
| 2567 | D_\mu F^{a\mu\nu}=0 | |
| 2568 | )] | |
| 2569 | ||
| 2570 | 이다. | |
| 2571 | ||
| 2572 | == 곡률 제곱 보정 == | |
| 2573 | ||
| 2574 | 유효장론 또는 고차곡률 중력에서는 다음 항들이 등장한다. | |
| 2575 | ||
| 2576 | [math( | |
| 2577 | S | |
| r2 | 2578 | |
| r1 (새 문서) | 2579 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 2580 | \left[ | |
| r2 | 2581 | \frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda) |
| r1 (새 문서) | 2582 | + |
| 2583 | \alpha R^2 | |
| 2584 | + | |
| 2585 | \beta R_{\mu\nu}R^{\mu\nu} | |
| 2586 | + | |
| 2587 | \gamma R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} | |
| 2588 | \right] | |
| 2589 | )] | |
| 2590 | ||
| r2 | 2591 | 4차원에서 Gauss-Bonnet 조합은 |
| r1 (새 문서) | 2592 | |
| 2593 | [math( | |
| 2594 | \mathcal G | |
| r2 | 2595 | |
| r1 (새 문서) | 2596 | R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} |
| r2 | 2597 | |
| r1 (새 문서) | 2598 | 4R_{\mu\nu}R^{\mu\nu} |
| 2599 | + | |
| 2600 | R^2 | |
| 2601 | )] | |
| 2602 | ||
| 2603 | 이다. | |
| 2604 | ||
| 2605 | 작용량 | |
| 2606 | ||
| 2607 | [math( | |
| 2608 | S_{\mathrm{GB}} | |
| r2 | 2609 | |
| r1 (새 문서) | 2610 | \alpha_{\mathrm{GB}} |
| r2 | 2611 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},\mathcal G |
| r1 (새 문서) | 2612 | )] |
| 2613 | ||
| r2 | 2614 | 은 [math(D=4)]에서 위상항이다. 따라서 결합상수 [math(\alpha_{\mathrm{GB}})]가 상수이면 국소적인 장방정식에 기여하지 않는다. |
| r1 (새 문서) | 2615 | |
| r2 | 2616 | 하지만 [math(D>4)]에서는 Gauss-Bonnet 항이 Lovelock 중력의 비자명한 동역학 항이 된다. |
| 2617 | ||
| 2618 | === f(R) 중력 === | |
| 2619 | ||
| r1 (새 문서) | 2620 | [math(f(R))] 중력은 |
| 2621 | ||
| 2622 | [math( | |
| 2623 | S_{f(R)} | |
| r2 | 2624 | |
| r1 (새 문서) | 2625 | \frac{1}{2\kappa} |
| r2 | 2626 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}, |
| r1 (새 문서) | 2627 | f(R) |
| 2628 | + | |
| 2629 | S_{\mathrm{matter}} | |
| 2630 | )] | |
| 2631 | ||
| 2632 | 로 정의된다. | |
| 2633 | ||
| r2 | 2634 | [math(f_R=df/dR)]라 하면 장방정식은 |
| r1 (새 문서) | 2635 | |
| 2636 | [math( | |
| r2 | 2637 | f_RR_{\mu\nu} |
| 2638 | ||
| 2639 | \frac12fg_{\mu\nu} | |
| 2640 | ||
| r1 (새 문서) | 2641 | \nabla_\mu\nabla_\nu f_R |
| 2642 | + | |
| 2643 | g_{\mu\nu}\Box f_R | |
| r2 | 2644 | |
| r1 (새 문서) | 2645 | \kappa T_{\mu\nu} |
| 2646 | )] | |
| 2647 | ||
| 2648 | 이다. | |
| 2649 | ||
| r2 | 2650 | 4차원에서 trace를 취하면 |
| r1 (새 문서) | 2651 | |
| 2652 | [math( | |
| r2 | 2653 | f_RR |
| 2654 | ||
| 2655 | 2f | |
| 2656 | + | |
| 2657 | 3\Box f_R | |
| 2658 | ||
| 2659 | \kappa T | |
| r1 (새 문서) | 2660 | )] |
| 2661 | ||
| 2662 | 이다. | |
| 2663 | ||
| r2 | 2664 | [math(D)]차원에서는 |
| r1 (새 문서) | 2665 | |
| 2666 | [math( | |
| 2667 | f_RR | |
| r2 | 2668 | |
| 2669 | \frac{D}{2}f | |
| r1 (새 문서) | 2670 | + |
| r2 | 2671 | (D-1)\Box f_R |
| 2672 | ||
| r1 (새 문서) | 2673 | \kappa T |
