일반상대론의 작용량 정식화와 물질장 결합(r2 판)

이 문서는 일반상대론에서 쓰이는 중력 작용량과 대표적인 물질장 작용량을 정리한다. 핵심 관점은 다음과 같다.

* 일반상대론의 동역학 변수는 계량 $g_{\mu\nu}$이다.
* 중력 방정식은 계량에 대한 작용량 변분에서 나온다.
* 물질장의 운동방정식은 해당 물질장에 대한 작용량 변분에서 나온다.
* 에너지-운동량 텐서는 물질 작용량을 계량에 대해 변분하여 정의한다.
* 미분동형사상 불변성은 에너지-운동량 텐서의 공변보존과 연결된다.

전체 작용량은 보통 다음 구조를 가진다.

$S[g,\Psi] S_{\mathrm{grav}}[g] + S_{\mathrm{matter}}[g,\Psi] + S_{\mathrm{boundary}}[g,\Psi]$

여기서 $\Psi$는 스칼라장, 스피너장, gauge 장, 유체 변수 등 모든 물질 자유도를 상징한다.

가장 표준적인 4차원 Einstein 중력에서는

$S[g,\Psi] \frac{1}{2\kappa} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},(R-2\Lambda) + S_{\mathrm{GHY}} + S_{\mathrm{matter}}[g,\Psi]$

이다.

계량에 대해 변분하면 Einstein 방정식을 얻는다.

$G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} \kappa T_{\mu\nu}$

여기서

$G_{\mu\nu} R_{\mu\nu} \frac12 g_{\mu\nu}R$

는 Einstein 텐서이고,

$\kappa=8\pi G$

이다.

자연단위계 $c=\hbar=1$를 쓰지 않으면

$\kappa \frac{8\pi G}{c^4}$

이다.

이 문서에서는 다음 규약을 기본으로 사용한다.

* 계량 부호: $(- + + +)$
* 자연단위계: $c=\hbar=1$
* 중력 결합상수: $\kappa=8\pi G$
* 계량 행렬식: $g=\det(g_{\mu\nu})$
* 부피요소: $\sqrt{-g},d^4x$
* Einstein 합 규약 사용
* Greek index: 시공간 지표 $\mu,\nu,\rho,\sigma=0,1,2,3$
* Latin index: 국소 Lorentz 지표 $a,b,c,d=0,1,2,3$
* 공간 ADM 지표: $i,j,k=1,2,3$

Minkowski 계량은

$\eta_{ab} \operatorname{diag}(-,+,+,+)$

이다.

곡률 부호 규약은 다음과 같이 둔다.

$[\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma$

따라서 Riemann 텐서는

$R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$

이고, Ricci 텐서는

$R_{\mu\nu} R^\rho{}_{\mu\rho\nu}$

이다.

Ricci 스칼라는

$R g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$

이다.

주의할 점은 일반상대론 문헌마다 다음 네 가지 부호 선택이 다를 수 있다는 것이다.

* 계량 부호 $(-+++)$ 또는 $(+---)$
* Riemann 텐서 정의의 부호
* Einstein-Hilbert 작용량 앞 부호
* 물질 Lagrangian의 부호

따라서 다른 문헌의 식을 가져올 때는 반드시 $R^\rho{}{\sigma\mu\nu}$, $G{\mu\nu}$, $T_{\mu\nu}$ 정의를 함께 확인해야 한다.

일반상대론의 표준 접속은 Levi-Civita 접속이다. 이는 다음 두 조건으로 결정된다.

$\nabla_\rho g_{\mu\nu}=0$

$\Gamma^\rho_{\mu\nu} \Gamma^\rho_{\nu\mu}$

첫 번째 조건은 계량 양립성, 두 번째 조건은 무비틀림 조건이다.

성분으로 쓰면

$\Gamma^\rho_{\mu\nu} \frac12 g^{\rho\sigma} \left( \partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} \partial_\sigma g_{\mu\nu} \right)$

이다.

Riemann 텐서는 두 공변미분의 비가환성을 측정한다.

$[\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma$

아래 대칭성을 만족한다.

