극한(r50 Blame)

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 r50
-r1
rtyuio1357
+[[분류:수학]]
-r40
disciple153
+[tableofcontents]
-r1
rtyuio1357
+== 개요 ==
-r10
disciple153
+수학에서 [math(x)]가 [math(a)]에 가까워질 때, [math(f(x))]가 한없이 [math(L)]에 가까워지면 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]이다.
-r4
disciple153
+이때, [math(x)]는 [math(a)]가 무조건 맞지는 않는다.
-r7
rtyuio1357
+== 수열 ==
-r8
rtyuio1357
+무한 수열 [math(a_{n})] 에 대해 [math(n)]이 무한히 커지고 [math(a_{n})]이 [math(L)]에 가까워지면 [math({\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L )] 이라고 한다.
-r10
disciple153
-r4
disciple153
+== 엡실론‐델타법 ==
-r40
disciple153
+고등학교 과정을 넘어가면 다음과 같이 엄밀하게 배운다.  기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합(, 집합의 표기법, 포함관계, 멱집합, 집합의 연산), 명제, 부등호, 절댓값, 함수(, 정의역, 공역, 함숫값), 수열 등의 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition), 정리(Theorem)들이므로 이해하기 쉬울 수 있다.  "근방" 등의 일부 기호는 풀어서 서술함을 밝힌다.
-r30
disciple153
+ * 먼저 실수 전체집합을 [math(\mathbb{R})]이라 하자.
-r39
disciple153
+ * 공역을 [math(\mathbb{R})]로 두면서도 실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 [math(D)]라 하자.  (교과서에 따라 [math(E)]라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 [math(D)]로 적는다.)
-r30
disciple153
+  * (당연히 [math(D \subset \mathbb{R})]이 된다.)
   * (또한 이는 [math(f:D \to \mathbb{R})]이 된다.)
-r10
disciple153
-r30
disciple153
+=== 어떤 지점에서의 함수의 극한 ===
-r18
disciple153
+[math(x \to a)]의 경우는 다음과 같이 된다.
-r30
disciple153
+들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다.
-r38
disciple153
+||[math(f\left(x\right))]의 정의역에 대하여 [math(x=a)]가 __[math(D)]의 극한점(limit point)__[*보통위상 실수 전체 집합 [math(\mathbb{R})]에서의 "보통위상(Usual Topology)" 곧 "[math(\mathbb{R})]에서 열린 구간(이를테면 [math(\left\{x|a<x<b, \ a,b \in \mathbb{R}\right\})])들, 또는 이들의 임의의 합집합(무한 개의 합집합이여도 된다.), 또는 이들의 유한 개의 교집합__으로 구성된  [math(\mathbb{R})]의 부분집합을 원소__로 가지는 집합 [math(\mathcal{T})](이 집합은 당연히 [math(\mathcal{P}(\mathbb{R}))]의 부분집합이다.)을 갖춘 위상"에서는 집적점(accumunation point)을 극한점(limit point)으로 부른다.  고등학교 과정에서 배우는 극한은 특별한 언급이 없다면 모두 보통위상에서의 극한이다.]일 것.||
-r18
disciple153
-r41
disciple153
+[math(x=a)]가 "[math(D)]의 극한점이 됨"을 보이려면 (꼭 [math(a \in D)]일 필요는 없다.)
 ||임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여
-r32
disciple153
+[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D  \neq \emptyset)]||
-r41
disciple153
+임을 보여야한다.
 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루는 경우라면 정의역의 모든 점 및 경계에 해당되는 지점들(로그함수의 경우에는 간단한 경우 진수가 0으로 되는 [math(x)]의 지점들)이 극한점으로 될 수 있으나, 간혹 정의역 [math(D)]가 복잡하게 제한되는 경우가 있다. 이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다.
 그러한 경우에는 극한을 계산하고자 하는 [math(x)]의 지점이 극한점이 됨을 증명해야 한다.
 [math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이어도 충분하다.  왜냐면  [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면 __곧 극한점이 되기 때문__이다.  자세한 이유는 [[#극한점 전제조건|아래 하위 문단의 내용]] 참조.
 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다.
 ||[math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]와 [math(a)]에 대하여
 아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ("오차"라는 뜻의 error를 생각해보자.)
