일반상대론의 작용량 정식화와 물질장 결합(비교)

보기 RAW Blame 되돌리기 비교

 r1 vs r2
 [[분류:일반상대론]]
+[[분류:고전장론]]
+[[분류:중력이론]]
 [목차]
 == 개요 ==
-이 문서는 일반상대론의 중력 작용량과 여러 대표적인 물질장 작용량을 정리한다.
+이 문서는 일반상대론에서 쓰이는 중력 작용량과 대표적인 물질장 작용량을 정리한다. 핵심 관점은 다음과 같다.
-기본적인 출발점은 전체 작용량이다.
+* 일반상대론의 동역학 변수는 계량 [math(g_{\mu\nu})]이다.
+* 중력 방정식은 계량에 대한 작용량 변분에서 나온다.
+* 물질장의 운동방정식은 해당 물질장에 대한 작용량 변분에서 나온다.
+* 에너지-운동량 텐서는 물질 작용량을 계량에 대해 변분하여 정의한다.
+* 미분동형사상 불변성은 에너지-운동량 텐서의 공변보존과 연결된다.
+전체 작용량은 보통 다음 구조를 가진다.
 [math(
 S[g,\Psi]
-=
 S_{\mathrm{grav}}[g]
 +
 S_{\mathrm{matter}}[g,\Psi]
 +
-S_{\mathrm{boundary}}[g]
+S_{\mathrm{boundary}}[g,\Psi]
 )]
-여기서 [math(g_{\mu\nu})]는 시공간 계량이고, [math(\Psi)]는 모든 물질장을 상징한다.
+여기서 [math(\Psi)]는 스칼라장, 스피너장, gauge 장, 유체 변수 등 모든 물질 자유도를 상징한다.
-일반상대론에서 중력장은 계량 [math(g_{\mu\nu})] 자체이며, 계량에 대한 작용량의 변분은 Einstein 방정식을 준다.
+가장 표준적인 4차원 Einstein 중력에서는
 [math(
+S[g,\Psi]
+\frac{1}{2\kappa}
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},(R-2\Lambda)
++
+S_{\mathrm{GHY}}
++
+S_{\mathrm{matter}}[g,\Psi]
+)]
+이다.
+계량에 대해 변분하면 Einstein 방정식을 얻는다.
+[math(
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
-=
 \kappa T_{\mu\nu}
 )]
+여기서
+[math(
+G_{\mu\nu}
+R_{\mu\nu}
+\frac12 g_{\mu\nu}R
+)]
+는 Einstein 텐서이고,
+[math(
+\kappa=8\pi G
+)]
+이다.
+자연단위계 [math(c=\hbar=1)]를 쓰지 않으면
+[math(
+\kappa
+\frac{8\pi G}{c^4}
+)]
+이다.
 == 기본 규약 ==
-이 문서에서는 다음 부호 규약을 사용한다.
+이 문서에서는 다음 규약을 기본으로 사용한다.
- * 계량 부호: [math((- + + +))]
- * 자연단위계: [math(c=\hbar=1)]
- * 중력 결합상수: [math(\kappa = 8\pi G)]
- * 계량 행렬식: [math(g=\det(g_{\mu\nu}))]
- * 부피요소: [math(\sqrt{-g}\,d^4x)]
+* 계량 부호: [math((- + + +))]
+* 자연단위계: [math(c=\hbar=1)]
+* 중력 결합상수: [math(\kappa=8\pi G)]
+* 계량 행렬식: [math(g=\det(g_{\mu\nu}))]
+* 부피요소: [math(\sqrt{-g},d^4x)]
+* Einstein 합 규약 사용
+* Greek index: 시공간 지표 [math(\mu,\nu,\rho,\sigma=0,1,2,3)]
+* Latin index: 국소 Lorentz 지표 [math(a,b,c,d=0,1,2,3)]
+* 공간 ADM 지표: [math(i,j,k=1,2,3)]
-Minkowski 계량은 다음과 같이 둔다.
+Minkowski 계량은
 [math(
 \eta_{ab}
-=
 \operatorname{diag}(-,+,+,+)
 )]
-곡률 텐서의 부호 규약은 다음과 같다.
+이다.
+곡률 부호 규약은 다음과 같이 둔다.
 [math(
 [\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho
-=
 R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma
 )]
-이 규약에서 Einstein 텐서는
+따라서 Riemann 텐서는
 [math(
-G_{\mu\nu}
-=
+R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}
+\partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}
+\partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}
++
+\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
+\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}
+)]
+이고, Ricci 텐서는
+[math(
 R_{\mu\nu}
--
-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R
+R^\rho{}_{\mu\rho\nu}
 )]
-로 정의된다.
+이다.
+Ricci 스칼라는
+[math(
+R
+g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}
+)]
+이다.
+주의할 점은 일반상대론 문헌마다 다음 네 가지 부호 선택이 다를 수 있다는 것이다.
+* 계량 부호 [math((-+++))] 또는 [math((+---))]
+* Riemann 텐서 정의의 부호
+* Einstein-Hilbert 작용량 앞 부호
+* 물질 Lagrangian의 부호
+따라서 다른 문헌의 식을 가져올 때는 반드시 [math(R^\rho{}{\sigma\mu\nu})], [math(G{\mu\nu})], [math(T_{\mu\nu})] 정의를 함께 확인해야 한다.
 == 기하학적 기본량 ==
 === Levi-Civita 접속 ===
-일반상대론의 표준 접속은 비틀림이 없고 계량과 양립하는 Levi-Civita 접속이다.
+일반상대론의 표준 접속은 Levi-Civita 접속이다. 이는 다음 두 조건으로 결정된다.
 [math(
 \nabla_\rho g_{\mu\nu}=0
 ...
 [math(
 \Gamma^\rho_{\mu\nu}
-=
-\frac{1}{2}g^{\rho\sigma}
+\Gamma^\rho_{\nu\mu}
+)]
+첫 번째 조건은 계량 양립성, 두 번째 조건은 무비틀림 조건이다.
+성분으로 쓰면
+[math(
+\Gamma^\rho_{\mu\nu}
+\frac12 g^{\rho\sigma}
 \left(
 \partial_\mu g_{\nu\sigma}
 +
 \partial_\nu g_{\mu\sigma}
--
 \partial_\sigma g_{\mu\nu}
 \right)
 )]
-=== Riemann 곡률텐서 ===
+이다.
-Riemann 곡률텐서는 다음과 같다.
+=== 곡률 텐서와 수축 ===
+Riemann 텐서는 두 공변미분의 비가환성을 측정한다.
 [math(
-R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}
-=
-\partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma}
--
-\partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma}
-+
-\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
--
-\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}
+[\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho
+R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma
 )]
-Ricci 텐서는 Riemann 텐서의 수축으로 얻어진다.
+아래 대칭성을 만족한다.
 [math(
+R_{\rho\sigma\mu\nu}
+-
+R_{\sigma\rho\mu\nu}
+-
+R_{\rho\sigma\nu\mu}
+)]
+[math(
+R_{\rho\sigma\mu\nu}
+R_{\mu\nu\rho\sigma}
+)]
+그리고 첫 번째 Bianchi 항등식은
+[math(
+R_{\rho[\sigma\mu\nu]}=0
+)]
+이다.
+Ricci 텐서와 Ricci 스칼라는 각각
+[math(
 R_{\mu\nu}
-=
 R^\rho{}_{\mu\rho\nu}
 )]
-Ricci 스칼라는 다시 계량으로 수축한 양이다.
 [math(
 R
-=
 g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}
 )]
-=== Bianchi 항등식 ===
+이다.
-Einstein 텐서는 다음 보존 항등식을 만족한다.
+=== Einstein 텐서와 Bianchi 항등식 ===
+Einstein 텐서는
 [math(
+G_{\mu\nu}
+R_{\mu\nu}
+\frac12 g_{\mu\nu}R
+)]
+이다.
+수축된 Bianchi 항등식은
+[math(
 \nabla^\mu G_{\mu\nu}=0
 )]
-이 식은 물질 에너지-운동량 텐서의 공변보존과 직접 연결된다.