$R_{\rho\sigma\mu\nu} - R_{\sigma\rho\mu\nu} - R_{\rho\sigma\nu\mu}$

$R_{\rho\sigma\mu\nu} R_{\mu\nu\rho\sigma}$

그리고 첫 번째 Bianchi 항등식은

$R_{\rho[\sigma\mu\nu]}=0$

이다.

Ricci 텐서와 Ricci 스칼라는 각각

$R_{\mu\nu} R^\rho{}_{\mu\rho\nu}$

$R g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$

이다.

Einstein 텐서는

$G_{\mu\nu} R_{\mu\nu} \frac12 g_{\mu\nu}R$

이다.

수축된 Bianchi 항등식은

$\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$

이다.

Einstein 방정식

$G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} \kappa T_{\mu\nu}$

에서 $\Lambda$가 상수이면

$\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0$

가 따른다.

이는 중력 방정식의 일관성 조건이며, 동시에 물질 작용량의 미분동형사상 불변성에서 나오는 Noether 항등식이다.

계량과 역계량은

$g_{\mu\rho}g^{\rho\nu} \delta_\mu{}^\nu$

를 만족하므로,

$\delta g^{\mu\nu} - g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}\delta g_{\rho\sigma}$

$\delta g_{\mu\nu} - g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}\delta g^{\rho\sigma}$

이다.

일반 행렬 공식 $\delta\ln|\det M|=\operatorname{Tr}(M^{-1}\delta M)$에 의해

$\delta g g g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}$

이다.

역계량을 기본 변분 변수로 쓰면

$\delta g - g g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$

이다.

따라서

$\delta\sqrt{-g} \frac12\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} -\frac12\sqrt{-g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$

이다.

Levi-Civita 접속의 변분은 텐서이다.

$\delta\Gamma^\rho_{\mu\nu} \frac12 g^{\rho\sigma} \left( \nabla_\mu\delta g_{\nu\sigma} + \nabla_\nu\delta g_{\mu\sigma} \nabla_\sigma\delta g_{\mu\nu} \right)$

역계량 변분으로 쓰면 등가적으로

$\delta\Gamma^\rho_{\mu\nu} -\frac12 \left( g_{\nu\sigma}\nabla_\mu\delta g^{\rho\sigma} + g_{\mu\sigma}\nabla_\nu\delta g^{\rho\sigma} g_{\mu\alpha}g_{\nu\beta}\nabla^\rho\delta g^{\alpha\beta} \right)$

이다.

Ricci 텐서의 변분은

$\delta R_{\mu\nu} \nabla_\rho\delta\Gamma^\rho_{\nu\mu} \nabla_\nu\delta\Gamma^\rho_{\rho\mu}$

이다.

Ricci 스칼라의 변분은

$\delta R R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} + g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}$

이다.

전체 미분항을 명시하면

$\delta R R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} + \nabla_\rho \left( g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\rho_{\nu\mu} g^{\rho\mu}\delta\Gamma^\nu_{\nu\mu} \right)$

이다.

또는

$\delta R R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} + g_{\mu\nu}\Box\delta g^{\mu\nu} \nabla_\mu\nabla_\nu\delta g^{\mu\nu}$

로 쓸 수 있다.

여기서

$\Box \nabla_\rho\nabla^\rho$

이다.

순수 중력 작용량은 Einstein-Hilbert 작용량이다.

$S_{\mathrm{EH}} \frac{1}{2\kappa} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},R$

우주상수를 포함하면

$S_{\mathrm{grav}} \frac{1}{2\kappa} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},(R-2\Lambda)$

이다.

변분하면

$\delta S_{\mathrm{grav}} \frac{1}{2\kappa} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left( R_{\mu\nu} \frac12 g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} \right)\delta g^{\mu\nu} + \delta S_{\mathrm{boundary}}$

이다.

즉,

$\delta S_{\mathrm{grav}} \frac{1}{2\kappa} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left( G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} \right)\delta g^{\mu\nu} + \delta S_{\mathrm{boundary}}$

이다.

경계항이 적절히 제거되거나 보상되면, 물질장까지 포함한 전체 변분에서

$G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} \kappa T_{\mu\nu}$

를 얻는다.

Einstein-Hilbert 작용량은 계량의 2계 미분을 포함한다. 따라서 단순히 경계에서 $\delta g_{\mu\nu}=0$을 고정하는 것만으로는 변분 원리가 완전히 잘 정의되지 않는다.