| 2674 | )] | |
| 2675 | ||
| 2676 | 이다. | |
| 2677 | ||
| r2 | 2678 | [math(f(R))] 중력은 보조장 [math(\chi)]를 도입하면 스칼라-텐서 이론과 동등한 형태로 쓸 수 있다. |
| 2679 | ||
| r1 (새 문서) | 2680 | == 스칼라-텐서 이론 == |
| 2681 | ||
| r2 | 2682 | Jordan frame에서 한 가지 표준 정규화는 |
| r1 (새 문서) | 2683 | |
| 2684 | [math( | |
| 2685 | S | |
| r2 | 2686 | |
| r1 (새 문서) | 2687 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 2688 | \left[ | |
| r2 | 2689 | \frac{1}{2\kappa}F(\phi)R |
| 2690 | ||
| 2691 | \frac12Z(\phi)\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi | |
| 2692 | ||
| r1 (새 문서) | 2693 | U(\phi) |
| 2694 | \right] | |
| 2695 | + | |
| 2696 | S_{\mathrm{matter}}[g_{\mu\nu},\Psi] | |
| 2697 | )] | |
| 2698 | ||
| 2699 | 이다. | |
| 2700 | ||
| r2 | 2701 | 이 정규화에서는 계량 방정식이 |
| r1 (새 문서) | 2702 | |
| 2703 | [math( | |
| 2704 | F(\phi)G_{\mu\nu} | |
| r2 | 2705 | |
| 2706 | \kappa T_{\mu\nu}^{(\mathrm{matter})} | |
| r1 (새 문서) | 2707 | + |
| r2 | 2708 | \kappa Z(\phi) |
| r1 (새 문서) | 2709 | \left( |
| 2710 | \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi | |
| r2 | 2711 | |
| 2712 | \frac12g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi | |
| r1 (새 문서) | 2713 | \right) |
| r2 | 2714 | |
| 2715 | \kappa g_{\mu\nu}U(\phi) | |
| r1 (새 문서) | 2716 | + |
| 2717 | \nabla_\mu\nabla_\nu F | |
| r2 | 2718 | |
| r1 (새 문서) | 2719 | g_{\mu\nu}\Box F |
| 2720 | )] | |
| 2721 | ||
| 2722 | 이다. | |
| 2723 | ||
| 2724 | 스칼라장 방정식은 | |
| 2725 | ||
| 2726 | [math( | |
| 2727 | Z(\phi)\Box\phi | |
| 2728 | + | |
| r2 | 2729 | \frac12Z'(\phi)\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi |
| r1 (새 문서) | 2730 | + |
| 2731 | \frac{1}{2\kappa}F'(\phi)R | |
| r2 | 2732 | |
| r1 (새 문서) | 2733 | U'(\phi) |
| r2 | 2734 | |
| r1 (새 문서) | 2735 | 0 |
| 2736 | )] | |
| 2737 | ||
| 2738 | 이다. | |
| 2739 | ||
| r2 | 2740 | 다른 문헌에서는 스칼라장 항까지 모두 [math(1/(2\kappa))] 안에 넣는 정규화를 사용한다. 그 경우 계량 방정식에서 스칼라장 항 앞의 [math(\kappa)] 계수가 사라진다. |
| 2741 | ||
| 2742 | === Brans-Dicke 이론 === | |
| 2743 | ||
| r1 (새 문서) | 2744 | Brans-Dicke 이론은 |
| 2745 | ||
| 2746 | [math( | |
| 2747 | S_{\mathrm{BD}} | |
| r2 | 2748 | |
| r1 (새 문서) | 2749 | \frac{1}{16\pi} |
| 2750 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} | |
| 2751 | \left[ | |
| 2752 | \phi R | |
| r2 | 2753 | |
| r1 (새 문서) | 2754 | \frac{\omega_{\mathrm{BD}}}{\phi} |
| 2755 | \nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi | |
| 2756 | \right] | |
| 2757 | + | |
| 2758 | S_{\mathrm{matter}} | |
| 2759 | )] | |
| 2760 | ||
| 2761 | 이다. | |
| 2762 | ||
| r2 | 2763 | [math(\omega_{\mathrm{BD}}\to\infty)] 극한에서 적절한 조건하에 일반상대론으로 접근한다. |
| 2764 | ||
| r1 (새 문서) | 2765 | == 미분동형사상 불변성과 Noether 항등식 == |
| 2766 | ||
| 2767 | 무한소 좌표변환은 벡터장 [math(\xi^\mu)]에 의해 생성된다. | |