 상수 [math(L \in \mathbb{R})]에 대하여 다음 명제 곧
 > __[math(x \in D)]이고__ [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면[* 이는 [math(0 < \left\| x-a \right\| < \delta)]와 동치이며, 여기에서 꼭 [math(x=a)]__일 필요는 없음__이 나타닌다.]
 > [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다.[* 이는 [math({\color{gray}0\leq \ }\left\| f \left(x \right)-L \right\| < \epsilon)]와 동치이다.  회색으로 칠한 부등호([math(0\leq )]) 부분은 [math(f \left(x \right))]와 [math(L)]의 오차가 [math(0)]으로 나오는 경우([math(f \left(x \right)=L)]이 성립하는 경우.  잘 아는 예로는 함숫값이 [math(x)]의 값에 관계없이 일정한 상수로만 나오는 함수가 있다.)가 있으므로 기술을 잘 하지 않는 편이다.]
 를 참이 되게 할 수 있는 __적당한 양수 [math(\delta)]를 항상 정할 수__ 있는 상수 [math(L)]이 존재할 때 ("편차"라는 뜻의 difference를 생각해보자.)
 함수 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 [math(L)]로 '''수렴한다'''고 말하며 (동치로서) 기호로는 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]으로 표기한다.
 만일 해당되는 [math(L)]이 존재하지 않으면, [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 '''발산한다'''고 말한다. ||
 ==== 참고사항1 ====
 {{{+2 내점이면 극한점이 되는 이유}}}
-r42
disciple153
-r50
disciple153
+[math(x=a)]가 [math(D)]의 "내점(Interior point)"이라고 하면  [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이 됨을 보이자.
 {{{+1 '''1.'''}}} 내점의 정의에 따라 다음을 만족한다.
-r36
disciple153
+||[math(a \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D)]
-r32
disciple153
+를 만족하는 적당한 양수 [math(c_{1})]가 존재한다.||
-r50
disciple153
 {{{+1 '''2.'''}}} '''1.'''에서 다음을 만족한다.
-r36
disciple153
+||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset D)]||
-r50
disciple153
 {{{+1 '''3.'''}}} '''2.'''의 집합의 원소로는 [math(a-c_{1})]와 [math(a)]의 산술평균인 [math(\displaystyle{{{\left(a-c_{1}\right)+a}\over {2}}})]을 생각할 수 있으며.  사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많으면서 [math(D)]의 원소이다.
 따라서 다음을 만족한다.
-r36
disciple153
+||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
-r41
disciple153
-r50
disciple153
+{{{+1 '''4.'''}}} '''3.'''에서 [math({\color{green}c_{2}} \leq c_{1})]인 임의의 양수 [math({\color{green}c_{2}} )]에 대하여
 ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D)]||
 이 되며, 다음 집합은 ([math(a-c_{2})]보다 크면서 [math(a)]보다 작은 실수는 무수히 많으면서도) [math(D)]의 부분집합이며 또한 공집합이 아니다.
 ||[math(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\})]||
 따라서 다음을 만족한다.
 ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\}\right) \cap D \neq \emptyset)]||
 {{{+1 '''5.'''}}} 임의의 양수 [math({\color{blue}c})]에 대하여 [math({\color{red}c_{3}})]를 [math(c_{1})]과 [math({\color{blue}c})]중 작은 값으로 두자.
 여기서 다음을 보이고자 한다.
 ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
 {{{+1 '''6.'''}}} [math(c_{1})]과 [math({\color{blue}c})]의 대소는 [math({\color{blue}c} > c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} = c_{1})] 이거나 [math({\color{blue}c} < c_{1})] 이다.
 {{{+1 '''7.'''}}} 만일 [math({\color{blue}c} \leq c_{1})]이라고 하자.
 그러면 [math({\color{red}c_{3}}={\color{blue}c}\leq c_{1})]이 된다.
 이 때  '''4.'''와 같은 방법으로 [math({\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}})] 으로 두면 다음의 식을 만족한다.
 ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}}<x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
 여기서 [math({\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}}={\color{blue}c})]이 되었으므로 다음이 성립한다.
-r36
disciple153
+||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
-r30
disciple153
-r50
disciple153
+{{{+1 '''8.'''}}} 만일 [math({\color{blue}c} > c_{1})]이라고 하자.
