역사 보기 RAW Blame 되돌리기 비교

극한(비교)

 r50 vs r51
 ...
 ==== 참고사항1 ====
 {{{+2 내점이면 극한점이 되는 이유}}}
-먼저 [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이려면 내점의 정의에 따라 다음을 만족해야 한다.
+[math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이라고 하면  [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 됨을 보이자.
+{{{+1 '''1.'''}}} 내점의 정의에 따라 다음을 만족한다.
 ||[math(a \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D)]
 를 만족하는 적당한 양수 [math(c_{1})]가 존재한다.||
-. 여기에서
+{{{+1 '''2.'''}}} '''1.'''에서 다음을 만족한다.
 ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset D)]||
-이므로
+{{{+1 '''3.'''}}} '''2.'''의 집합의 원소로는 [math(a-c_{1})]와 [math(a)]의 산술평균인 [math(\displaystyle{{{\left(a-c_{1}\right)+a}\over {2}}})]을 생각할 수 있으며.  사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많으면서 [math(D)]의 원소이다.
+따라서 다음을 만족한다.
 ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
-을 만족한다.  ([math(a-c_{1})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자.  사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많다.)
-. [math(c_{2} \leq c_{1})]인 임의의 양수 [math(c_{2})]에 대하여
-||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D)]||
-이므로
-||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
-을 만족한다.  ([math(a-c_{2})]와 [math(a)]의 산술평균을 생각해보자.)
-. 따라서 임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 [math(c_{2})]를 [math(c_{1})]과 [math(c)]중 작은 값으로 두자.  그러면
-||[math(\left(\left\{x|a-c_{2}<x<a+c_{2}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
-의 식을 만족한다.
-[math(c \leq c_{1})]이면 2번과 같은 방법으로 성립되며, [math(c > c_{1})]이면 1번에서
-||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]||
-이 되기 때문에 식이 성립한다.
-그러므로
+{{{+1 '''4.'''}}} '''3.'''에서 [math({\color{green}c_{2}} \leq c_{1})]인 임의의 양수 [math({\color{green}c_{2}} )]에 대하여
+||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D)]||
+이 되며, 다음 집합은 ([math(a-c_{2})]보다 크면서 [math(a)]보다 작은 실수는 무수히 많으면서도) [math(D)]의 부분집합이며 또한 공집합이 아니다.
+||[math(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\})]||
+따라서 다음을 만족한다.
+||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\}\right) \cap D \neq \emptyset)]||
+{{{+1 '''5.'''}}} 임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 [math({\color{red}c_{3}})]를 [math(c_{1})]과 [math({\color{blue}c})]중 작은 값으로 두자.
+여기서 다음을 보이고자 한다.
+||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
+{{{+1 '''6.'''}}} [math(c_{1})]과 [math({\color{blue}c})]의 대소는 [math({\color{blue}c} > c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} = c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} < c_{1})] 이다.
+{{{+1 '''7.'''}}} 만일 [math({\color{blue}c} \leq c_{1})]이라고 하자.
+그러면 [math({\color{red}c_{3}}={\color{blue}c}\leq c_{1})]이 된다.
+이 때  '''4.'''와 같은 방법으로 [math({\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}})] 으로 두면 다음의 식을 만족한다.
+||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}}<x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
+여기서 [math({\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}}={\color{blue}c})]이 되었으므로 다음이 성립한다.
 ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
-을 만족하며, [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면  [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다.
+{{{+1 '''8.'''}}} 만일 [math({\color{blue}c} > c_{1})]이라고 하자.
+그러면 '''1.'''에서
+||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]
+[math({\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]||
+이 된다.  여기에서 다음이 성립한다.
+||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]
+[math({\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]||
+이 때 '''2.''', '''3.'''에서
+||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
+가 성립한다.
+공집합이 아닌 다음 집합인
+||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]||
+을 포함하는 집합 곧
+||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]||
+은 공집합이 아니므로 다음 식이 성립된다. (공집합이 아닌 집합을 포함하는 집합은 공집합이 아니다.)
+||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
+{{{+1 '''9.'''}}} '''7.'''과 '''8.'''에 따라 다음이 성립된다.
+||임의의 [math({\color{blue}c})]에 대하여
+[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
+따라서 [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면  [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다.
 참고로, __주의할 점이 있는데 [math(D)]의 극한점이라고 해서 [math(D)]의 내점이 되지는 않__는다.  만일 [math(D)]가 [math(\mathbb{R})]의 모든 유리수들만을 모아놓은 집합(곧 유리수 전체의 집합 [math(\mathbb{Q})])이고 여기서 임의의[math(x=p)] 지점을 가져왔다고 하자.
 임의의 양수 [math(c)]에 대하여 다음 집합인
 ||[math(\left\{x|p-c<x<p+c\right\})]||
 ...
 >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면
 >[math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다.
-{{{+1 '''5.'''}}} '''4.'''의 두 명제를 합하면 다음 명제는 참이 된다. (필요조건이 동일하므로, 충분조건만을 합치면 된다.)
+{{{+1 '''5.'''}}} '''4.'''의 두 명제를 합하면 다음 명제는 참이 된다. (충분조건이 동일하므로, 필요조건만을 합치면 된다.)
 >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면
 >[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]__이면서__ [math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다.
 ...