| 2768 | ||
| 2769 | 계량의 Lie derivative는 | |
| 2770 | ||
| 2771 | [math( | |
| 2772 | \delta_\xi g_{\mu\nu} | |
| r2 | 2773 | |
| r1 (새 문서) | 2774 | \mathcal L_\xi g_{\mu\nu} |
| r2 | 2775 | |
| r1 (새 문서) | 2776 | \nabla_\mu\xi_\nu |
| 2777 | + | |
| 2778 | \nabla_\nu\xi_\mu | |
| 2779 | )] | |
| 2780 | ||
| 2781 | 이다. | |
| 2782 | ||
| 2783 | 역계량에 대해서는 | |
| 2784 | ||
| 2785 | [math( | |
| 2786 | \delta_\xi g^{\mu\nu} | |
| r2 | 2787 | |
| 2788 | - | |
| 2789 | ||
| r1 (새 문서) | 2790 | \nabla^\mu\xi^\nu |
| r2 | 2791 | |
| r1 (새 문서) | 2792 | \nabla^\nu\xi^\mu |
| 2793 | )] | |
| 2794 | ||
| 2795 | 이다. | |
| 2796 | ||
| 2797 | 물질 작용량의 변분은 | |
| 2798 | ||
| 2799 | [math( | |
| 2800 | \delta_\xi S_{\mathrm{matter}} | |
| r2 | 2801 | |
| 2802 | -\frac12 | |
| r1 (새 문서) | 2803 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 2804 | T_{\mu\nu}\delta_\xi g^{\mu\nu} | |
| 2805 | )] | |
| 2806 | ||
| 2807 | 이다. | |
| 2808 | ||
| 2809 | 따라서 | |
| 2810 | ||
| 2811 | [math( | |
| 2812 | \delta_\xi S_{\mathrm{matter}} | |
| r2 | 2813 | |
| r1 (새 문서) | 2814 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 2815 | T_{\mu\nu}\nabla^\mu\xi^\nu | |
| 2816 | )] | |
| 2817 | ||
| 2818 | 이다. | |
| 2819 | ||
| 2820 | 부분적분하면 | |
| 2821 | ||
| 2822 | [math( | |
| 2823 | \delta_\xi S_{\mathrm{matter}} | |
| r2 | 2824 | |
| 2825 | - | |
| 2826 | ||
| r1 (새 문서) | 2827 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 2828 | (\nabla^\mu T_{\mu\nu})\xi^\nu | |
| 2829 | + | |
| 2830 | \text{boundary} | |
| 2831 | )] | |
| 2832 | ||
| 2833 | 이다. | |
| 2834 | ||
| 2835 | 임의의 [math(\xi^\nu)]에 대해 작용량이 불변이면 | |
| 2836 | ||
| 2837 | [math( | |
| 2838 | \nabla^\mu T_{\mu\nu}=0 | |
| 2839 | )] | |
| 2840 | ||
| 2841 | 이다. | |
| 2842 | ||
| r2 | 2843 | 단, 이 식은 물질장 운동방정식이 사용된 on-shell 항등식이다. 외부장이 주어져 있거나 background source가 있을 경우에는 물질 부문만의 에너지-운동량 텐서가 따로 보존되지 않을 수 있다. |
| 2844 | ||
| r1 (새 문서) | 2845 | == Weyl 변환과 등각 불변성 == |
| 2846 | ||
| 2847 | Weyl 변환은 | |
| 2848 | ||
| 2849 | [math( | |
| 2850 | g_{\mu\nu} | |
| 2851 | \mapsto | |
| 2852 | \Omega^2(x)g_{\mu\nu} | |
| 2853 | )] | |
| 2854 | ||
| 2855 | 이다. | |
| 2856 | ||
| 2857 | 역계량과 부피요소는 | |
| 2858 | ||
| 2859 | [math( | |
| 2860 | g^{\mu\nu} | |
| 2861 | \mapsto | |
| 2862 | \Omega^{-2}g^{\mu\nu} | |
| 2863 | )] | |
| 2864 | ||
| 2865 | [math( | |
| 2866 | \sqrt{-g} | |
| 2867 | \mapsto | |
| 2868 | \Omega^D\sqrt{-g} | |
| 2869 | )] | |
| 2870 | ||
| 2871 | 로 변환한다. | |
| 2872 | ||
| 2873 | [math(D)]차원에서 Ricci 스칼라는 | |
| 2874 | ||
| 2875 | [math( | |
| 2876 | R | |
| 2877 | \mapsto | |
| 2878 | \Omega^{-2} | |
| 2879 | \left[ | |
| 2880 | R | |
| r2 | 2881 | |
| r1 (새 문서) | 2882 | 2(D-1)\Box\ln\Omega |
| r2 | 2883 | |
| r1 (새 문서) | 2884 | (D-1)(D-2) |