+이다.
+Einstein 방정식
 [math(
+G_{\mu\nu}
++
+\Lambda g_{\mu\nu}
+\kappa T_{\mu\nu}
+)]
+에서 [math(\Lambda)]가 상수이면
+[math(
 \nabla^\mu T_{\mu\nu}=0
 )]
+가 따른다.
+이는 중력 방정식의 일관성 조건이며, 동시에 물질 작용량의 미분동형사상 불변성에서 나오는 Noether 항등식이다.
 == 변분 공식 ==
 === 계량과 역계량의 변분 ===
 ...
 [math(
 g_{\mu\rho}g^{\rho\nu}
-=
 \delta_\mu{}^\nu
 )]
-를 만족하므로 변분하면
+를 만족하므로,
 [math(
-\delta g_{\mu\nu}
-=
--
-g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}
-\delta g^{\rho\sigma}
+\delta g^{\mu\nu}
+-
+g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}\delta g_{\rho\sigma}
 )]
 [math(
-\delta g^{\mu\nu}
-=
--
-g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}
-\delta g_{\rho\sigma}
+\delta g_{\mu\nu}
+-
+g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}\delta g^{\rho\sigma}
 )]
-를 얻는다.
+이다.
 === 행렬식의 변분 ===
-계량 행렬식의 변분은
+일반 행렬 공식 [math(\delta\ln|\det M|=\operatorname{Tr}(M^{-1}\delta M))]에 의해
 [math(
 \delta g
-=
 g g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}
-=
--
+)]
+이다.
+역계량을 기본 변분 변수로 쓰면
+[math(
+\delta g
+-
 g g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
 )]
 ...
 [math(
 \delta\sqrt{-g}
-=
-\frac{1}{2}\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}
-=
--
-\frac{1}{2}\sqrt{-g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
+\frac12\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}
+-\frac12\sqrt{-g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
 )]
 이다.
 ...
 [math(
 \delta\Gamma^\rho_{\mu\nu}
-=
-\frac{1}{2}g^{\rho\sigma}
+\frac12 g^{\rho\sigma}
 \left(
 \nabla_\mu\delta g_{\nu\sigma}
 +
 \nabla_\nu\delta g_{\mu\sigma}
--
 \nabla_\sigma\delta g_{\mu\nu}
 \right)
 )]
+역계량 변분으로 쓰면 등가적으로
+[math(
+\delta\Gamma^\rho_{\mu\nu}
+-\frac12
+\left(
+g_{\nu\sigma}\nabla_\mu\delta g^{\rho\sigma}
++
+g_{\mu\sigma}\nabla_\nu\delta g^{\rho\sigma}
+g_{\mu\alpha}g_{\nu\beta}\nabla^\rho\delta g^{\alpha\beta}
+\right)
+)]
+이다.
 === Palatini 항등식 ===
-Ricci 텐서의 변분은 다음 Palatini 항등식으로 주어진다.
+Ricci 텐서의 변분은
 [math(
 \delta R_{\mu\nu}
-=
-\nabla_\rho \delta\Gamma^\rho_{\nu\mu}
--
-\nabla_\nu \delta\Gamma^\rho_{\rho\mu}
+\nabla_\rho\delta\Gamma^\rho_{\nu\mu}
+\nabla_\nu\delta\Gamma^\rho_{\rho\mu}
 )]
+이다.
 Ricci 스칼라의 변분은
 [math(
 \delta R
-=
 R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
 +
 g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}
 )]
-이며, 전체 미분항까지 포함하면
+이다.
+전체 미분항을 명시하면
 [math(
 \delta R
-=
 R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
 +
 \nabla_\rho
 \left(
-g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\rho_{\mu\nu}
--
-g^{\rho\nu}\delta\Gamma^\mu_{\mu\nu}
+g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\rho_{\nu\mu}
+g^{\rho\mu}\delta\Gamma^\nu_{\nu\mu}
 \right)
 )]
 이다.
-또는 다음과 같이 쓸 수 있다.
+또는
 [math(
 \delta R
-=
 R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
 +
 g_{\mu\nu}\Box\delta g^{\mu\nu}
--
 \nabla_\mu\nabla_\nu\delta g^{\mu\nu}
 )]
+로 쓸 수 있다.
+여기서
+[math(
+\Box
+\nabla_\rho\nabla^\rho
+)]
+이다.
 == Einstein-Hilbert 작용량 ==
 순수 중력 작용량은 Einstein-Hilbert 작용량이다.
 [math(
 S_{\mathrm{EH}}
-=
 \frac{1}{2\kappa}
-\int_{\mathcal M} d^4x\sqrt{-g}\,R
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},R
 )]
 우주상수를 포함하면
 [math(
 S_{\mathrm{grav}}
-=
 \frac{1}{2\kappa}
-\int_{\mathcal M} d^4x\sqrt{-g}
-\left(
-R-2\Lambda
-\right)
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},(R-2\Lambda)
 )]
 이다.
-계량에 대해 변분하면
+변분하면
 [math(
 \delta S_{\mathrm{grav}}
-=
 \frac{1}{2\kappa}
-\int_{\mathcal M} d^4x\sqrt{-g}
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left(
 R_{\mu\nu}
--
-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R
+\frac12 g_{\mu\nu}R
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
-\right)
-\delta g^{\mu\nu}
+\right)\delta g^{\mu\nu}
 +
-\text{boundary}
+\delta S_{\mathrm{boundary}}
 )]
-를 얻는다.
+이다.
-따라서 경계항이 적절히 처리되면 중력장 방정식은
+즉,
 [math(
+\delta S_{\mathrm{grav}}
+\frac{1}{2\kappa}
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
+\left(
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
-=
-\kappa T_{\mu\nu}
+\right)\delta g^{\mu\nu}
++
+\delta S_{\mathrm{boundary}}
 )]
 이다.
+경계항이 적절히 제거되거나 보상되면, 물질장까지 포함한 전체 변분에서
+[math(
+G_{\mu\nu}
++
+\Lambda g_{\mu\nu}
+\kappa T_{\mu\nu}
+)]
+를 얻는다.
 == Gibbons-Hawking-York 경계항 ==
-Einstein-Hilbert 작용량은 계량의 2계 미분을 포함하므로, Dirichlet 경계조건에서 잘 정의된 변분 원리를 얻으려면 경계항이 필요하다.
+Einstein-Hilbert 작용량은 계량의 2계 미분을 포함한다. 따라서 단순히 경계에서 [math(\delta g_{\mu\nu}=0)]을 고정하는 것만으로는 변분 원리가 완전히 잘 정의되지 않는다.
-경계의 단위 법선벡터를 [math(n^\mu)]라 하면
+Dirichlet 경계조건, 즉 경계 유도계량 [math(h_{ij})]을 고정하는 변분 원리를 원하면 Gibbons-Hawking-York 항을 더한다.
+경계 [math(\partial\mathcal M)]의 단위 법선벡터를 [math(n^\mu)]라 하자.
 [math(
-n_\mu n^\mu = \epsilon
+n_\mu n^\mu=\epsilon
 )]
-이며,
+여기서 [math((-+++))] 부호에서
 [math(
 \epsilon
-=
 \begin{cases}
-+1, & \partial\mathcal M\ \text{timelike}\\
--1, & \partial\mathcal M\ \text{spacelike}
++1, & \partial\mathcal M\ \text{timelike boundary} \
+-1, & \partial\mathcal M\ \text{spacelike boundary}
 \end{cases}
 )]
 ...
 [math(
 h_{\mu\nu}
-=
 g_{\mu\nu}
--
 \epsilon n_\mu n_\nu
 )]
 ...
 [math(
 K_{\mu\nu}
-=
-h_\mu{}^\rho h_\nu{}^\sigma \nabla_\rho n_\sigma
+h_\mu{}^\rho h_\nu{}^\sigma\nabla_\rho n_\sigma
 )]
-이고,
+이고 그 trace는
 [math(
-K=h^{\mu\nu}K_{\mu\nu}
+K
+h^{\mu\nu}K_{\mu\nu}
 )]
 이다.