Dirichlet 경계조건, 즉 경계 유도계량 $h_{ij}$을 고정하는 변분 원리를 원하면 Gibbons-Hawking-York 항을 더한다.

경계 $\partial\mathcal M$의 단위 법선벡터를 $n^\mu$라 하자.

$n_\mu n^\mu=\epsilon$

여기서 $(-+++)$ 부호에서

$\epsilon \begin{cases} +1, & \partial\mathcal M\ \text{timelike boundary} \ -1, & \partial\mathcal M\ \text{spacelike boundary} \end{cases}$

이다.

유도계량은

$h_{\mu\nu} g_{\mu\nu} \epsilon n_\mu n_\nu$

이다.

외재곡률은

$K_{\mu\nu} h_\mu{}^\rho h_\nu{}^\sigma\nabla_\rho n_\sigma$

이고 그 trace는

$K h^{\mu\nu}K_{\mu\nu}$

이다.

GHY 항은

$S_{\mathrm{GHY}} \frac{1}{\kappa} \int_{\partial\mathcal M}d^3y\sqrt{|h|},\epsilon K$

이다.

따라서 전체 중력 작용량은

$S_{\mathrm{grav}} \frac{1}{2\kappa} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g},(R-2\Lambda) + \frac{1}{\kappa} \int_{\partial\mathcal M}d^3y\sqrt{|h|},\epsilon K$

이다.

경계가 조각별로 매끄럽고 모서리 또는 corner가 있으면 추가적인 corner term이 필요할 수 있다. 또한 null boundary에서는 $K$ 기반의 표준 GHY 항이 그대로 적용되지 않으며, null generator의 비affine parameter와 transverse geometry를 이용한 별도 경계항이 필요하다.

물질장 작용량은 일반적으로

$S_{\mathrm{matter}} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}, \mathcal L_{\mathrm{matter}}$

로 쓴다.

에너지-운동량 텐서는

$T_{\mu\nu} := \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta g^{\mu\nu}}$

로 정의한다.

따라서

$\delta S_{\mathrm{matter}} -\frac12 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}, T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$

이다.

물질 Lagrangian이 계량에는 의존하지만 계량의 미분에는 의존하지 않는 경우,

$T_{\mu\nu} -2\frac{\partial\mathcal L_{\mathrm{matter}}}{\partial g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu}\mathcal L_{\mathrm{matter}}$

이다.

단, 비최소 결합 $R\phi^2$, 고차미분 물질장, spin connection을 통한 스피너 결합처럼 계량의 미분 또는 vierbein에 의존하는 경우에는 위의 단순 공식만으로는 부족하고 전체 변분 정의를 사용해야 한다.

전체 작용량의 계량 변분은

$\delta S \frac12 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac{1}{\kappa} \left( G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} \right) T_{\mu\nu} \right]\delta g^{\mu\nu}$

이다.

임의의 $\delta g^{\mu\nu}$에 대해 $\delta S=0$이면

$G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} \kappa T_{\mu\nu}$

이다.

trace를 취하면 4차원에서

$-R+4\Lambda \kappa T$

즉,

$R 4\Lambda-\kappa T$

이다.

우주상수가 없으면

$R=-\kappa T$

이다.

이때 Einstein 방정식은 trace-reversed form으로도 쓸 수 있다.

$R_{\mu\nu} \kappa \left( T_{\mu\nu} \frac12 g_{\mu\nu}T \right) + \Lambda g_{\mu\nu}$

실수 스칼라장 $\phi$의 최소 결합 작용량은

$S_\phi \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ -\frac12 g^{\mu\nu}\nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi V(\phi) \right]$

이다.

스칼라장에 대해서는

$\nabla_\mu\phi=\partial_\mu\phi$

이다.

Euler-Lagrange 방정식은

$\Box\phi \frac{dV}{d\phi} 0$

이다.

여기서

$\Box\phi \nabla_\mu\nabla^\mu\phi \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu \left( \sqrt{-g}g^{\mu\nu}\partial_\nu\phi \right)$

이다.