| 2885 | \nabla_\mu\ln\Omega\nabla^\mu\ln\Omega | |
| 2886 | \right] | |
| 2887 | )] | |
| 2888 | ||
| 2889 | 로 변환한다. | |
| 2890 | ||
| 2891 | 질량이 없는 conformal scalar 작용량은 | |
| 2892 | ||
| 2893 | [math( | |
| 2894 | S | |
| r2 | 2895 | |
| 2896 | -\frac12 | |
| r1 (새 문서) | 2897 | \int_{\mathcal M}d^Dx\sqrt{-g} |
| 2898 | \left[ | |
| 2899 | \nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi | |
| 2900 | + | |
| 2901 | \xi_{\mathrm{conf}}R\phi^2 | |
| 2902 | \right] | |
| 2903 | )] | |
| 2904 | ||
| 2905 | 이다. | |
| 2906 | ||
| 2907 | 여기서 | |
| 2908 | ||
| 2909 | [math( | |
| 2910 | \xi_{\mathrm{conf}} | |
| r2 | 2911 | |
| r1 (새 문서) | 2912 | \frac{D-2}{4(D-1)} |
| 2913 | )] | |
| 2914 | ||
| 2915 | 이다. | |
| 2916 | ||
| 2917 | 스칼라장은 | |
| 2918 | ||
| 2919 | [math( | |
| 2920 | \phi | |
| 2921 | \mapsto | |
| 2922 | \Omega^{-\frac{D-2}{2}}\phi | |
| 2923 | )] | |
| 2924 | ||
| 2925 | 로 변환한다. | |
| 2926 | ||
| r2 | 2927 | 4차원 Maxwell 이론은 Weyl 불변이며, |
| r1 (새 문서) | 2928 | |
| 2929 | [math( | |
| 2930 | T^\mu{}_\mu=0 | |
| 2931 | )] | |
| 2932 | ||
| 2933 | 이다. | |
| 2934 | ||
| r2 | 2935 | 단, 양자론에서는 trace anomaly 때문에 고전적인 Weyl 불변성이 깨질 수 있다. |
| 2936 | ||
| r1 (새 문서) | 2937 | == 핵심 작용량 모음 == |
| 2938 | ||
| 2939 | === 순수 중력 === | |
| 2940 | ||
| 2941 | [math( | |
| 2942 | S | |
| r2 | 2943 | |
| r1 (새 문서) | 2944 | \frac{1}{2\kappa} |
| r2 | 2945 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}(R-2\Lambda) |
| r1 (새 문서) | 2946 | + |
| 2947 | \frac{1}{\kappa} | |
| r2 | 2948 | \int_{\partial\mathcal M}d^3y\sqrt{|h|},\epsilon K |
| r1 (새 문서) | 2949 | )] |
| 2950 | ||
| 2951 | === 중력 + 실수 스칼라장 === | |
| 2952 | ||
| 2953 | [math( | |
| 2954 | S | |
| r2 | 2955 | |
| r1 (새 문서) | 2956 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 2957 | \left[ | |
| r2 | 2958 | \frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda) |
| 2959 | ||
| 2960 | \frac12\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi | |
| 2961 | ||
| r1 (새 문서) | 2962 | V(\phi) |
| 2963 | \right] | |
| 2964 | + | |
| 2965 | S_{\mathrm{GHY}} | |
| 2966 | )] | |
| 2967 | ||
| r2 | 2968 | === 중력 + 비최소 결합 스칼라장 === |
| 2969 | ||
| 2970 | [math( | |
| 2971 | S | |
| 2972 | ||
| 2973 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} | |
| 2974 | \left[ | |
| 2975 | \frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda) | |
| 2976 | ||
| 2977 | \frac12\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi | |
| 2978 | ||
| 2979 | V(\phi) | |
| 2980 | ||
| 2981 | \frac12\xi R\phi^2 | |
| 2982 | \right] | |
| 2983 | + | |
| 2984 | S_{\mathrm{GHY}} | |
| 2985 | )] | |
| 2986 | ||
| r1 (새 문서) | 2987 | === 중력 + 전자기장 === |
| 2988 | ||
| 2989 | [math( | |
| 2990 | S | |
| r2 | 2991 | |