 그러면 '''1.'''에서
 ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]
 [math({\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right))]||
 이 된다.  여기에서 다음이 성립한다.
 ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]
 [math({\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]||
 이 때 '''2.''', '''3.'''에서
 ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
 가 성립한다.
 공집합이 아닌 다음 집합인
 ||[math(\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]||
 을 포함하는 집합 곧
 ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D)]||
 은 공집합이 아니므로 다음 식이 성립된다. (공집합이 아닌 집합을 포함하는 집합은 공집합이 아니다.)
 ||[math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
 {{{+1 '''9.'''}}} '''7.'''과 '''8.'''에 따라 다음이 성립된다.
 ||임의의 [math({\color{blue}c})]에 대하여
 [math(\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset)]||
 따라서 [math(x=a)]가 [math(D)]의 '내점'이면  [math(x=a)]은 [math(D)]의 '극한점'이 된다.
-r46
disciple153
+참고로, __주의할 점이 있는데 [math(D)]의 극한점이라고 해서 [math(D)]의 내점이 되지는 않__는다.  만일 [math(D)]가 [math(\mathbb{R})]의 모든 유리수들만을 모아놓은 집합(곧 유리수 전체의 집합 [math(\mathbb{Q})])이고 여기서 임의의[math(x=p)] 지점을 가져왔다고 하자.
-r43
disciple153
+임의의 양수 [math(c)]에 대하여 다음 집합인
-r44
disciple153
+||[math(\left\{x|p-c<x<p+c\right\})]||
 를 보자.
-r45
disciple153
+위 집합에서는 [math(c)]가 그 어떤 값이 되어도 무수히 많은 유리수가 존재하면서도 이들은 모두 [math(D)]의 원소이다.  따라서 [math(D)]의 원소에 해당되는 모든 [math(x)]의 지점은 [math(D)]의 극한점이 된다.
 한편, 위 집합에서는 [math(c)]가 그 어떤 값이라도 __무수히 많은 무리수__가 존재하며, 따라서 위 집합은 [math(D)]의 부분집합이 될 수 없다.  따라서 [math(D)]의 원소에 해당되는 모든 [math(x)]의 지점은 [math(D)]의 내점이 아님을 알 수 있다.
-r46
disciple153
+(여담으로 [math(\mathbb{Q})]의 극한점들을 모아놓은 집합은 [math(\mathbb{R})]이 된다.)
-r41
disciple153
+-------
 {{{+2 수렴하는 극한의 유일성}}}
-r42
disciple153
-r41
disciple153
+극한이 [math(L)]로 수렴할 경우, 유일(unique)하다.  (여기 보통위상[*보통위상]에서는.  [[위상]]이 어떤 구성으로 되어있느냐에 따라 수렴하는 극한값이 유일하지 않을 수 있다.)
-r4
disciple153
-r48
disciple153
+{{{+1 '''0.'''}}} 가정하기를(Suppose that) 서로 다른 두 실수 [math(L_{1})]과 [math(L_{2})]에 대하여 [math(L_{1} < L_{2})]이면서
-r47
disciple153
+||[math(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left( x \right)=L_{1}})]이고 [math(\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left( x \right)=L_{2}})]||
 라고 하자.  (곧 [math(x \to a)]의 극한값이 둘이라고 하자.)
 {{{+1 '''1.'''}}} 그러면 함수의 정의에 따라 [math(L_{1})]과 [math(L_{2})]에 따른 임의의 두 양수 [math(\epsilon_{1})],  [math(\epsilon_{2})]에 대하여 ([math(\epsilon_{1})],  [math(\epsilon_{2})]이 그 어떤 값이라도) 적당한 양수 [math(\delta_{1})], [math(\delta_{2})]가 존재하여 다음을 만족한다.  다시 말해, 다음 두 명제는 참이 된다.
 >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{1} < x < a+\delta_{1})]이면
 >[math(L_{1}-\epsilon_{1}< f\left(x\right) < L_{1}+\epsilon_{1})]이다.
 >-------
 >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{2} < x < a+\delta_{2})]이면
 >[math(L_{2}-\epsilon_{2}< f\left(x\right) < L_{2}+\epsilon_{2})]이다.