에너지-운동량 텐서는

$T_{\mu\nu}^{(\phi)} \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi \frac12 g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi g_{\mu\nu}V(\phi)$

이다.

trace는 4차원에서

$T^{(\phi)} -\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi 4V(\phi)$

이다.

대표적인 퍼텐셜은

$V(\phi) \frac12 m^2\phi^2 + \frac{\lambda}{4!}\phi^4$

이다.

운동방정식은

$\Box\phi m^2\phi \frac{\lambda}{3!}\phi^3 0$

이다.

평탄공간 극한에서 $\Box=-\partial_t^2+\nabla^2$이므로 자유 massive scalar의 방정식은

$(\Box-m^2)\phi=0$

이다.

이는 $(-+++)$ 부호에서 Klein-Gordon 방정식의 표준 형태이다.

곡률과 직접 결합하는 스칼라장 작용량은

$S_\phi \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ -\frac12\nabla_\mu\phi\nabla^\mu\phi V(\phi) \frac12\xi R\phi^2 \right]$

이다.

스칼라장 방정식은

$\Box\phi V'(\phi) \xi R\phi 0$

이다.

에너지-운동량 텐서는

$T_{\mu\nu}^{(\phi,\xi)} \nabla_\mu\phi\nabla_\nu\phi \frac12g_{\mu\nu}\nabla_\rho\phi\nabla^\rho\phi g_{\mu\nu}V(\phi) + \xi \left[ G_{\mu\nu}\phi^2 + g_{\mu\nu}\Box(\phi^2) \nabla_\mu\nabla_\nu(\phi^2) \right]$

이다.

이 표현에는 $G_{\mu\nu}\phi^2$ 항이 포함되어 있으므로 Einstein 방정식에 대입하면

$\left( \frac{1}{\kappa} \xi\phi^2 \right)G_{\mu\nu} + \frac{\Lambda}{\kappa}g_{\mu\nu} T_{\mu\nu}^{(\mathrm{minimal\ part})} + \xi \left[ g_{\mu\nu}\Box(\phi^2) \nabla_\mu\nabla_\nu(\phi^2) \right]$

처럼 $G_{\mu\nu}$ 항을 좌변으로 옮겨 쓰기도 한다.

$D$차원에서 conformal coupling은

$\xi_{\mathrm{conf}} \frac{D-2}{4(D-1)}$

이다.

4차원에서는

$\xi_{\mathrm{conf}} \frac16$

이다.

복소 스칼라장 $\Phi$의 작용량은

$S_\Phi \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ g^{\mu\nu}\nabla_\mu\Phi^\ast\nabla_\nu\Phi V(|\Phi|^2) \right]$

이다.

$\Phi$와 $\Phi^\ast$를 독립장으로 취급하면 운동방정식은

$\Box\Phi \frac{\partial V}{\partial\Phi^\ast} 0$

$\Box\Phi^\ast \frac{\partial V}{\partial\Phi} 0$

이다.

전역 $U(1)$ 대칭

$\Phi\mapsto e^{i\alpha}\Phi$

에 대한 Noether 전류는

$j^\mu -i \left( \Phi^\ast\nabla^\mu\Phi \Phi\nabla^\mu\Phi^\ast \right)$

이다.

on-shell에서

$\nabla_\mu j^\mu=0$

이다.

에너지-운동량 텐서는

$T_{\mu\nu}^{(\Phi)} \nabla_\mu\Phi^\ast\nabla_\nu\Phi + \nabla_\nu\Phi^\ast\nabla_\mu\Phi g_{\mu\nu} \left( \nabla_\rho\Phi^\ast\nabla^\rho\Phi + V(|\Phi|^2) \right)$

이다.

전자기 퍼텐셜 $A_\mu$의 장세기는

$F_{\mu\nu} \nabla_\mu A_\nu \nabla_\nu A_\mu \partial_\mu A_\nu \partial_\nu A_\mu$

이다.

Maxwell 작용량은

$S_{\mathrm{EM}} -\frac14 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}, F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$

이다.

외부 전류 $J^\mu$와 결합하면

$S_{\mathrm{EM+J}} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ -\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} J^\mu A_\mu \right]$

이다.

$A_\mu$에 대해 변분하면

$\nabla_\mu F^{\mu\nu} J^\nu$

이다.

Bianchi 항등식은

$\nabla_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0$

이다.