| r1 (새 문서) | 2992 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 2993 | \left[ | |
| r2 | 2994 | \frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda) |
| 2995 | ||
| 2996 | \frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} | |
| r1 (새 문서) | 2997 | \right] |
| 2998 | + | |
| 2999 | S_{\mathrm{GHY}} | |
| 3000 | )] | |
| 3001 | ||
| 3002 | === 중력 + Yang-Mills 장 === | |
| 3003 | ||
| 3004 | [math( | |
| 3005 | S | |
| r2 | 3006 | |
| r1 (새 문서) | 3007 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 3008 | \left[ | |
| r2 | 3009 | \frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda) |
| 3010 | ||
| 3011 | \frac14F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu} | |
| r1 (새 문서) | 3012 | \right] |
| 3013 | + | |
| 3014 | S_{\mathrm{GHY}} | |
| 3015 | )] | |
| 3016 | ||
| 3017 | === 중력 + Dirac 장 === | |
| 3018 | ||
| 3019 | [math( | |
| 3020 | S | |
| r2 | 3021 | |
| 3022 | \int_{\mathcal M}d^4x,e | |
| r1 (새 문서) | 3023 | \left[ |
| r2 | 3024 | \frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda) |
| r1 (새 문서) | 3025 | + |
| 3026 | \frac{i}{2} | |
| 3027 | \left( | |
| 3028 | \bar\psi\gamma^\mu\nabla_\mu\psi | |
| r2 | 3029 | |
| r1 (새 문서) | 3030 | \nabla_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi |
| 3031 | \right) | |
| r2 | 3032 | |
| r1 (새 문서) | 3033 | m\bar\psi\psi |
| 3034 | \right] | |
| 3035 | + | |
| 3036 | S_{\mathrm{GHY}} | |
| 3037 | )] | |
| 3038 | ||
| 3039 | === 중력 + 표준적인 물질장 전체 === | |
| 3040 | ||
| 3041 | [math( | |
| 3042 | S | |
| r2 | 3043 | |
| r1 (새 문서) | 3044 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} |
| 3045 | \left[ | |
| r2 | 3046 | \frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda) |
| 3047 | ||
| 3048 | \frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} | |
| 3049 | ||
| 3050 | \frac14F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu} | |
| 3051 | ||
| r1 (새 문서) | 3052 | g^{\mu\nu}(D_\mu\Phi)^\ast D_\nu\Phi |
| r2 | 3053 | |
| r1 (새 문서) | 3054 | V(|\Phi|^2) |
| r2 | 3055 | |
| 3056 | \frac12\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi | |
| 3057 | ||
| r1 (새 문서) | 3058 | U(\phi) |
| 3059 | + | |
| 3060 | \frac{i}{2} | |
| 3061 | \left( | |
| 3062 | \bar\psi\gamma^\mu D_\mu\psi | |
| r2 | 3063 | |
| r1 (새 문서) | 3064 | D_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi |
| 3065 | \right) | |
| r2 | 3066 | |
| r1 (새 문서) | 3067 | m\bar\psi\psi |
| 3068 | \right] | |
| 3069 | + | |
| 3070 | S_{\mathrm{GHY}} | |
| 3071 | )] | |
| 3072 | ||
| r2 | 3073 | == 자주 틀리는 부호와 정규화 체크리스트 == |
| 3074 | ||
| 3075 | * [math(F_{\mu\nu})]를 [math(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)]로 정의했는가, 반대로 정의했는가? | |
| 3076 | * Maxwell 방정식을 [math(\nabla_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu)]로 쓰는가, [math(\nabla_\mu F^{\mu\nu}=-J^\nu)]로 쓰는가? | |