 {{{+1 '''2.'''}}} 이 때 양수 [math(\epsilon)]을
 ||[math(\displaystyle{{\color{blue}\epsilon} < {{L_{2} - L_{1}}\over{2}}})]||
 을 만족하는 적당한 값으로 두자.
 {{{+1 '''3.'''}}} 이 때 '''2.'''에서 [math(\epsilon_{1}={\color{blue}\epsilon})],  [math(\epsilon_{2}={\color{blue}\epsilon})]으로 두어도 '''1.'''에 따라 적당한 양수 [math(\delta_{1})], [math(\delta_{2})]가 존재하여 다음을 만족한다.
 ([math(\epsilon_{1}=\epsilon_{2}={\color{blue}\epsilon})]을 대입한 것이며, 두 명제는 참이 된다.)
 >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{1} < x < a+\delta_{1})]이면
 >[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]이다.
 >-------
 >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta_{2} < x < a+\delta_{2})]이면
 >[math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다.
-r48
disciple153
+{{{+1 '''4.'''}}} '''3.'''에서 양수 [math(\delta)]를 [math(\delta_{1})]과  [math(\delta_{2})] 중 작은 값으로 결정하면 다음 역시 만족한다.([math(\delta_{1})], [math(\delta_{2})]을 [math({\color{red}\delta})]으로 바꾼 것이며 두 명제는 참이 된다.)
-r47
disciple153
+>[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면
 >[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]이다.
 >-------
 >[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면
 >[math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다.
-r50
disciple153
+{{{+1 '''5.'''}}} '''4.'''의 두 명제를 합하면 다음 명제는 참이 된다. (충분조건이 동일하므로, 필요조건만을 합치면 된다.)
-r47
disciple153
+>[math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta})]이면
 >[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]__이면서__ [math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다.
 {{{+1 '''6.'''}}} 이 때('''5.'''에서) 모순(contradiction)이 발생한다.
 왜냐면 '''5.'''의 결론부분인
 >[math(L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]__이면서__ [math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon})]이다.
 에서 다음 두 집합
 [math(D_{1}=\left\{ y | L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< y < L_{1}+{\color{blue}\epsilon}\right\})]
 [math(D_{2}=\left\{ y | L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< y < L_{2}+{\color{blue}\epsilon}\right\})]
 을 정의하면
 [math(D_{1})]와 [math(D_{2})]는 서로 소이기 때문이다.
  * 더 자세히 말하자면, [math(D_{1})]의 모든 지점은 [math(L_{1}+{\color{blue}\epsilon})]보다 작은 값의 지점이며 [math(D_{2})]의 모든 지점은 [math(L_{2}-{\color{blue}\epsilon})]보다 큰 값의 지점이다.
  * '''2.'''에서 [math(\displaystyle{{\color{blue}\epsilon} < {{L_{2} - L_{1}}\over{2}}})]이므로 ([math(L_{2})]와 [math(L_{1})]의 차이의 절반보다 작은 값이다.)
  [math(L_{1}+{\color{blue}\epsilon} < L_{2}-{\color{blue}\epsilon})]
  이므로 [math(D_{1})]의 그 어느 점도  [math(D_{2})]의 원소가 될 수 없으면서 [math(D_{2})]의 그 어느 점도  [math(D_{1})]의 원소가 될 수 없다.
 따라서 '''5.'''의 명제는 '''거짓이 되는 모순이 생긴다.'''
-r49
disciple153
+{{{+1 '''7.'''}}} '''6.'''에서 시작하여 어디서 거짓이 되었는가를 찾고자 거슬러 올라가고 거슬러 올라가기를 거듭함으로써, 처음 가정했던 '''0.'''이 거짓이 된다.  곧 수렴하는 극한값이 2개가 된다는 말은 거짓이며, 이는 __귀류법에 따라__ 수렴하는 극한의 유일성이 증명된다.
-r47
disciple153
-r41
disciple153
+-------
-r42
disciple153
+[anchor(극한점 전제조건)]{{{+2 극한점임이 전제되어야 하는 이유}}}
-r41
disciple153
+결론부터 말하자면 수렴하는 극한의 유일성에 문제가 발생하기 때문이다.
