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분류
1. 개요[편집]
Limit
함수, 수열을 비롯한 어떤 연산자의 값의 변동이 일정 지점 부근(일정 구간 내)에서 어떤 값으로 제한되는지의 유무를 판단하여 그 존재 내지 값을 구하는 계산법이다.포위망을 점점 좁힐 터이니 연산자 값은 길고 날뛰어봤자 이런 값에서 제한되어 못 벗어난다.
함수, 수열을 비롯한 어떤 연산자의 값의 변동이 일정 지점 부근(일정 구간 내)에서 어떤 값으로 제한되는지의 유무를 판단하여 그 존재 내지 값을 구하는 계산법이다.
2. 개략적인 극한의 정의[편집]
원래는 후술할 "엡실론을 이용한 극한의 정의"를 소개하는 것이 맞으나, 정의에 쓰이는 기호가 복잡하게 보이는 까닭에 고등학교 교과 과정에서는 (극한을 처음 배우는 입장이기도 하니) 극한을 원 정의에서 유추되는 설명으로 개략적으로 소개하고 있다.
2.1. 함수의 극한[편집]
수학에서 가 에 가까워질 때, 가 한없이 에 가까워지면 이다.
이때, 는 가 무조건 맞지는 않는다.
이때, 는 가 무조건 맞지는 않는다.
2.2. 수열의 극한[편집]
무한 수열 에 대해 이 무한히 커지고 이 에 가까워지면 이라고 한다.
3. 엡실론을 이용한 극한의 정의[편집]
고등학교 과정을 넘어가면 그리스 문자 (엡실론), (델타) 등을 읽으면서 극한의 정의를 엄밀하게 배운다.
내점(Interior point), 극한점(Limit point) 등의 용어가 나오는데, 이들을 먼저 이해해야 엡실론을 이용한 극한의 정의를 이해할 수 있음을 밝힌다. 다만, 건너뛰고 읽을 위키러들이 있을 수 있으니 문서 중간중간에 정의를 설명해놓았다. 실수체계에 대한 자세한 내용은 이 문서를 참조할 수 있다. 위상에 대한 내용은 이 문서 참조.
기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합(, 집합의 표기법, 포함관계, 멱집합, 집합의 연산), 명제, 부등호, 절댓값, 함수(, 정의역, 공역, 함숫값), 수열 등의 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition), 정리(Theorem)들이므로 이해하기 쉬울 수 있다. "-근방" 등의 일부 기호는 풀어서 서술함을 밝힌다.
여기에서는 변수가 1개인 함수를 본다.
내점(Interior point), 극한점(Limit point) 등의 용어가 나오는데, 이들을 먼저 이해해야 엡실론을 이용한 극한의 정의를 이해할 수 있음을 밝힌다. 다만, 건너뛰고 읽을 위키러들이 있을 수 있으니 문서 중간중간에 정의를 설명해놓았다. 실수체계에 대한 자세한 내용은 이 문서를 참조할 수 있다. 위상에 대한 내용은 이 문서 참조.
기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합(, 집합의 표기법, 포함관계, 멱집합, 집합의 연산), 명제, 부등호, 절댓값, 함수(, 정의역, 공역, 함숫값), 수열 등의 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition), 정리(Theorem)들이므로 이해하기 쉬울 수 있다. "-근방" 등의 일부 기호는 풀어서 서술함을 밝힌다.
여기에서는 변수가 1개인 함수를 본다.
- 먼저 실수 전체집합을 이라 하자.
- 공역을 로 두면서도 실수인 변수 에 대한 함수 의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 라 하자. (교과서에 따라 라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 로 적는다.)
- (당연히 이 된다.)
- (또한 이는 이 된다.)
3.1. 어떤 지점에서의 함수의 극한 (엡실론-델타법)[편집]
의 경우는 다음과 같이 된다.
들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다.
들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다.
가 "의 극한점이 됨"을 보이려면 (꼭 일 필요는 없다.)
임의의 양수 에 대하여 |
임을 보여야한다.
흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루는 경우라면 정의역의 모든 점 및 경계에 해당되는 지점들(로그함수의 경우에는 간단한 경우 진수가 0으로 되는 의 지점들)이 극한점으로 될 수 있으나, 간혹 정의역 가 복잡하게 제한되는 경우가 있다. 이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다.
그러한 경우에는 극한을 계산하고자 하는 의 지점이 극한점이 됨을 증명해야 한다.
만일 가 의 "내점(Interior point)"이라면 그것으로도 충분하다. 왜냐면 가 의 '내점'이면 곧 극한점이 되기 때문이다. 자세한 이유는 아래 하위 문단의 내용 참조.
가 의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다.
흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루는 경우라면 정의역의 모든 점 및 경계에 해당되는 지점들(로그함수의 경우에는 간단한 경우 진수가 0으로 되는 의 지점들)이 극한점으로 될 수 있으나, 간혹 정의역 가 복잡하게 제한되는 경우가 있다. 이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다.
그러한 경우에는 극한을 계산하고자 하는 의 지점이 극한점이 됨을 증명해야 한다.
만일 가 의 "내점(Interior point)"이라면 그것으로도 충분하다. 왜냐면 가 의 '내점'이면 곧 극한점이 되기 때문이다. 자세한 이유는 아래 하위 문단의 내용 참조.
가 의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다.
에 대한 함수 와 에 대하여 아무 인 을 잡더라도 ("오차"라는 뜻의 error를 생각해보자.) 상수 에 대하여 다음 명제 곧 를 참이 되게 할 수 있는 적당한 양수 를 항상 정할 수 있는 상수 이 존재할 때 ("편차"라는 뜻의 difference를 생각해보자.) 함수 는 에서 로 수렴한다고 말하며 (동치로서) 기호로는 으로 표기한다. 만일 해당되는 이 존재하지 않으면, 는 에서 발산한다고 말한다. |
이해를 돕기 위해 "수렴한다", "발산한다"라는 표현을 하였으며, 원래는 이보다 "함수 는 에서 극한을 가진다.(A function has a limit at )" 라는 말로 더 많이 표현한다.
기호들을 사용하면 다음과 같다.
기호들을 사용하면 다음과 같다.
여기서 는 의 모든 극한점들을 모아놓는 집합이다.
3.1.1. 참고사항1[편집]
3.1.1.1. 내점이면 극한점이 되는 이유[편집]
가 의 "내점(Interior point)"이라고 하면 가 의 극한점이 됨을 보이자.
1. 내점의 정의에 따라 다음을 만족한다.
1. 내점의 정의에 따라 다음을 만족한다.
를 만족하는 적당한 양수 가 존재한다. |
2. 1.에서 다음을 만족한다.
3. 2.의 집합의 원소로는 와 의 산술평균인 을 생각할 수 있으며. 사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많으면서 의 원소이다.
따라서 다음을 만족한다.
4. 3.에서 인 임의의 양수 에 대하여
이 되며, 다음 집합은 (보다 크면서 보다 작은 실수는 무수히 많으면서도) 의 부분집합이며 또한 공집합이 아니다.
따라서 다음을 만족한다.
5. 임의의 양수 에 대하여 를 과 중 작은 값으로 두자.
여기서 다음을 보이고자 한다.
6. 5.에서 과 의 대소는 이거나 이거나 이다.
7. 6.에서 만일 이라고 하자.
그러면 이 된다.
이 때 4.와 같은 방법으로 으로 두면 다음의 식을 만족한다.
여기서 이 되었으므로 다음이 성립한다.
8. 6.에서 만일 이라고 하자.
그러면 1.에서
이 된다. 여기에서 다음이 성립한다.
이 때 2., 3.에서
가 성립한다.
공집합이 아닌 다음 집합인
공집합이 아닌 다음 집합인
을 포함하는 집합 곧
은 공집합이 아니므로 다음 식이 성립된다. (공집합이 아닌 집합을 포함하는 집합은 공집합이 아니다.)
9. 7.과 8.에 따라 다음이 성립된다.
임의의 에 대하여 |
따라서 가 의 '내점'이면 은 의 '극한점'이 된다.