미분형식으로는

$F=dA$

$dF=0$

$d\star F=\star J$

이다.

에너지-운동량 텐서는

$T_{\mu\nu}^{(\mathrm{EM})} F_{\mu\rho}F_\nu{}^\rho \frac14g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}$

이다.

$D$차원에서 trace는

$T^\mu{}_\mu \left( 1-\frac{D}{4} \right) F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}$

이다.

따라서 $D=4$에서는

$T^\mu{}_\mu=0$

이다.

Lorenz gauge는

$\nabla_\mu A^\mu=0$

이다.

현재 문서의 규약

$F_{\mu\nu} \nabla_\mu A_\nu-\nabla_\nu A_\mu$

$\nabla_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu$

을 쓰면

$\Box A_\nu R_{\nu\mu}A^\mu J_\nu$

이다.

단, 일부 문헌은 $F_{\mu\nu}$ 또는 Maxwell 방정식의 부호를 반대로 정의하므로 우변 부호가 달라질 수 있다.

Maxwell 이론은 gauge 변환

$A_\mu \mapsto A_\mu+\nabla_\mu\lambda$

에 대해 불변이다.

장세기는 변하지 않는다.

$F_{\mu\nu} \mapsto F_{\mu\nu}$

전류 보존

$\nabla_\mu J^\mu=0$

은 Maxwell 방정식의 consistency condition이다.

복소 스칼라장 $\Phi$가 $U(1)$ gauge 장 $A_\mu$에 결합하면

$D_\mu\Phi (\nabla_\mu-iqA_\mu)\Phi$

이다.

Gauge 변환은

$\Phi\mapsto e^{iq\lambda(x)}\Phi$

$A_\mu\mapsto A_\mu+\partial_\mu\lambda$

이다.

작용량은

$S \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ -\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} g^{\mu\nu}(D_\mu\Phi)^\ast D_\nu\Phi V(|\Phi|^2) \right]$

이다.

스칼라장 방정식은

$D_\mu D^\mu\Phi \frac{\partial V}{\partial\Phi^\ast} 0$

이다.

Gauge 장 방정식은

$\nabla_\mu F^{\mu\nu} J^\nu$

이고,

$J^\nu iq \left[ \Phi^\ast D^\nu\Phi \Phi(D^\nu\Phi)^\ast \right]$

이다.

Higgs형 퍼텐셜은

$V(|\Phi|^2) \lambda \left( |\Phi|^2 \frac{v^2}{2} \right)^2$

로 쓴다.

진공에서는

$|\Phi|=\frac{v}{\sqrt2}$

이고, gauge 장은 Higgs mechanism에 의해 질량을 얻는다.

비가환 gauge 군 $G$의 Lie algebra 생성자를 $T^a$라 하자.

$[T^a,T^b] if^{abc}T^c$

정규화는

$\operatorname{Tr}(T^aT^b) \frac12\delta^{ab}$

로 둔다.

Gauge 장은

$A_\mu=A_\mu^aT^a$

이다.

공변미분은

$D_\mu \nabla_\mu igA_\mu$

이다.

장세기는

$F_{\mu\nu} \frac{i}{g}[D_\mu,D_\nu] \partial_\mu A_\nu \partial_\nu A_\mu ig[A_\mu,A_\nu]$

이다.

성분으로는

$F_{\mu\nu}^a \partial_\mu A_\nu^a \partial_\nu A_\mu^a + gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c$

이다.

Yang-Mills 작용량은

$S_{\mathrm{YM}} -\frac12 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}, \operatorname{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})$

이다.

성분으로 쓰면

$S_{\mathrm{YM}} -\frac14 \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}, F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}$

이다.

운동방정식은

$D_\mu F^{\mu\nu}=0$

이다.

성분으로는

$\nabla_\mu F^{a\mu\nu} + gf^{abc}A_\mu^bF^{c\mu\nu} 0$

이다.

Bianchi 항등식은

$D_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0$

또는 미분형식으로

$DF=0$

이다.

에너지-운동량 텐서는

$T_{\mu\nu}^{(\mathrm{YM})} F_{\mu\rho}^aF_\nu{}^{a\rho} \frac14g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}^aF^{a\rho\sigma}$

이다.