-r5
disciple153
-r41
disciple153
+만일 [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 없으면 (특히 어떤 값으로 수렴함을 보이는 과정에서) 문제가 발생한다.  앞에서 언급된 극한점의 조건에서 제시된 명제를 보자.
 ||임의의 양수 [math(c)]에 대하여
-r21
disciple153
+[math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D  \neq \emptyset)]||
-r41
disciple153
+이 명제의 부정은
 ||{{{#red 어떤}}} 양수 [math(c)]에 대하여
-r27
disciple153
+[math(\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D {\color{red}\ =\ }\emptyset)]||
-r41
disciple153
+이 된다.
 여기에서 문제점이 생기게 된다. 왜냐면 앞에 말한 함수의 극한의 정의에서 다음
 > [math(x \in D)]이고 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면
 > [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다.
-r37
disciple153
+ 라는 명제에서 문제점이 발생하기 때문인데, [math(x=a)]를 제외한 나머지 [math(D)]에의 [math(x)]의 지점 가운데 [math(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} )] 에 포함되는 지점에서는 '''함숫값이 존재하지 않기 때문에 명제가 거짓'''이 되는 오류가 발생하기 때문이다.  저런 경우는 [math(\delta >c)]인 경우이다.
-r21
disciple153
-r41
disciple153
+만일 저런 것을 고려할(?) 필요 없이 [math(\delta \leq c)]로 정해버리면([math(\delta)]를 충분히 작은 값으로 잡아버리면) [math(L)]의 값과 관계 없이 가정에서 [math(x \in D)] 조건과 [math(x \neq a)], [math(a-\delta < x < a+\delta)] 이라는 조건이 서로 모순되고, 이는 곧 '''가정이 거짓이 되므로 전체적으로 명제가 참'''이 되버리는 오류가 발생하며, 이 때 [math(L)]의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다.
-r37
disciple153
-r41
disciple153
+그러므로  [math(x=a)]가 [math(D)]의 극한점이라는 전제가 있어야 한다.
-r30
disciple153
+=== 수열의 극한 ===
-r13
disciple153
+무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f(x))]가 자연수 [math(n)]에 대한 함수 [math({\color{green}a_{n}})]으로 바뀌었다고 생각해보자.)
 ||무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]에 대하여
 아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도
 상수 [math(L)]에 대하여 다음 명제 곧
 > 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(n>{\color{blue}M})]이면
 > [math(L-\epsilon< {\color{green}a_{n}} < L+\epsilon)]이다.
-r16
disciple153
+를 참이 되게 할 수 있는 __적당한 자연수 [math({\color{blue}M})]을 항상 정할 수__ 있는 상수 [math(L)]이 존재할 때 ("최소한의"라는 뜻의 Minimal을 생각해보자.  교과서에 따라 [math(M)]을 [math(N)]으로 표기하기도 한다.)
-r13
disciple153
 무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]은 [math(L)]으로 '''수렴한다'''고 말하며 (동치로서) 기호로는 [math(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\color{green}a_{n}}=L)]으로 표기한다.
 만일 해당되는 [math(L)]이 존재하지 않으면, 무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]은 '''발산한다'''고 말한다. ||
-r17
disciple153
+이를 이용하여 함수든 수열이든 수렴하는 극한의 사칙연산에 대한 성질, 샌드위치 정리의 성립, [math(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{{1}\over {n}}=0)]의 성립을 증명할 수 있다. (무한 수열에서 [math({{1}\over {n}})], [math({{1}\over {n^2}})], [math({{1}\over {n^3}})] 등으로 바꿀 수 있는 부분은 [math(0)]으로 --안심하고--날릴 수 있다.  다만 0으로 나누는 식이 되지 않도록 주의하자.)
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disciple153
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disciple153
+극한의 엄밀한 정의가 없던 때, 무한수열 [math(a_{n}=)][math(1)], [math(0)], [math(1)], [math(0)], [math(1)], [math(0)], [math(\ldots)]에 대하여 "[math(0)]과 [math(1)]이 반복되니 이 수열의 극한값은 그 중간값인 [math({{1}\over{2}})]가 되지 않을까?"라는 말이 오갔다는 카더라가 있다.  엄밀한 정의가 생겨난 지금에서는 "발산한다"는 결론이 쉽게 나지만.
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disciple153