참고로, 주의할 점이 있는데 의 극한점이라고 해서 의 내점이 되지는 않는다. 만일 가 의 모든 유리수들만을 모아놓은 집합(곧 유리수 전체의 집합 )이고 여기서 임의의 지점을 가져왔다고 하자.
임의의 양수 에 대하여 다음 집합인
를 보자.
위 집합에서는 가 그 어떤 값이 되어도 무수히 많은 유리수가 존재하면서도 이들은 모두 의 원소이다. 따라서 의 원소에 해당되는 모든 의 지점은 의 극한점이 된다.
한편, 위 집합에서는 가 그 어떤 값이라도 무수히 많은 무리수가 존재하며, 따라서 위 집합은 의 부분집합이 될 수 없다. 따라서 의 원소에 해당되는 모든 의 지점은 의 내점이 아님을 알 수 있다.
(여담으로 의 극한점들을 모아놓은 집합은 이 된다.)
위 집합에서는 가 그 어떤 값이 되어도 무수히 많은 유리수가 존재하면서도 이들은 모두 의 원소이다. 따라서 의 원소에 해당되는 모든 의 지점은 의 극한점이 된다.
한편, 위 집합에서는 가 그 어떤 값이라도 무수히 많은 무리수가 존재하며, 따라서 위 집합은 의 부분집합이 될 수 없다. 따라서 의 원소에 해당되는 모든 의 지점은 의 내점이 아님을 알 수 있다.
(여담으로 의 극한점들을 모아놓은 집합은 이 된다.)
3.1.1.2. 수렴하는 극한의 유일성[편집]
극한이 로 수렴할 경우, 유일(unique)하다. (여기 보통위상[보통위상]에서는. 위상이 어떤 구성으로 되어있느냐에 따라 수렴하는 극한값이 유일하지 않을 수 있다.)
0. 가정하기를(Suppose that) 서로 다른 두 실수 과 에 대하여 이면서
0. 가정하기를(Suppose that) 서로 다른 두 실수 과 에 대하여 이면서
이고 |
라고 하자. (곧 의 극한값이 둘이라고 하자.)
1. 그러면 함수의 정의에 따라 과 에 따른 임의의 두 양수 , 에 대하여 (, 이 그 어떤 값이라도) 적당한 양수 , 가 존재하여 다음을 만족한다. 다시 말해, 다음 두 명제는 참이 된다.
1. 그러면 함수의 정의에 따라 과 에 따른 임의의 두 양수 , 에 대하여 (, 이 그 어떤 값이라도) 적당한 양수 , 가 존재하여 다음을 만족한다. 다시 말해, 다음 두 명제는 참이 된다.
이고 , 이면
이다.이고 , 이면
이다.
2. 이 때 양수 을
을 만족하는 적당한 값으로 두자.
3. 이 때 2.에서 , 으로 두어도 1.에 따라 적당한 양수 , 가 존재하여 다음을 만족한다.
(을 대입한 것이며, 두 명제는 참이 된다.)
3. 이 때 2.에서 , 으로 두어도 1.에 따라 적당한 양수 , 가 존재하여 다음을 만족한다.
(을 대입한 것이며, 두 명제는 참이 된다.)
이고 , 이면
이다.이고 , 이면
이다.
4. 3.에서 양수 를 과 중 작은 값으로 결정하면 다음 역시 만족한다.(, 을 으로 바꾼 것이며 두 명제는 참이 된다.)
이고 , 이면
이다.이고 , 이면
이다.
5. 4.의 두 명제를 합하면 다음 명제는 참이 된다. (충분조건이 동일하므로, 필요조건만을 합치면 된다.)
이고 , 이면
이면서 이다.
6. 이 때(5.에서) 모순(contradiction)이 발생한다.
왜냐면 5.의 결론부분인
이면서 이다.
에서 다음 두 집합
을 정의하면
와 는 서로 소이기 때문이다.
을 정의하면
와 는 서로 소이기 때문이다.