-Gibbons-Hawking-York 항은
+GHY 항은
 [math(
 S_{\mathrm{GHY}}
-=
 \frac{1}{\kappa}
-\int_{\partial\mathcal M}
-d^3y\sqrt{|h|}\,\epsilon K
+\int_{\partial\mathcal M}d^3y\sqrt{|h|},\epsilon K
 )]
 이다.
 ...
 [math(
 S_{\mathrm{grav}}
-=
 \frac{1}{2\kappa}
-\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
-\left(R-2\Lambda\right)
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},(R-2\Lambda)
 +
 \frac{1}{\kappa}
-\int_{\partial\mathcal M}d^3y\sqrt{|h|}\,\epsilon K
+\int_{\partial\mathcal M}d^3y\sqrt{|h|},\epsilon K
 )]
 이다.
+경계가 조각별로 매끄럽고 모서리 또는 corner가 있으면 추가적인 corner term이 필요할 수 있다. 또한 null boundary에서는 [math(K)] 기반의 표준 GHY 항이 그대로 적용되지 않으며, null generator의 비affine parameter와 transverse geometry를 이용한 별도 경계항이 필요하다.
 == 물질 작용량과 에너지-운동량 텐서 ==
-물질장 작용량은 일반적으로 다음과 같이 쓴다.
+물질장 작용량은 일반적으로
 [math(
 S_{\mathrm{matter}}
-=
-\int_{\mathcal M} d^4x\sqrt{-g}\,
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},
 \mathcal L_{\mathrm{matter}}
 )]
-에너지-운동량 텐서는 물질 작용량을 계량에 대해 변분하여 정의한다.
+로 쓴다.
+에너지-운동량 텐서는
 [math(
 T_{\mu\nu}
 :=
--
 \frac{2}{\sqrt{-g}}
 \frac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta g^{\mu\nu}}
 )]
-따라서 물질 작용량의 계량 변분은
+로 정의한다.
+따라서
 [math(
 \delta S_{\mathrm{matter}}
-=
--
-\frac{1}{2}
-\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
+-\frac12
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},
 T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
 )]
 이다.
-전체 변분은
+물질 Lagrangian이 계량에는 의존하지만 계량의 미분에는 의존하지 않는 경우,
 [math(
+T_{\mu\nu}
+-2\frac{\partial\mathcal L_{\mathrm{matter}}}{\partial g^{\mu\nu}}
++
+g_{\mu\nu}\mathcal L_{\mathrm{matter}}
+)]
+이다.
+단, 비최소 결합 [math(R\phi^2)], 고차미분 물질장, spin connection을 통한 스피너 결합처럼 계량의 미분 또는 vierbein에 의존하는 경우에는 위의 단순 공식만으로는 부족하고 전체 변분 정의를 사용해야 한다.
+전체 작용량의 계량 변분은
+[math(
 \delta S
-=
-\frac{1}{2\kappa}
+\frac12
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
+\left[
+\frac{1}{\kappa}
 \left(
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
 \right)
-\delta g^{\mu\nu}
--
-\frac{1}{2}
-\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
-T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}
+T_{\mu\nu}
+\right]\delta g^{\mu\nu}
 )]
-이므로,
+이다.
+임의의 [math(\delta g^{\mu\nu})]에 대해 [math(\delta S=0)]이면
 [math(
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
-=
 \kappa T_{\mu\nu}
 )]
-를 얻는다.
+이다.
+trace를 취하면 4차원에서
+[math(
+-R+4\Lambda
+\kappa T
+)]
+즉,
+[math(
+R
+\Lambda-\kappa T
+)]
+이다.
+우주상수가 없으면
+[math(
+R=-\kappa T
+)]
+이다.
+이때 Einstein 방정식은 trace-reversed form으로도 쓸 수 있다.
+[math(
+R_{\mu\nu}
+\kappa
+\left(
+T_{\mu\nu}
+\frac12 g_{\mu\nu}T
+\right)
++
+\Lambda g_{\mu\nu}
+)]
 == 실수 스칼라장 ==
 === 최소 결합 스칼라장 ===
 ...
 [math(
 S_\phi
-=
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
--
-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}\nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi
--
+-\frac12 g^{\mu\nu}\nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi
 V(\phi)
 \right]
 )]
 ...
 이다.
-운동방정식은
+Euler-Lagrange 방정식은
 [math(
 \Box\phi
--
 \frac{dV}{d\phi}
-=
 )]
 ...
 [math(
 \Box\phi
-=
 \nabla_\mu\nabla^\mu\phi
-=
 \frac{1}{\sqrt{-g}}
 \partial_\mu
 \left(
 ...
 [math(
 T_{\mu\nu}^{(\phi)}
-=
 \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi
--
-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
--
+\frac12 g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
 g_{\mu\nu}V(\phi)
 )]
 이다.
+trace는 4차원에서
+[math(
+T^{(\phi)}
+-\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
+V(\phi)
+)]
+이다.
 === 질량항과 자기상호작용 ===
 대표적인 퍼텐셜은
 [math(
 V(\phi)
-=
-\frac{1}{2}m^2\phi^2
+\frac12 m^2\phi^2
 +
 \frac{\lambda}{4!}\phi^4
 )]
 ...
 [math(
 \Box\phi
--
 m^2\phi
--
 \frac{\lambda}{3!}\phi^3
-=
 )]
 이다.
+평탄공간 극한에서 [math(\Box=-\partial_t^2+\nabla^2)]이므로 자유 massive scalar의 방정식은
+[math(
+(\Box-m^2)\phi=0
+)]
+이다.
+이는 [math((-+++))] 부호에서 Klein-Gordon 방정식의 표준 형태이다.
 === 비최소 결합 스칼라장 ===
 곡률과 직접 결합하는 스칼라장 작용량은
 [math(
 S_\phi
-=
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
--
-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}\nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi
--
+-\frac12\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
 V(\phi)
--
-\frac{1}{2}\xi R\phi^2
+\frac12\xi R\phi^2
 \right]
 )]
 이다.
-운동방정식은
+스칼라장 방정식은
 [math(
 \Box\phi
--
-\frac{dV}{d\phi}
--
+V'(\phi)
 \xi R\phi
-=
 )]
 ...
 [math(
 T_{\mu\nu}^{(\phi,\xi)}
-=
 \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi
--
-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
--
+\frac12g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
 g_{\mu\nu}V(\phi)
 +
 \xi
 ...
 G_{\mu\nu}\phi^2
 +
 g_{\mu\nu}\Box(\phi^2)
--
 \nabla_\mu\nabla_\nu(\phi^2)
 \right]
 )]
 이다.
+이 표현에는 [math(G_{\mu\nu}\phi^2)] 항이 포함되어 있으므로 Einstein 방정식에 대입하면
+[math(
+\left(
+\frac{1}{\kappa}
+\xi\phi^2
+\right)G_{\mu\nu}
++
+\frac{\Lambda}{\kappa}g_{\mu\nu}
+T_{\mu\nu}^{(\mathrm{minimal\ part})}
++
+\xi
+\left[
+g_{\mu\nu}\Box(\phi^2)
+\nabla_\mu\nabla_\nu(\phi^2)
+\right]
+)]
+처럼 [math(G_{\mu\nu})] 항을 좌변으로 옮겨 쓰기도 한다.
 [math(D)]차원에서 conformal coupling은
 [math(
 \xi_{\mathrm{conf}}
-=
 \frac{D-2}{4(D-1)}
 )]
 이다.
-[math(D=4)]에서는
+차원에서는
 [math(
-\xi_{\mathrm{conf}}=\frac{1}{6}
+\xi_{\mathrm{conf}}
+\frac16
 )]
 이다.
 ...
 [math(
 S_\Phi
-=
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
--
 g^{\mu\nu}\nabla_\mu\Phi^\ast\nabla_\nu\Phi
--
 V(|\Phi|^2)
 \right]
 )]
 이다.
-운동방정식은
+[math(\Phi)]와 [math(\Phi^\ast)]를 독립장으로 취급하면 운동방정식은
 [math(
 \Box\Phi
--
-\frac{\partial V}{\partial \Phi^\ast}
-=
+\frac{\partial V}{\partial\Phi^\ast}
 )]
 [math(
 \Box\Phi^\ast
--
-\frac{\partial V}{\partial \Phi}
-=
+\frac{\partial V}{\partial\Phi}
 )]
 이다.