4차원 고전 Yang-Mills 이론은 질량항이 없을 때 classically traceless이다.

$T^\mu{}_\mu=0$

단, 양자론에서는 trace anomaly가 생길 수 있다.

스피너장을 곡률시공간에 결합하려면 vierbein 또는 tetrad가 필요하다.

$g_{\mu\nu} e_\mu{}^a e_\nu{}^b\eta_{ab}$

역 vierbein은

$e^\mu{}a e\mu{}^b \delta_a{}^b$

$e^\mu{}a e\nu{}^a \delta^\mu{}_\nu$

를 만족한다.

곡률공간 gamma matrix는

$\gamma^\mu e^\mu{}_a\gamma^a$

이다.

평탄공간 gamma matrix는

${\gamma^a,\gamma^b} 2\eta^{ab}$

를 만족한다.

따라서

${\gamma^\mu,\gamma^\nu} 2g^{\mu\nu}$

이다.

Vierbein 행렬식은

$e=\det(e_\mu{}^a)=\sqrt{-g}$

이다.

스피너 공변미분은

$\nabla_\mu\psi \partial_\mu\psi + \frac14\omega_{\mu ab}\gamma^{ab}\psi$

이다.

여기서

$\gamma^{ab} \frac12[\gamma^a,\gamma^b]$

이다.

adjoint에 대해서는

$\nabla_\mu\bar\psi \partial_\mu\bar\psi \frac14\omega_{\mu ab}\bar\psi\gamma^{ab}$

이다.

Spin connection은 tetrad postulate

$\nabla_\mu e_\nu{}^a \partial_\mu e_\nu{}^a \Gamma^\rho_{\mu\nu}e_\rho{}^a + \omega_\mu{}^a{}b e\nu{}^b 0$

로 결정된다.

곡률시공간에서 Hermitian form의 Dirac 작용량은

$S_{\mathrm{Dirac}} \int_{\mathcal M}d^4x,e \left[ \frac{i}{2} \left( \bar\psi\gamma^\mu\nabla_\mu\psi \nabla_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi \right) m\bar\psi\psi \right]$

이다.

운동방정식은

$i\gamma^\mu\nabla_\mu\psi m\psi 0$

이다.

adjoint 방정식은

$i\nabla_\mu\bar\psi\gamma^\mu + m\bar\psi 0$

이다.

Gauge 장과 결합하면

$D_\mu\psi \nabla_\mu\psi iqA_\mu\psi$

이다.

Dirac 전류는

$j^\mu q\bar\psi\gamma^\mu\psi$

이다.

스피너의 에너지-운동량 텐서는 vierbein 변분으로 정의하는 것이 가장 자연스럽다.

$T^\mu{}_a -\frac{1}{e} \frac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta e_\mu{}^a}$

대칭화된 spacetime tensor는 on-shell에서 보통

$T_{\mu\nu}^{(\mathrm{Dirac})} \frac{i}{4} \left[ \bar\psi\gamma_{(\mu}\nabla_{\nu)}\psi \nabla_{(\mu}\bar\psi\gamma_{\nu)}\psi \right]$

형태로 쓴다. 질량항은 방정식을 이용하면 이 대칭화된 표현에 흡수되어 나타난다.

질량을 가진 벡터장 $A_\mu$의 작용량은

$S_{\mathrm{Proca}} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g} \left[ -\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \frac12m^2A_\mu A^\mu \right]$

이다.

운동방정식은

$\nabla_\mu F^{\mu\nu} m^2A^\nu 0$

이다.

발산을 취하면 antisymmetry 때문에

$m^2\nabla_\nu A^\nu=0$

이다.

따라서 $m\neq0$이면

$\nabla_\nu A^\nu=0$

이다.

이는 gauge condition이 아니라 운동방정식에서 나오는 constraint이다.

에너지-운동량 텐서는

$T_{\mu\nu}^{(\mathrm{Proca})} F_{\mu\rho}F_\nu{}^\rho \frac14g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma} + m^2 \left( A_\mu A_\nu \frac12g_{\mu\nu}A_\rho A^\rho \right)$

이다.

Massless Maxwell 장은 4차원에서 2개의 물리적 자유도를 가지지만, massive Proca 장은 3개의 물리적 자유도를 가진다.

