위상수학(r16 판)

Topology / 位相數學
위상수학은 공간 또는 도형의 구조와 연속성을 다루는 수학의 한 학문이다.

위상수학에서 실수체계에서 열린구간들로 확인할 수 있는 실수 집합의 각 원소들 사이의 관계와 실수체계의 구조를 보고, 이를 이용하여 실수 전체의 집합만이 아닌 일반적인 집합의 구조를 볼 수 있다. 이런 계산의 기초가 되는 위상과 위상의 요소 중 하나인 열린집합에 대해 먼저 서술한다.

$\mathbb{R}$의 부분집합 $A$가 있다고 하자. 이 때 $A$의 원소(한 지점)인 $p$에 대하여 적당한 양의 상수 $c$가 있어 $\left\{x | a-c<x<a+c\right\} \subset A$를 만족한다면, $p$는 $A$의 내점(interior point)이라 부른다.

• 열린집합의 정의

정의(definition)에는 앞서 보았던 내점(interior point)이 이용된다. 열린집합은 "개폐"할 때의 '개'를 써서 "개집합"이라고도 부른다.

열린집합의 흔히(?) 잘 아는 예시로는 열린구간이 있다. (열린구간에 포함되는 열린구간이 있다.)
열린구간은 집합으로서 실수 $a$, $b$에 대하여 $\left( {\color{blue}a},\ {\color{green}b} \right) = \left\{x|{\color{blue}a}<x<{\color{green}b}\right\}$으로 표기한다.
이 집합의 임의의 원소(지점)인 $p$를 가져온다고 하면 ${\color{blue}a}<p<{\color{green}b}$가 되는데 양수 $c$를 다음으로 둔다고 하자.

이렇게 되면 $\left(p-c,\ p+c\right) \subset \left( {\color{blue}a},\ {\color{green}b} \right)$를 만족하게 되고, 곧 집합 $\left( {\color{blue}a},\ {\color{green}b} \right)$의 모든 점이 내점임을 보이는 것이다.

당연하게 보이겠지만 $\mathbb{R}$ 역시 열린집합이다.

공집합($\emptyset$)은 원소도 없는 집합이면서도 내점이 없는 집합이다. (공집합의 내점을 모두 모은 집합이 공집합 자기자신이다.) 공집합은 따라서 열린집합이다.

• 열린집합의 성질

열린집합의 성질은 다음을 만족한다.

먼저 1.의 집합은 (일정 조건을 만족하는 $\Sigma$[2]의 의미를 안다면 이와 비슷하게 합집합으로도 나타낼 수 있다. 색인(번호)을 모아놓은 집합을 $I$라 두면, $\underset{i \in I}{\bigcup}O_{i}$으로 나타낼 수 있다.) 보면 그 어느 원소(지점)인 $p$를 잡으면, 반드시 어떤 $i$가 있어 한 열린집합인 $O_{i}$의 내점이 되면서 적당한 양수 $c$가 있어 $\left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{i}$가 된다. 합집합의 특성상 1.의 집합은 $O_{i}$을 부분집합으로 가진다. 이에 따라 당연히 $\left(p-c,\ p+c\right)$ 을 부분집합으로 가진다.

2.의 집합 $O_{1} \cap O_{2}$가 공집합이 되는 경우와 그렇지 않은 경우를 보자.
$O_{1} \cap O_{2}$가 공집합이 된다면 공집합은 열린집합이므로 $O_{1} \cap O_{2}$은 열린집합이다.
이제 $O_{1} \cap O_{2}$가 공집합이 되지 않는 경우를 보자. 이 경우에 $O_{1} \cap O_{2}$는 어떤 원소(지점)을 가진다. $O_{1} \cap O_{2}$의 원소(지점) 중 아무 원소(지점)인 $p$를 가져온다고 하자. 그러면 교집합의 성질에 따라서 $p \in O_{1}$과 $p \in O_{2}$를 만족한다.
$O_{1}$과 $O_{2}$는 열린집합이므로 $p$는 $O_{1}$의 내점이면서 $O_{2}$의 내점이다. 따라서 적당한 양의 상수 $c_{1}$, $c_{2}$에 대하여 다음을 만족한다.

이 때 $c=\min \left\{c_{1},\ c_{2}\right\}$으로 두면 다음을 만족한다.

곧 $p \in \left(p-c,\ p+c\right) \subset O_{1} \cap O_{2}$이며, 이는 곧 $p$가 $O_{1} \cap O_{2}$의 내점이 됨을 보이는 것이다.
같은 방법으로 유한개의 열린집합의 교집합 곧 자연수 $n$에 대하여 $\overset{k \leq n}{\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}}O_{k}$은 열린집합이 됨을 보일 수 있다.

일반적으로 무한 개의 열린집합들의 교집합은 열린집합이 되지 않는다. 이를테면 $\underset{k \in \mathbb{N}}{\bigcap}\left(-1,\ \dfrac{1}{k}\right)$가 있다. 이 집합을 $A$라고 하면 $0$은 $A$의 원소이나, 0보다 큰 모든 수는 $A$의 원소가 아니다. (이는 아르키메데스의 정리를 이용하여 증명할 수 있다.) $A$에서 $0 \in \left(0-c,\ 0+c\right) \subset A$를 만족할 양의 상수 $c$가 존재하지 않으므로 $0$은 $A$의 내점이 아니며 따라서 $A$의 원소 중 내점이 아닌 원소가 존재하기 때문에 $A$는 열린집합이 아니다.

열린집합의 성질을 퍼가요~♡ 따와서 일정 규칙을 만족하도록 한다.