-[math(U(1))] 대칭
+전역 [math(U(1))] 대칭
 [math(
 \Phi\mapsto e^{i\alpha}\Phi
 )]
-이 있으면 Noether 전류는
+에 대한 Noether 전류는
 [math(
 j^\mu
-=
 -i
 \left(
 \Phi^\ast\nabla^\mu\Phi
--
 \Phi\nabla^\mu\Phi^\ast
 \right)
 )]
 ...
 [math(
 T_{\mu\nu}^{(\Phi)}
-=
 \nabla_\mu\Phi^\ast\nabla_\nu\Phi
 +
 \nabla_\nu\Phi^\ast\nabla_\mu\Phi
--
 g_{\mu\nu}
 \left(
 \nabla_\rho\Phi^\ast\nabla^\rho\Phi
 ...
 [math(
 F_{\mu\nu}
-=
 \nabla_\mu A_\nu
--
 \nabla_\nu A_\mu
-=
 \partial_\mu A_\nu
--
 \partial_\nu A_\mu
 )]
 ...
 [math(
 S_{\mathrm{EM}}
-=
--
-\frac{1}{4}
-\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
+-\frac14
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},
 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
 )]
 ...
 [math(
 S_{\mathrm{EM+J}}
-=
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
--
-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
--
+-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
 J^\mu A_\mu
 \right]
 )]
 이다.
-[math(A_\mu)]에 대한 변분은 Maxwell 방정식을 준다.
+[math(A_\mu)]에 대해 변분하면
 [math(
 \nabla_\mu F^{\mu\nu}
-=
 J^\nu
 )]
+이다.
 Bianchi 항등식은
 [math(
 ...
 미분형식으로는
 [math(
+F=dA
+)]
+[math(
 dF=0
 )]
+[math(
+d\star F=\star J
+)]
 이다.
 에너지-운동량 텐서는
 [math(
 T_{\mu\nu}^{(\mathrm{EM})}
-=
 F_{\mu\rho}F_\nu{}^\rho
--
-\frac{1}{4}g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}
+\frac14g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}
 )]
 이다.
-[math(D=4)]에서 Maxwell 에너지-운동량 텐서는 traceless이다.
+[math(D)]차원에서 trace는
 [math(
+T^\mu{}_\mu
+\left(
+-\frac{D}{4}
+\right)
+F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}
+)]
+이다.
+따라서 [math(D=4)]에서는
+[math(
 T^\mu{}_\mu=0
 )]
+이다.
 === Lorenz gauge ===
 Lorenz gauge는
 ...
 이다.
-이 gauge에서 Maxwell 방정식은
+현재 문서의 규약
 [math(
+F_{\mu\nu}
+\nabla_\mu A_\nu-\nabla_\nu A_\mu
+)]
+[math(
+\nabla_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu
+)]
+을 쓰면
+[math(
 \Box A_\nu
--
 R_{\nu\mu}A^\mu
-=
--J_\nu
+J_\nu
 )]
-형태가 된다.
+이다.
+단, 일부 문헌은 [math(F_{\mu\nu})] 또는 Maxwell 방정식의 부호를 반대로 정의하므로 우변 부호가 달라질 수 있다.
+=== Gauge 대칭 ===
+Maxwell 이론은 gauge 변환
+[math(
+A_\mu
+\mapsto
+A_\mu+\nabla_\mu\lambda
+)]
+에 대해 불변이다.
+장세기는 변하지 않는다.
+[math(
+F_{\mu\nu}
+\mapsto
+F_{\mu\nu}
+)]
+전류 보존
+[math(
+\nabla_\mu J^\mu=0
+)]
+은 Maxwell 방정식의 consistency condition이다.
 == 전하를 가진 스칼라장 ==
 복소 스칼라장 [math(\Phi)]가 [math(U(1))] gauge 장 [math(A_\mu)]에 결합하면
 [math(
 D_\mu\Phi
-=
-\left(
-\nabla_\mu
--
-iqA_\mu
-\right)\Phi
+(\nabla_\mu-iqA_\mu)\Phi
 )]
 이다.
+Gauge 변환은
+[math(
+\Phi\mapsto e^{iq\lambda(x)}\Phi
+)]
+[math(
+A_\mu\mapsto A_\mu+\partial_\mu\lambda
+)]
+이다.
 작용량은
 [math(
 S
-=
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
--
-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
--
+-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
 g^{\mu\nu}(D_\mu\Phi)^\ast D_\nu\Phi
--
 V(|\Phi|^2)
 \right]
 )]
 이다.
-Higgs형 퍼텐셜은
-[math(
-V(|\Phi|^2)
-=
-\lambda
-\left(
-|\Phi|^2
--
-\frac{v^2}{2}
-\right)^2
-)]
-이다.
 스칼라장 방정식은
 [math(
 D_\mu D^\mu\Phi
--
 \frac{\partial V}{\partial\Phi^\ast}
-=
 )]
 ...
 Gauge 장 방정식은
 [math(
-\nabla_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu
+\nabla_\mu F^{\mu\nu}
+J^\nu
 )]
-이다.
+이고,
-여기서
 [math(
 J^\nu
-=
 iq
 \left[
 \Phi^\ast D^\nu\Phi
--
 \Phi(D^\nu\Phi)^\ast
 \right]
 )]
 이다.
+Higgs형 퍼텐셜은
+[math(
+V(|\Phi|^2)
+\lambda
+\left(
+|\Phi|^2
+\frac{v^2}{2}
+\right)^2
+)]
+로 쓴다.
+진공에서는
+[math(
+|\Phi|=\frac{v}{\sqrt2}
+)]
+이고, gauge 장은 Higgs mechanism에 의해 질량을 얻는다.
 == Yang-Mills 장 ==
 비가환 gauge 군 [math(G)]의 Lie algebra 생성자를 [math(T^a)]라 하자.
 [math(
 [T^a,T^b]
-=
 if^{abc}T^c
 )]
+정규화는
+[math(
+\operatorname{Tr}(T^aT^b)
+\frac12\delta^{ab}
+)]
+로 둔다.
 Gauge 장은
 [math(
 ...
 [math(
 D_\mu
-=
 \nabla_\mu
--
 igA_\mu
 )]
 ...
 [math(
 F_{\mu\nu}
-=
 \frac{i}{g}[D_\mu,D_\nu]
-=
 \partial_\mu A_\nu
--
 \partial_\nu A_\mu
--
 ig[A_\mu,A_\nu]
 )]
 ...
 [math(
 F_{\mu\nu}^a
-=
 \partial_\mu A_\nu^a
--
 \partial_\nu A_\mu^a
 +
 gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c
 ...
 [math(
 S_{\mathrm{YM}}
-=
--
-\frac{1}{2}
-\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
+-\frac12
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},
 \operatorname{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})
 )]
 이다.
-정규화를
+성분으로 쓰면
 [math(
-\operatorname{Tr}(T^aT^b)
-=
-\frac{1}{2}\delta^{ab}
-)]
+S_{\mathrm{YM}}
-로 잡으면
-[math(
-S_{\mathrm{YM}}
-=
--
-\frac{1}{4}
-\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
+-\frac14
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},
 F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}
 )]
 ...
 \nabla_\mu F^{a\mu\nu}
 +
 gf^{abc}A_\mu^bF^{c\mu\nu}
-=
 )]
 이다.
+Bianchi 항등식은
+[math(
+D_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0
+)]
+또는 미분형식으로
+[math(
+DF=0
+)]
+이다.
 에너지-운동량 텐서는
 [math(
 T_{\mu\nu}^{(\mathrm{YM})}
-=
 F_{\mu\rho}^aF_\nu{}^{a\rho}
--
-\frac{1}{4}g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}^aF^{a\rho\sigma}
+\frac14g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}^aF^{a\rho\sigma}
 )]
 이다.
+차원 고전 Yang-Mills 이론은 질량항이 없을 때 classically traceless이다.