$p$-form gauge potential을

$A_p \frac{1}{p!} A_{\mu_1\cdots\mu_p} dx^{\mu_1}\wedge\cdots\wedge dx^{\mu_p}$

라 하자.

장세기는

$F_{p+1}=dA_p$

이다.

성분으로는

$F_{\mu_0\mu_1\cdots\mu_p} (p+1)\partial_{[\mu_0}A_{\mu_1\cdots\mu_p]}$

이다.

작용량은 $D$차원에서

$S_p -\frac{1}{2(p+1)!} \int_{\mathcal M}d^Dx\sqrt{-g}, F_{\mu_1\cdots\mu_{p+1}} F^{\mu_1\cdots\mu_{p+1}}$

이다.

운동방정식은

$\nabla_{\mu_1} F^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_{p+1}} 0$

이다.

미분형식으로는

$d\star F_{p+1}=0$

이다.

Bianchi 항등식은

$dF_{p+1}=0$

이다.

Gauge 대칭은

$A_p \mapsto A_p+d\Lambda_{p-1}$

이다.

에너지-운동량 텐서는

$T_{\mu\nu}^{(p)} \frac{1}{p!} F_{\mu\alpha_1\cdots\alpha_p} F_\nu{}^{\alpha_1\cdots\alpha_p} \frac{1}{2(p+1)!}g_{\mu\nu} F_{\alpha_0\cdots\alpha_p} F^{\alpha_0\cdots\alpha_p}$

이다.

완전유체의 에너지-운동량 텐서는

$T_{\mu\nu} (\rho+p)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}$

이다.

여기서

$u_\mu u^\mu=-1$

이다.

보존방정식은

$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$

이다.

$u_\nu$ 방향으로 사영하면 에너지 보존식을 얻는다.

$u^\mu\nabla_\mu\rho + (\rho+p)\nabla_\mu u^\mu 0$

공간 투영텐서를

$P_{\mu\nu} g_{\mu\nu} + u_\mu u_\nu$

라 하면 Euler 방정식은

$(\rho+p)u^\mu\nabla_\mu u_\alpha + P_\alpha{}^\mu\nabla_\mu p 0$

이다.

상태방정식은 보통

$p=w\rho$

로 둔다.

대표적인 경우는

$w=0$

인 먼지,

$w=\frac13$

인 복사,

$w=-1$

인 우주상수형 유체이다.

현상론적으로는

$S_{\mathrm{fluid}} \int_{\mathcal M}d^4x\sqrt{-g}, \mathcal L_{\mathrm{fluid}}$

로 쓸 수 있다.

특정 조건에서는 on-shell에서

$\mathcal L_{\mathrm{fluid}}=p$

로 둘 수 있지만, 완전한 변분 원리에는 입자수 보존, 엔트로피 보존, Clebsch potential, 유체 좌표 등의 제약조건이 필요하다.

질량 $m$을 가진 자유 점입자의 작용량은

$S_{\mathrm{particle}} -m\int d\tau$

이다.

일반 매개변수 $\lambda$를 쓰면

$S_{\mathrm{particle}} -m \int d\lambda \sqrt{ g_{\mu\nu}(x) \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda} }$

이다.

변분하면 측지선 방정식을 얻는다.

$\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} 0$

전자기장과 결합한 전하 $q$의 점입자 작용량은

$S -m\int d\tau + q\int A_\mu dx^\mu$

이다.

운동방정식은 Lorentz force 법칙이다.

$m \left( \frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} \right) qF^\mu{}_\nu \frac{dx^\nu}{d\tau}$

세계선 재매개변수 불변성을 명확히 하려면 einbein $e(\lambda)$을 도입하여

$S \frac12 \int d\lambda \left[ e^{-1}g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu em^2 \right]$

로 쓸 수도 있다. $e$를 제거하면 위의 Nambu-Goto형 점입자 작용량과 동등하다.

FLRW 계량은

$ds^2 - N(t)^2dt^2 + a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2d\Omega_2^2 \right]$

이다.

여기서

*
* $a(t)$: scale factor
* $k=+1,0,-1$: 공간 곡률
* $V_0$: comoving 공간 부피

평탄한 경우 $k=0$이면

$ds^2 - N(t)^2dt^2 + a(t)^2\delta_{ij}dx^idx^j$

이다.

