나눗셈(r13 판)

"0으로 나누기"는 되지도 않고 정의하지도 않는다.

먼저 0을 곱하여 0이 나올 수 있는 수는 셀 수 없이 많으며, 어떤 수에 0을 곱해도 0이 된다. 곧 $1 \times 0 =0$만이 성립할 뿐만 아니라 $2 \times 0 =0$도 성립한다. 생각을 더 해보면 다음을 알 수 있다.

이런 계산에서 시각을 달리 보면, '0으로 나누기'가 되지 않는 이유로는 0을 곱해서 0이 아닌 수가 나올 수 없기 때문임을 알 수 있다. 1에 0을 곱한 식만 보더라도

또한 '0으로 나누기'를 하면 몫을 결정할 수 없다. $1$만 하더라도 얼만큼 나누어야 하는 계산으로서 $0$으로 나누기를 한다고 하면, $1$에서 몇 번이고 $0$을 빼도 $1$은 $1$ 그대로 되므로 $1$은 $0$으로 영원히 나누어떨어지지 않는다. $1$만 하더라도 몫을 영원히 결정할 수 없는데 몫이 나올 수 있을까?

0이 아닌 수에서 '0으로 나누기'가 되지 않는데, 0에서 '0으로 나누기'는 가능할까? 불가능하다. $0$에서 $0$을 몇 번이고 빼도 $0$이다. 애초부터 $0$에서 $0$을 빼지 않아도 이미 값은 "어떤 수로 나눈다 해도 나누어떨어진" 값 곧 나눠야 하는 만큼 빼고 나머지가 $0$이 된 상태이다. 이미 이런 상태인 $0$에서 '0으로 나누기'를 도입할 의미가 없다.
이런 혼돈이 있으므로 0으로 나누기는 불가능하다.

$0^0$ 역시 정의하지 않는다.
제곱의 의미를 다시 보자면 $0$을 몇 번 곱한 것과 같으냐에 따라 지수를 매기는 의미이다.
함수$f(x)=x^{x}$에 대하여 $f(0)=0^0$에서
$f(0)={\displaystyle{\lim_{x \to 0^{-}} {f(x)}}}$
이라는 등식조차 성립이 불가능하다. ($x=0)에서 [[연속(수학)|연속]]이 아니다.) 우변은 좌극한[* 수직선을 생각해보면 어떤 지점에서 왼쪽(좌측)에서 다가오는 극한 곧 음의 방향에서 다가오는 극한이다.]이 되는데, 이는 발산한다. (음수의 홀수 분의 1을 생각해보자.) 이러므로 [math(0^0$은 정의하지 않는다.

단, $n^0 \; (n\neq 0)$ 은 항상 1이다. 이유는 거듭제곱 문서 참조.

($1$을 기준으로 정의한다면 억지로 $0^0=1$이라고 말할 수는 있겠으나 이는 권장하지 않는다.)
다만 $\displaystyle{\lim_{x \to 0+} {x^x} =1}$임이 알려져 있다. 자세한 풀이는 미분 연산법을 도입하는 로피탈의 정리와 자연로그를 이용한 극한의 계산 참조.