+[math(
+T^\mu{}_\mu=0
+)]
+단, 양자론에서는 trace anomaly가 생길 수 있다.
 == Dirac 스피너장 ==
 === Vierbein ===
-스피너장을 곡률시공간에 결합하려면 vierbein이 필요하다.
+스피너장을 곡률시공간에 결합하려면 vierbein 또는 tetrad가 필요하다.
 [math(
 g_{\mu\nu}
-=
 e_\mu{}^a e_\nu{}^b\eta_{ab}
 )]
 역 vierbein은
 [math(
-e^\mu{}_a e_\mu{}^b
-=
+e^\mu{}a e\mu{}^b
 \delta_a{}^b
 )]
 [math(
-e^\mu{}_a e_\nu{}^a
-=
+e^\mu{}a e\nu{}^a
 \delta^\mu{}_\nu
 )]
 ...
 [math(
 \gamma^\mu
-=
 e^\mu{}_a\gamma^a
 )]
 ...
 평탄공간 gamma matrix는
 [math(
-\{\gamma^a,\gamma^b\}
-=
+{\gamma^a,\gamma^b}
 \eta^{ab}
 )]
 ...
 따라서
 [math(
-\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}
-=
+{\gamma^\mu,\gamma^\nu}
 g^{\mu\nu}
 )]
 이다.
+Vierbein 행렬식은
+[math(
+e=\det(e_\mu{}^a)=\sqrt{-g}
+)]
+이다.
 === Spin connection ===
 스피너 공변미분은
 [math(
 \nabla_\mu\psi
-=
 \partial_\mu\psi
 +
-\frac{1}{4}\omega_{\mu ab}\gamma^{ab}\psi
+\frac14\omega_{\mu ab}\gamma^{ab}\psi
 )]
 이다.
 ...
 [math(
 \gamma^{ab}
-=
-\frac{1}{2}[\gamma^a,\gamma^b]
+\frac12[\gamma^a,\gamma^b]
 )]
 이다.
-Dirac adjoint는
+adjoint에 대해서는
 [math(
-\bar\psi
-=
-\psi^\dagger\gamma^0
+\nabla_\mu\bar\psi
+\partial_\mu\bar\psi
+\frac14\omega_{\mu ab}\bar\psi\gamma^{ab}
 )]
 이다.
-adjoint에 대한 공변미분은
+Spin connection은 tetrad postulate
 [math(
-\nabla_\mu\bar\psi
-=
-\partial_\mu\bar\psi
--
-\frac{1}{4}\omega_{\mu ab}\bar\psi\gamma^{ab}
+\nabla_\mu e_\nu{}^a
+\partial_\mu e_\nu{}^a
+\Gamma^\rho_{\mu\nu}e_\rho{}^a
++
+\omega_\mu{}^a{}b e\nu{}^b
 )]
-이다.
+로 결정된다.
 === Dirac 작용량 ===
-곡률시공간에서 Dirac 작용량은
+곡률시공간에서 Hermitian form의 Dirac 작용량은
 [math(
 S_{\mathrm{Dirac}}
-=
-\int_{\mathcal M}d^4x\,e
+\int_{\mathcal M}d^4x,e
 \left[
 \frac{i}{2}
 \left(
 \bar\psi\gamma^\mu\nabla_\mu\psi
--
 \nabla_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi
 \right)
--
 m\bar\psi\psi
 \right]
 )]
 이다.
-여기서
-[math(
-e=\det(e_\mu{}^a)=\sqrt{-g}
-)]
-이다.
 운동방정식은
 [math(
 i\gamma^\mu\nabla_\mu\psi
--
 m\psi
-=
 )]
 ...
 i\nabla_\mu\bar\psi\gamma^\mu
 +
 m\bar\psi
-=
 )]
 ...
 [math(
 D_\mu\psi
-=
 \nabla_\mu\psi
--
 iqA_\mu\psi
 )]
 ...
 [math(
 j^\mu
-=
 q\bar\psi\gamma^\mu\psi
 )]
 이다.
+스피너의 에너지-운동량 텐서는 vierbein 변분으로 정의하는 것이 가장 자연스럽다.
+[math(
+T^\mu{}_a
+-\frac{1}{e}
+\frac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta e_\mu{}^a}
+)]
+대칭화된 spacetime tensor는 on-shell에서 보통
+[math(
+T_{\mu\nu}^{(\mathrm{Dirac})}
+\frac{i}{4}
+\left[
+\bar\psi\gamma_{(\mu}\nabla_{\nu)}\psi
+\nabla_{(\mu}\bar\psi\gamma_{\nu)}\psi
+\right]
+)]
+형태로 쓴다. 질량항은 방정식을 이용하면 이 대칭화된 표현에 흡수되어 나타난다.
 == Proca 장 ==
 질량을 가진 벡터장 [math(A_\mu)]의 작용량은
 [math(
 S_{\mathrm{Proca}}
-=
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
--
-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
--
-\frac{1}{2}m^2A_\mu A^\mu
+-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
+\frac12m^2A_\mu A^\mu
 \right]
 )]
 ...
 [math(
 \nabla_\mu F^{\mu\nu}
--
 m^2A^\nu
-=
 )]
 이다.
-발산을 취하면
+발산을 취하면 antisymmetry 때문에
 [math(
 m^2\nabla_\nu A^\nu=0
 ...
 이다.
+이는 gauge condition이 아니라 운동방정식에서 나오는 constraint이다.
 에너지-운동량 텐서는
 [math(
 T_{\mu\nu}^{(\mathrm{Proca})}
-=
 F_{\mu\rho}F_\nu{}^\rho
--
-\frac{1}{4}g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}
+\frac14g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}
 +
 m^2
 \left(
 A_\mu A_\nu
--
-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}A_\rho A^\rho
+\frac12g_{\mu\nu}A_\rho A^\rho
 \right)
 )]
 이다.
+Massless Maxwell 장은 4차원에서 2개의 물리적 자유도를 가지지만, massive Proca 장은 3개의 물리적 자유도를 가진다.
 == p-form 장 ==
 [math(p)]-form gauge potential을
 [math(
 A_p
-=
 \frac{1}{p!}
 A_{\mu_1\cdots\mu_p}
 dx^{\mu_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\mu_p}
 ...
 [math(
 F_{\mu_0\mu_1\cdots\mu_p}
-=
 (p+1)\partial_{[\mu_0}A_{\mu_1\cdots\mu_p]}
 )]
 이다.
-작용량은
+작용량은 [math(D)]차원에서
 [math(
 S_p
-=
--
-\frac{1}{2(p+1)!}
-\int_{\mathcal M}d^Dx\sqrt{-g}
+-\frac{1}{2(p+1)!}
+\int_{\mathcal M}d^Dx\sqrt{-g},
 F_{\mu_1\cdots\mu_{p+1}}
 F^{\mu_1\cdots\mu_{p+1}}
 )]
 ...
 [math(
 \nabla_{\mu_1}
 F^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{p+1}}
-=
 )]
 ...
 이다.
+Gauge 대칭은
+[math(
+A_p
+\mapsto
+A_p+d\Lambda_{p-1}
+)]
+이다.
 에너지-운동량 텐서는
 [math(
 T_{\mu\nu}^{(p)}
-=
 \frac{1}{p!}
 F_{\mu\alpha_1\cdots\alpha_p}
 F_\nu{}^{\alpha_1\cdots\alpha_p}
--
 \frac{1}{2(p+1)!}g_{\mu\nu}
 F_{\alpha_0\cdots\alpha_p}
 F^{\alpha_0\cdots\alpha_p}
 ...
 [math(
 T_{\mu\nu}
-=
 (\rho+p)u_\mu u_\nu
 +
 pg_{\mu\nu}
 ...
 이다.
-[math(u^\nu)] 방향으로 사영하면 에너지 보존식을 얻는다.
+[math(u_\nu)] 방향으로 사영하면 에너지 보존식을 얻는다.
 [math(
 u^\mu\nabla_\mu\rho
 +
 (\rho+p)\nabla_\mu u^\mu
-=
 )]
 ...