| 3077 | * Riemann 텐서를 [math([\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho=R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma)]로 정의했는가? | |
| 3078 | * 계량 부호가 [math((-+++))]인가, [math((+---))]인가? | |
| 3079 | * [math(T_{\mu\nu})] 정의가 [math(-2/\sqrt{-g})\delta S_m/\delta g^{\mu\nu}]인가? | |
| 3080 | * 비최소 결합 스칼라장의 [math(\xi R\phi^2)] 항을 물질 쪽에 둘 것인가, 유효 중력결합 쪽에 둘 것인가? | |
| 3081 | * 스칼라-텐서 작용량에서 scalar kinetic term이 [math(1/(2\kappa))] 밖에 있는가, 안에 있는가? | |
| 3082 | * FLRW에서 "math(N)" (lapse)을 남겼는가? 남겼다면 [math(H=\dot a/(Na))]를 써야 한다. | |
| 3083 | * ADM의 [math(K_{ij})] 부호가 선택한 법선벡터 방향과 일치하는가? | |
| 3084 | * GHY 항의 [math(\epsilon)]이 boundary의 causal character와 일치하는가? | |
| 3085 | * 비콤팩트 시공간에서는 적절한 asymptotic boundary term 또는 background subtraction이 필요한가? | |
| 3086 | ||
| r1 (새 문서) | 3087 | == 최종 요약 == |
| 3088 | ||
| r2 | 3089 | 일반상대론과 물질장의 결합은 전체 작용량 |
| r1 (새 문서) | 3090 | |
| 3091 | [math( | |
| 3092 | S[g,\Psi] | |
| r2 | 3093 | |
| r1 (새 문서) | 3094 | \frac{1}{2\kappa} |
| r2 | 3095 | \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}(R-2\Lambda) |
| r1 (새 문서) | 3096 | + |
| 3097 | S_{\mathrm{GHY}} | |
| 3098 | + | |
| 3099 | S_{\mathrm{matter}}[g,\Psi] | |
| 3100 | )] | |
| 3101 | ||
| r2 | 3102 | 에서 출발한다. |
| 3103 | ||
| r1 (새 문서) | 3104 | 계량에 대해 변분하면 |
| 3105 | ||
| 3106 | [math( | |
| 3107 | G_{\mu\nu} | |
| 3108 | + | |
| 3109 | \Lambda g_{\mu\nu} | |
| r2 | 3110 | |
| r1 (새 문서) | 3111 | \kappa T_{\mu\nu} |
| 3112 | )] | |
| 3113 | ||
| 3114 | 를 얻는다. | |
| 3115 | ||
| 3116 | 물질장 [math(\Psi)]에 대해 변분하면 각 물질장의 운동방정식을 얻는다. | |
| 3117 | ||
| 3118 | [math( | |
| r2 | 3119 | \frac{\delta S}{\delta\Psi}=0 |
| r1 (새 문서) | 3120 | )] |
| 3121 | ||
| 3122 | 에너지-운동량 텐서는 | |
| 3123 | ||
| 3124 | [math( | |
| 3125 | T_{\mu\nu} | |
| r2 | 3126 | |
| 3127 | - | |
| 3128 | ||
| r1 (새 문서) | 3129 | \frac{2}{\sqrt{-g}} |
| 3130 | \frac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta g^{\mu\nu}} | |
| 3131 | )] | |
| 3132 | ||
| 3133 | 로 정의된다. | |
| 3134 | ||
| r2 | 3135 | 미분동형사상 불변성과 물질장 운동방정식 때문에 on-shell에서 |
| r1 (새 문서) | 3136 | |
| 3137 | [math( | |
| 3138 | \nabla^\mu T_{\mu\nu}=0 | |
| 3139 | )] | |
| 3140 | ||
| r2 | 3141 | 이다. |
| 3142 | ||
| 3143 | 경계가 있는 시공간에서는 Einstein-Hilbert 작용량만으로는 Dirichlet 변분 원리가 충분히 잘 정의되지 않으므로 Gibbons-Hawking-York 항과, 필요한 경우 corner term 또는 null boundary term을 함께 고려해야 한다. | |
| 3144 | ||
| 3145 | 결국 일반상대론의 작용량 형식은 다음 세 요소의 조합이다. | |
| 3146 | ||
| 3147 | * bulk geometry: [math(R-2\Lambda)] | |
| 3148 | * boundary geometry: [math(K)] 및 관련 경계항 | |
| 3149 | * matter dynamics: [math(S_{\mathrm{matter}}[g,\Psi])] | |
| 3150 | ||
| 3151 | 이 세 요소의 변분이 일관되게 결합될 때 중력장 방정식, 물질장 방정식, 보존법칙이 하나의 원리에서 동시에 도출된다. |