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| 1 | [[분류:수학]] |
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| 2 | == 개요 == |
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| 3 | 수학에서 [math(x)]가 [math(a)]에 가까워질 때, [math(f(x))]가 한없이 [math(L)]에 가까워지면 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]이다. |
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| 4 | 이때, [math(x)]는 [math(a)]가 무조건 맞지는 않는다. |
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| 6 | == 수열 == |
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| 7 | 무한 수열 [math(a_{n})] 에 대해 [math(n)]이 무한히 커지고 [math(a_{n})]이 [math(L)]에 가까워지면 [math({\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L )] 이라고 한다. |
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| 9 | == 엡실론‐델타법 == |
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| 10 | 고등학교 과정을 넘어가면 다음과 같이 엄밀하게 배운다. (기호를 풀어 쓰면 다음과 같다.) |
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| 12 | [math(x \to a)]의 경우는 다음과 같이 된다. ([math(f\left(x\right))]의 정의역에 대하여 [math(x=a)]가 __극한점(limit point)__[* 실수 전체 집합 [math(\mathbb{R})]에서의 "보통위상(Usual Topology)" 곧 "[math(\mathbb{R})]에서 열린 구간(이를테면 [math(\left\{x|a<x<b, \ a,b \in \mathbb{R}\right\})])들, 또는 이들의 임의의 합집합(무한 개의 합집합이여도 된다.), 또는 이들의 유한 개의 교집합__으로 구성된 [math(\mathbb{R})]의 부분집합을 원소__로 가지는 집합 [math(\mathcal{T})](이 집합은 당연히 [math(\mathcal{P}(\mathbb{R}))]의 부분집합이다.)을 갖춘 위상"에서는 집적점(accumunation point)을 극한점(limit point)으로 부른다.]이라는 전제가 깔려있어야 한다. 흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루나, 간혹 정의역이 복잡하게 제한되는 경우가 있다.) |
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| 13 | ||[math(x)]에 대한 함수 [math(f\left(x\right))]와 [math(a)]에 대하여 |
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| 14 | 아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 ("오차"라는 뜻의 error를 생각해보자.) |
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| 15 | 상수 [math(L)]에 대하여 다음 명제 곧 |
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| 16 | > [math(x \neq a)]이고 [math(a-\delta < x < a+\delta)]이면 |
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| 17 | > [math(L-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon)]이다. |
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| 18 | 를 참이 되게 할 수 있는 __적당한 양수 [math(\delta)]를 항상 정할 수__ 있는 상수 [math(L)]이 존재할 때 ("편차"라는 뜻의 difference를 생각해보자.) |
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| 20 | 함수 [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 [math(L)]로 '''수렴한다'''고 말하며 (동치로서) 기호로는 [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)]으로 표기한다. |
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| 22 | 만일 해당되는 [math(L)]이 존재하지 않으면, [math(f\left(x\right))]는 [math(x=a)]에서 '''발산한다'''고 말한다. || |
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| 25 | 무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 [math(x)]에 대한 함수 [math(f(x))]가 자연수 [math(n)]에 대한 함수 [math({\color{green}a_{n}})]으로 바뀌었다고 생각해보자.) |
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| 26 | ||무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]에 대하여 |
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| 27 | 아무 [math(\epsilon > 0)] 인 [math(\epsilon)]을 잡더라도 |
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| 28 | 상수 [math(L)]에 대하여 다음 명제 곧 |
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| 29 | > 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(n>{\color{blue}M})]이면 |
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| 30 | > [math(L-\epsilon< {\color{green}a_{n}} < L+\epsilon)]이다. |
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| 31 | 를 참이 되게 할 수 있는 __적당한 자연수 [math({\color{blue}M})]을 항상 정할 수__ 있는 상수 [math(L)]이 존재할 때 |
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| 33 | 무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]은 [math(L)]으로 '''수렴한다'''고 말하며 (동치로서) 기호로는 [math(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\color{green}a_{n}}=L)]으로 표기한다. |
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| 35 | 만일 해당되는 [math(L)]이 존재하지 않으면, 무한수열 [math({\color{green}a_{n}})]은 '''발산한다'''고 말한다. || |
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| 37 | 이를 이용하여 함수든 수열이든 수렴하는 극한의 사칙연산에 대한 성질, [math(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{{1}\over {n}}=0)]임을 증명할 수 있다. |
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| 39 | 극한의 엄밀한 정의가 없던 때, 무한수열 [math(a_{n}=)][math(1)], [math(0)], [math(1)], [math(0)], [math(1)], [math(0)], [math(\ldots)]에 대하여 "[math(0)]과 [math(1)]이 반복되니 이 수열의 극한값은 그 중간값인 [math({{1}\over{2}})]가 되지 않을까?"라는 말이 오갔다는 카더라가 있다. 엄밀한 정의가 생겨난 지금에서는 "발산한다"는 결론이 쉽게 나지만. |
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