 [math(
 P_{\mu\nu}
-=
 g_{\mu\nu}
 +
 u_\mu u_\nu
 ...
 (\rho+p)u^\mu\nabla_\mu u_\alpha
 +
 P_\alpha{}^\mu\nabla_\mu p
-=
 )]
 이다.
-현상론적 유체 작용량은
+상태방정식은 보통
 [math(
+p=w\rho
+)]
+로 둔다.
+대표적인 경우는
+[math(
+w=0
+)]
+인 먼지,
+[math(
+w=\frac13
+)]
+인 복사,
+[math(
+w=-1
+)]
+인 우주상수형 유체이다.
+현상론적으로는
+[math(
 S_{\mathrm{fluid}}
-=
-\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}\,
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},
 \mathcal L_{\mathrm{fluid}}
 )]
 로 쓸 수 있다.
-특정 조건에서는
+특정 조건에서는 on-shell에서
 [math(
 \mathcal L_{\mathrm{fluid}}=p
 )]
-로 둘 수 있지만, 완전한 변분 원리에는 입자수 보존, 엔트로피 보존, 유체 좌표 등의 제약조건이 필요하다.
+로 둘 수 있지만, 완전한 변분 원리에는 입자수 보존, 엔트로피 보존, Clebsch potential, 유체 좌표 등의 제약조건이 필요하다.
 == 점입자 작용량 ==
 ...
 [math(
 S_{\mathrm{particle}}
-=
 -m\int d\tau
 )]
 ...
 [math(
 S_{\mathrm{particle}}
-=
 -m
 \int d\lambda
 \sqrt{
--
 g_{\mu\nu}(x)
 \frac{dx^\mu}{d\lambda}
 \frac{dx^\nu}{d\lambda}
 ...
 \Gamma^\mu_{\rho\sigma}
 \frac{dx^\rho}{d\tau}
 \frac{dx^\sigma}{d\tau}
-=
 )]
 ...
 [math(
 S
-=
 -m\int d\tau
 +
 q\int A_\mu dx^\mu
 ...
 \frac{dx^\rho}{d\tau}
 \frac{dx^\sigma}{d\tau}
 \right)
-=
 qF^\mu{}_\nu
 \frac{dx^\nu}{d\tau}
 )]
+세계선 재매개변수 불변성을 명확히 하려면 einbein [math(e(\lambda))]을 도입하여
+[math(
+S
+\frac12
+\int d\lambda
+\left[
+e^{-1}g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu
+em^2
+\right]
+)]
+로 쓸 수도 있다. [math(e)]를 제거하면 위의 Nambu-Goto형 점입자 작용량과 동등하다.
 == FLRW 우주론에서의 작용량 ==
 FLRW 계량은
 [math(
 ds^2
-=
--
+-
 N(t)^2dt^2
 +
 a(t)^2
 ...
 이다.
+여기서
+*
+* [math(a(t))]: scale factor
+* [math(k=+1,0,-1)]: 공간 곡률
+* [math(V_0)]: comoving 공간 부피
 평탄한 경우 [math(k=0)]이면
 [math(
 ds^2
-=
--
+-
 N(t)^2dt^2
 +
 a(t)^2\delta_{ij}dx^idx^j
 ...
 이다.
-공간 부피를 [math(V_0)]라 하면, 중력 작용량은 부분적분 후
+부분적분과 GHY 처리를 마친 중력 minisuperspace 작용량은
 [math(
 S_{\mathrm{grav}}
-=
 \frac{3V_0}{\kappa}
 \int dt
 \left[
--
 \frac{a\dot a^2}{N}
 +
 kNa
--
 \frac{\Lambda}{3}Na^3
 \right]
 )]
 ...
 [math(
 S_\phi
-=
 V_0
-\int dt\,
+\int dt,
 Na^3
 \left[
 \frac{1}{2N^2}\dot\phi^2
--
 V(\phi)
 \right]
 )]
 ...
 [math(
 S
-=
 V_0
 \int dt
 \left[
 \frac{3}{\kappa}
 \left(
--
-\frac{a\dot a^2}{N}
+-\frac{a\dot a^2}{N}
 +
 kNa
--
 \frac{\Lambda}{3}Na^3
 \right)
 +
 Na^3
 \left(
 \frac{\dot\phi^2}{2N^2}
--
 V(\phi)
 \right)
 \right]
 ...
 이다.
-[math(N)]에 대한 변분은 Friedmann constraint를 준다.
+Lapse "math(N)" (lapse)을 남겨둔 경우 Hubble 변수는
 [math(
-H^2
+H_N
+\frac{\dot a}{Na}
+)]
+이다.
+"math(N)" (lapse)에 대한 변분은 Friedmann constraint를 준다.
+[math(
+H_N^2
 +
 \frac{k}{a^2}
-=
 \frac{\kappa}{3}\rho
 +
 \frac{\Lambda}{3}
 )]
-여기서
+여기서 균질 스칼라장의 에너지 밀도와 압력은
 [math(
-H=\frac{\dot a}{a}
+\rho_\phi
+\frac{1}{2N^2}\dot\phi^2
++
+V(\phi)
 )]
+[math(
+p_\phi
+\frac{1}{2N^2}\dot\phi^2
+V(\phi)
+)]
 이다.
-스칼라장의 에너지 밀도와 압력은
+Cosmic time gauge [math(N=1)]에서는
 [math(
+H=\frac{\dot a}{a}
+)]
+이고,
+[math(
 \rho_\phi
-=
-\frac{1}{2}\dot\phi^2
-+
-V(\phi)
+\frac12\dot\phi^2+V(\phi)
 )]
 [math(
 p_\phi
-=
-\frac{1}{2}\dot\phi^2
--
-V(\phi)
+\frac12\dot\phi^2-V(\phi)
 )]
 이다.
-스칼라장 방정식은
+스칼라장 방정식은 [math(N=1)]에서
 [math(
 \ddot\phi
 +
 H\dot\phi
 +
-\frac{dV}{d\phi}
-=
+V'(\phi)
 )]
 이다.
+가속도 방정식은
+[math(
+\frac{\ddot a}{a}
+-\frac{\kappa}{6}(\rho+3p)
++
+\frac{\Lambda}{3}
+)]
+이다.
+연속방정식은
+[math(
+\dot\rho
++
+H(\rho+p)=0
+)]
+이다.
 == ADM 분해 ==
 ADM 형식에서 계량은
 [math(
 ds^2
-=
--
+-
 N^2dt^2
 +
 h_{ij}
-\left(
-dx^i+N^idt
-\right)
-\left(
-dx^j+N^jdt
-\right)
+(dx^i+N^idt)
+(dx^j+N^jdt)
 )]
 이다.
 여기서
- * [math(N)]: lapse
- * [math(N^i)]: shift
- * [math(h_{ij})]: 공간 3-계량
+*
+*
+* [math(h_{ij})]: 공간 3-계량
-외재곡률은
+단위 시간법선은
 [math(
+n_\mu=(-N,0,0,0)
+)]
+[math(
+n^\mu=
+\left(
+\frac1N,-\frac{N^i}{N}
+\right)
+)]
+이고,
+[math(
+n_\mu n^\mu=-1
+)]
+이다.
+외재곡률은 이 문서의 ADM 부호 규약에서
+[math(
 K_{ij}
-=
 \frac{1}{2N}
 \left(
 \dot h_{ij}
--
 D_iN_j
--
 D_jN_i
 \right)
 )]
 ...
 [math(
 S_{\mathrm{ADM}}
-=
 \frac{1}{2\kappa}
-\int dt\,d^3x\,
+\int dt,d^3x,
 N\sqrt h
 \left(
 {}^{(3)}R
 +
 K_{ij}K^{ij}
--
 K^2
--
 \Lambda
 \right)
 )]
 ...
 [math(
 \pi^{ij}
-=
 \frac{\sqrt h}{2\kappa}
 \left(
 K^{ij}
--
 h^{ij}K
 \right)
 )]
 이다.
+그 trace는
+[math(
+\pi=h_{ij}\pi^{ij}
+-\frac{\sqrt h}{\kappa}K
+)]
+이다.