부분적분과 GHY 처리를 마친 중력 minisuperspace 작용량은

$S_{\mathrm{grav}} \frac{3V_0}{\kappa} \int dt \left[ \frac{a\dot a^2}{N} + kNa \frac{\Lambda}{3}Na^3 \right]$

이다.

균질 스칼라장 $\phi(t)$의 작용량은

$S_\phi V_0 \int dt, Na^3 \left[ \frac{1}{2N^2}\dot\phi^2 V(\phi) \right]$

이다.

전체 minisuperspace 작용량은

$S V_0 \int dt \left[ \frac{3}{\kappa} \left( -\frac{a\dot a^2}{N} + kNa \frac{\Lambda}{3}Na^3 \right) + Na^3 \left( \frac{\dot\phi^2}{2N^2} V(\phi) \right) \right]$

이다.

Lapse "math(N)" (lapse)을 남겨둔 경우 Hubble 변수는

$H_N \frac{\dot a}{Na}$

이다.

"math(N)" (lapse)에 대한 변분은 Friedmann constraint를 준다.

$H_N^2 + \frac{k}{a^2} \frac{\kappa}{3}\rho + \frac{\Lambda}{3}$

여기서 균질 스칼라장의 에너지 밀도와 압력은

$\rho_\phi \frac{1}{2N^2}\dot\phi^2 + V(\phi)$

$p_\phi \frac{1}{2N^2}\dot\phi^2 V(\phi)$

이다.

Cosmic time gauge $N=1$에서는

$H=\frac{\dot a}{a}$

이고,

$\rho_\phi \frac12\dot\phi^2+V(\phi)$

$p_\phi \frac12\dot\phi^2-V(\phi)$

이다.

스칼라장 방정식은 $N=1$에서

$\ddot\phi + 3H\dot\phi + V'(\phi) 0$

이다.

가속도 방정식은

$\frac{\ddot a}{a} -\frac{\kappa}{6}(\rho+3p) + \frac{\Lambda}{3}$

이다.

연속방정식은

$\dot\rho + 3H(\rho+p)=0$

이다.

ADM 형식에서 계량은

$ds^2 - N^2dt^2 + h_{ij} (dx^i+N^idt) (dx^j+N^jdt)$

이다.

여기서

*
*
* $h_{ij}$: 공간 3-계량

단위 시간법선은

$n_\mu=(-N,0,0,0)$

$n^\mu= \left( \frac1N,-\frac{N^i}{N} \right)$

이고,

$n_\mu n^\mu=-1$

이다.

외재곡률은 이 문서의 ADM 부호 규약에서

$K_{ij} \frac{1}{2N} \left( \dot h_{ij} D_iN_j D_jN_i \right)$

이다.

ADM 중력 작용량은

$S_{\mathrm{ADM}} \frac{1}{2\kappa} \int dt,d^3x, N\sqrt h \left( {}^{(3)}R + K_{ij}K^{ij} K^2 2\Lambda \right)$

이다.

켤레운동량은

$\pi^{ij} \frac{\sqrt h}{2\kappa} \left( K^{ij} h^{ij}K \right)$

이다.

그 trace는

$\pi=h_{ij}\pi^{ij} -\frac{\sqrt h}{\kappa}K$

이다.

Hamiltonian constraint는

$\mathcal H \frac{2\kappa}{\sqrt h} \left( \pi_{ij}\pi^{ij} \frac12\pi^2 \right) \frac{\sqrt h}{2\kappa} \left( {}^{(3)}R 2\Lambda \right) + \mathcal H_{\mathrm{matter}} 0$

이다.

Momentum constraint는

$\mathcal H_i -2D_j\pi^j{}i + \mathcal H{i,\mathrm{matter}} 0$

이다.

전체 Hamiltonian은

$H \int d^3x \left( N\mathcal H + N^i\mathcal H_i \right) + H_{\partial\Sigma}$

이다.

닫힌 공간절편에서는 경계 Hamiltonian이 없을 수 있지만, 비콤팩트 점근평탄 시공간에서는 $H_{\partial\Sigma}$가 ADM 에너지, 운동량, 각운동량과 연결된다.