 Hamiltonian constraint는
 [math(
 \mathcal H
-=
 \frac{2\kappa}{\sqrt h}
 \left(
 \pi_{ij}\pi^{ij}
--
-\frac{1}{2}\pi^2
+\frac12\pi^2
 \right)
--
 \frac{\sqrt h}{2\kappa}
 \left(
 {}^{(3)}R
--
 \Lambda
 \right)
 +
 \mathcal H_{\mathrm{matter}}
-=
 )]
 ...
 [math(
 \mathcal H_i
-=
--2D_j\pi^j{}_i
+-2D_j\pi^j{}i
 +
-\mathcal H_{i,\mathrm{matter}}
-=
+\mathcal H{i,\mathrm{matter}}
 )]
 ...
 [math(
 H
-=
 \int d^3x
 \left(
 N\mathcal H
 ...
 이다.
+닫힌 공간절편에서는 경계 Hamiltonian이 없을 수 있지만, 비콤팩트 점근평탄 시공간에서는 [math(H_{\partial\Sigma})]가 ADM 에너지, 운동량, 각운동량과 연결된다.
 == Einstein-Maxwell 이론 ==
 Einstein-Maxwell 작용량은
 [math(
 S
-=
-\frac{1}{2\kappa}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
-\left(
-R-2\Lambda
-\right)
--
-\frac{1}{4}
-\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
-F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
+\left[
+\frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda)
+\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
+\right]
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 )]
 ...
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
-=
 \kappa
 \left(
 F_{\mu\rho}F_\nu{}^\rho
--
-\frac{1}{4}g_{\mu\nu}
-F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}
+\frac14g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}
 \right)
 )]
 ...
 이다.
-Reissner-Nordström 계량은
+Reissner-Nordström-(A)dS 계량은
 [math(
 ds^2
-=
--
+-
 f(r)dt^2
 +
 \frac{dr^2}{f(r)}
 ...
 [math(
 f(r)
-=
--
 \frac{2GM}{r}
 +
 \frac{GQ^2}{4\pi r^2}
--
 \frac{\Lambda r^2}{3}
 )]
-형태이다.
+형태로 쓸 수 있다.
-단, 전자기장 정규화에 따라 [math(Q)] 앞의 계수는 달라질 수 있다.
+단, [math(Q)] 항의 계수는 전자기장 정규화와 단위계에 따라 달라진다.
 == Einstein-Klein-Gordon 이론 ==
 ...
 [math(
 S
-=
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
-\frac{1}{2\kappa}
-\left(
-R-2\Lambda
-\right)
--
-\frac{1}{2}
-\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
--
+\frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda)
+\frac12\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
 V(\phi)
 \right]
 +
 ...
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
-=
 \kappa
 \left[
 \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi
--
-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
--
+\frac12g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
 g_{\mu\nu}V(\phi)
 \right]
 )]
 [math(
 \Box\phi
--
 V'(\phi)
-=
 )]
 ...
 [math(
 S
-=
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
-\frac{1}{2\kappa}
-\left(
-R-2\Lambda
-\right)
--
-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}
+\frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda)
+\frac14F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}
 \right]
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 ...
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
-=
 \kappa
 \left[
 F_{\mu\rho}^aF_\nu{}^{a\rho}
--
-\frac{1}{4}g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}^aF^{a\rho\sigma}
+\frac14g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}^aF^{a\rho\sigma}
 \right]
 )]
 ...
 [math(
 S
-=
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
-\frac{1}{2\kappa}
-\left(
-R-2\Lambda
-\right)
+\frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda)
 +
 \alpha R^2
 +
 ...
 \right]
 )]
-[math(D=4)]에서 Gauss-Bonnet 조합은
+차원에서 Gauss-Bonnet 조합은
 [math(
 \mathcal G
-=
 R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma}
--
 R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}
 +
 R^2
 ...
 [math(
 S_{\mathrm{GB}}
-=
 \alpha_{\mathrm{GB}}
-\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}\,\mathcal G
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},\mathcal G
 )]
-은 [math(D=4)]에서 위상항이다.
+은 [math(D=4)]에서 위상항이다. 따라서 결합상수 [math(\alpha_{\mathrm{GB}})]가 상수이면 국소적인 장방정식에 기여하지 않는다.
+하지만 [math(D>4)]에서는 Gauss-Bonnet 항이 Lovelock 중력의 비자명한 동역학 항이 된다.
+=== f(R) 중력 ===
 [math(f(R))] 중력은
 [math(
 S_{f(R)}
-=
 \frac{1}{2\kappa}
-\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}\,
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},
 f(R)
 +
 S_{\mathrm{matter}}
 ...
 로 정의된다.
-장방정식은
+[math(f_R=df/dR)]라 하면 장방정식은
 [math(
-f_R R_{\mu\nu}
--
-\frac{1}{2}fg_{\mu\nu}
--
+f_RR_{\mu\nu}
+\frac12fg_{\mu\nu}
 \nabla_\mu\nabla_\nu f_R
 +
 g_{\mu\nu}\Box f_R
-=
 \kappa T_{\mu\nu}
 )]
 이다.
-여기서
+차원에서 trace를 취하면
 [math(
-f_R=\frac{df}{dR}
+f_RR
+f
++
+\Box f_R
+\kappa T
 )]
 이다.
-trace를 취하면
+[math(D)]차원에서는
 [math(
 f_RR
--
-f
+\frac{D}{2}f
 +
-\Box f_R
-=
+(D-1)\Box f_R
 \kappa T
 )]
 이다.
+[math(f(R))] 중력은 보조장 [math(\chi)]를 도입하면 스칼라-텐서 이론과 동등한 형태로 쓸 수 있다.
 == 스칼라-텐서 이론 ==
-Jordan frame에서 일반적인 스칼라-텐서 작용량은
+Jordan frame에서 한 가지 표준 정규화는
 [math(
 S
-=
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
-\frac{1}{2\kappa}
-F(\phi)R
--
-\frac{1}{2}Z(\phi)
-g^{\mu\nu}\nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi
--
+\frac{1}{2\kappa}F(\phi)R
+\frac12Z(\phi)\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
 U(\phi)
 \right]
 +
 ...
 이다.
-계량 변분은
+이 정규화에서는 계량 방정식이
 [math(
 F(\phi)G_{\mu\nu}
-=
-\kappa T_{\mu\nu}
+\kappa T_{\mu\nu}^{(\mathrm{matter})}
 +
-Z(\phi)
+\kappa Z(\phi)
 \left(
 \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi
--
-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
+\frac12g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
 \right)
--
-g_{\mu\nu}U(\phi)
+\kappa g_{\mu\nu}U(\phi)
 +
 \nabla_\mu\nabla_\nu F
--
 g_{\mu\nu}\Box F
 )]
 ...
 [math(
 Z(\phi)\Box\phi
 +
-\frac{1}{2}Z'(\phi)\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
+\frac12Z'(\phi)\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi
 +
 \frac{1}{2\kappa}F'(\phi)R
--
 U'(\phi)
-=
 )]
 이다.
+다른 문헌에서는 스칼라장 항까지 모두 [math(1/(2\kappa))] 안에 넣는 정규화를 사용한다. 그 경우 계량 방정식에서 스칼라장 항 앞의 [math(\kappa)] 계수가 사라진다.
+=== Brans-Dicke 이론 ===
 Brans-Dicke 이론은
 [math(
 S_{\mathrm{BD}}
-=
 \frac{1}{16\pi}
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
 \phi R
--
 \frac{\omega_{\mathrm{BD}}}{\phi}
 \nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
 \right]
 ...
 이다.
+[math(\omega_{\mathrm{BD}}\to\infty)] 극한에서 적절한 조건하에 일반상대론으로 접근한다.
 == 미분동형사상 불변성과 Noether 항등식 ==
 무한소 좌표변환은 벡터장 [math(\xi^\mu)]에 의해 생성된다.
 ...
 [math(
 \delta_\xi g_{\mu\nu}
-=
 \mathcal L_\xi g_{\mu\nu}
-=
 \nabla_\mu\xi_\nu
 +
 \nabla_\nu\xi_\mu
 ...
 [math(
 \delta_\xi g^{\mu\nu}
-=
--
+-
 \nabla^\mu\xi^\nu
--
 \nabla^\nu\xi^\mu
 )]
 ...
 [math(
 \delta_\xi S_{\mathrm{matter}}
-=
--
-\frac{1}{2}
+-\frac12
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 T_{\mu\nu}\delta_\xi g^{\mu\nu}
 )]
 ...
 [math(
 \delta_\xi S_{\mathrm{matter}}
-=
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 T_{\mu\nu}\nabla^\mu\xi^\nu
 )]
 ...
 [math(
 \delta_\xi S_{\mathrm{matter}}
-=
--
+-
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 (\nabla^\mu T_{\mu\nu})\xi^\nu
 +
 ...
 이다.
+단, 이 식은 물질장 운동방정식이 사용된 on-shell 항등식이다. 외부장이 주어져 있거나 background source가 있을 경우에는 물질 부문만의 에너지-운동량 텐서가 따로 보존되지 않을 수 있다.
 == Weyl 변환과 등각 불변성 ==
 Weyl 변환은
 ...
 \Omega^{-2}
 \left[
 R
--
 (D-1)\Box\ln\Omega
--
 (D-1)(D-2)
 \nabla_\mu\ln\Omega\nabla^\mu\ln\Omega
 \right]
 ...
 [math(
 S
-=
--
-\frac{1}{2}
+-\frac12
 \int_{\mathcal M}d^Dx\sqrt{-g}
 \left[
 \nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
 ...
 [math(
 \xi_{\mathrm{conf}}
-=
 \frac{D-2}{4(D-1)}
 )]
 ...
 로 변환한다.
-[math(D=4)] Maxwell 이론은 Weyl 불변이며,
+차원 Maxwell 이론은 Weyl 불변이며,
 [math(
 T^\mu{}_\mu=0
 ...
 이다.
+단, 양자론에서는 trace anomaly 때문에 고전적인 Weyl 불변성이 깨질 수 있다.
 == 핵심 작용량 모음 ==
 === 순수 중력 ===
 [math(
 S
-=
 \frac{1}{2\kappa}
-\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
-\left(
-R-2\Lambda
-\right)
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}(R-2\Lambda)
 +
 \frac{1}{\kappa}
-\int_{\partial\mathcal M}d^3y\sqrt{|h|}\,\epsilon K
+\int_{\partial\mathcal M}d^3y\sqrt{|h|},\epsilon K
 )]
 === 중력 + 실수 스칼라장 ===
 [math(
 S
-=
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
-\frac{1}{2\kappa}
-\left(
-R-2\Lambda
-\right)
--
-\frac{1}{2}
-\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
--
+\frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda)
+\frac12\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
 V(\phi)
 \right]
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 )]
+=== 중력 + 비최소 결합 스칼라장 ===
+[math(
+S
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
+\left[
+\frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda)
+\frac12\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
+V(\phi)
+\frac12\xi R\phi^2
+\right]
++
+S_{\mathrm{GHY}}
+)]
 === 중력 + 전자기장 ===
 [math(
 S
-=
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
-\frac{1}{2\kappa}
-\left(
-R-2\Lambda
-\right)
--
-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
+\frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda)
+\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
 \right]
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 ...
 [math(
 S
-=
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
-\frac{1}{2\kappa}
-\left(
-R-2\Lambda
-\right)
--
-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}
+\frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda)
+\frac14F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}
 \right]
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 ...
 [math(
 S
-=
-\int_{\mathcal M}d^4x\,e
+\int_{\mathcal M}d^4x,e
 \left[
-\frac{1}{2\kappa}
-\left(
-R-2\Lambda
-\right)
+\frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda)
 +
 \frac{i}{2}
 \left(
 \bar\psi\gamma^\mu\nabla_\mu\psi
--
 \nabla_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi
 \right)
--
 m\bar\psi\psi
 \right]
 +
 ...
 [math(
 S
-=
 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
 \left[
-\frac{1}{2\kappa}
-\left(
-R-2\Lambda
-\right)
--
-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
--
-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}
--
+\frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda)
+\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
+\frac14F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}
 g^{\mu\nu}(D_\mu\Phi)^\ast D_\nu\Phi
--
 V(|\Phi|^2)
--
-\frac{1}{2}\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
--
+\frac12\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi
 U(\phi)
 +
 \frac{i}{2}
 \left(
 \bar\psi\gamma^\mu D_\mu\psi
--
 D_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi
 \right)
--
 m\bar\psi\psi
 \right]
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 )]
+== 자주 틀리는 부호와 정규화 체크리스트 ==
+* [math(F_{\mu\nu})]를 [math(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)]로 정의했는가, 반대로 정의했는가?
+* Maxwell 방정식을 [math(\nabla_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu)]로 쓰는가, [math(\nabla_\mu F^{\mu\nu}=-J^\nu)]로 쓰는가?
+* Riemann 텐서를 [math([\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho=R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma)]로 정의했는가?
+* 계량 부호가 [math((-+++))]인가, [math((+---))]인가?
+* [math(T_{\mu\nu})] 정의가 [math(-2/\sqrt{-g})\delta S_m/\delta g^{\mu\nu}]인가?
+* 비최소 결합 스칼라장의 [math(\xi R\phi^2)] 항을 물질 쪽에 둘 것인가, 유효 중력결합 쪽에 둘 것인가?
+* 스칼라-텐서 작용량에서 scalar kinetic term이 [math(1/(2\kappa))] 밖에 있는가, 안에 있는가?
+* FLRW에서 "math(N)" (lapse)을 남겼는가? 남겼다면 [math(H=\dot a/(Na))]를 써야 한다.
+* ADM의 [math(K_{ij})] 부호가 선택한 법선벡터 방향과 일치하는가?
+* GHY 항의 [math(\epsilon)]이 boundary의 causal character와 일치하는가?
+* 비콤팩트 시공간에서는 적절한 asymptotic boundary term 또는 background subtraction이 필요한가?
 == 최종 요약 ==
-일반상대론과 물질장의 결합은 다음 전체 작용량에서 출발한다.
+일반상대론과 물질장의 결합은 전체 작용량
 [math(
 S[g,\Psi]
-=
 \frac{1}{2\kappa}
-\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}
-\left(
-R-2\Lambda
-\right)
+\int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}(R-2\Lambda)
 +
 S_{\mathrm{GHY}}
 +
 S_{\mathrm{matter}}[g,\Psi]
 )]
+에서 출발한다.
 계량에 대해 변분하면
 [math(
 G_{\mu\nu}
 +
 \Lambda g_{\mu\nu}
-=
 \kappa T_{\mu\nu}
 )]
 ...
 물질장 [math(\Psi)]에 대해 변분하면 각 물질장의 운동방정식을 얻는다.
 [math(
-\frac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta\Psi}=0
+\frac{\delta S}{\delta\Psi}=0
 )]
 에너지-운동량 텐서는
 [math(
 T_{\mu\nu}
-=
--
+-
 \frac{2}{\sqrt{-g}}
 \frac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta g^{\mu\nu}}
 )]
 로 정의된다.
-미분동형사상 불변성 때문에 on-shell에서
+미분동형사상 불변성과 물질장 운동방정식 때문에 on-shell에서
 [math(
 \nabla^\mu T_{\mu\nu}=0
 )]
 이다.
+경계가 있는 시공간에서는 Einstein-Hilbert 작용량만으로는 Dirichlet 변분 원리가 충분히 잘 정의되지 않으므로 Gibbons-Hawking-York 항과, 필요한 경우 corner term 또는 null boundary term을 함께 고려해야 한다.
+결국 일반상대론의 작용량 형식은 다음 세 요소의 조합이다.
+* bulk geometry: [math(R-2\Lambda)]
+* boundary geometry: [math(K)] 및 관련 경계항
+* matter dynamics: [math(S_{\mathrm{matter}}[g,\Psi])]
+이 세 요소의 변분이 일관되게 결합될 때 중력장 방정식, 물질장 방정식, 보존법칙이 하나의 원리에서 동시에 도출된다.