- 더 자세히 말하자면, 의 모든 지점은 보다 작은 값의 지점이며 의 모든 지점은 보다 큰 값의 지점이다.
- 2.에서 이므로 (와 의 차이의 절반보다 작은 값이다.)
이므로 의 그 어느 점도 의 원소가 될 수 없으면서 의 그 어느 점도 의 원소가 될 수 없다.
따라서 5.의 명제는 거짓이 되는 모순이 생긴다.
7. 6.에서 시작하여 어디서 거짓이 되었는가를 찾고자 거슬러 올라가고 거슬러 올라가기를 거듭함으로써, 처음 가정했던 0.이 거짓이 된다. 곧 수렴하는 극한값이 2개가 된다는 말은 거짓이며, 이는 귀류법에 따라 수렴하는 극한의 유일성이 증명된다.
3.1.1.3. 적어도 극한점임이 전제되어야 하는 이유[편집]
결론부터 말하자면 수렴하는 극한의 유일성에 문제가 발생하기 때문이다.
0. 가정하기를 가 의 극한점이라는 전제가 없다고 하자.
1. 그럼 가 의 극한점이 아닌 경우가 존재한다.
2. 극한점의 조건을 보자.
가 의 극한점인 조건은 다음과 같다.
0. 가정하기를 가 의 극한점이라는 전제가 없다고 하자.
1. 그럼 가 의 극한점이 아닌 경우가 존재한다.
2. 극한점의 조건을 보자.
가 의 극한점인 조건은 다음과 같다.
임의의 양수 에 대하여 |
이 명제의 부정은
어떤 양수 에 대하여 |
이 된다.
3. 함수의 극한의 정의에서 다음 명제를 보자.
3. 함수의 극한의 정의에서 다음 명제를 보자.
이고 , 이면
이다.
4. 1.의 경우(충분히 나올 수 있다) 2.를 만족하는 를 가져와서 3.의 를 를 만족하는 적당한 값으로 두자.(를 충분히 작은 값으로 잡자.)
그러면 의 값과 관계 없이 3.에 제시된 명제의 가정에서 두 조건이 서로 모순된다.
1. 2. , |
따라서 가정이 거짓이 되며, 가정이 거짓인 이유로 명제가 전체적으로 참이 되버리는 오류가 발생한다.
5. 이 때 의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다. 이는 수렴하는 함수의 유일성에 위배된다.
그러므로 적어도 가 의 극한점이라는 전제가 있어야 한다.
5. 이 때 의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다. 이는 수렴하는 함수의 유일성에 위배된다.
그러므로 적어도 가 의 극한점이라는 전제가 있어야 한다.
3.2. 수열의 극한[편집]
무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 에 대한 함수 가 자연수 에 대한 함수 으로 바뀌었다고 생각해보자.)
무한수열 에 대하여 아무 인 을 잡더라도 상수 에 대하여 다음 명제 곧
를 참이 되게 할 수 있는 적당한 자연수 을 항상 정할 수 있는 상수 이 존재할 때 ("최소한의"라는 뜻의 Minimal을 생각해보자. 교과서에 따라 을 으로 표기하기도 한다.) 무한수열 은 으로 수렴한다고 말하며 (동치로서) 기호로는 으로 표기한다. 만일 해당되는 이 존재하지 않으면, 무한수열 은 발산한다고 말한다. |
이를 이용하여 함수든 수열이든 수렴하는 극한의 사칙연산에 대한 성질, 샌드위치 정리의 성립, 의 성립을 증명할 수 있다. (무한 수열에서 , , 등으로 바꿀 수 있는 부분은 으로
4. 다른 공간에서 극한의 정의[편집]
4.1. 위상공간에서 극한의 정의[편집]
위상수학에서는 위상에 따른 열린집합(개집합)을 두고 집적점(극한점)을 정의하게 된다.
4.1.1. 변환 과정[편집]
- 부등식을 집합식으로 변환
번호 | 부등식 | 집합식 |
1 | , 이다. | 이다. |
2 | 아무 인 을 잡더라도 이다. | 아무 인 을 잡더라도 이다. |
여기에서 열린구간을 어떤 한 지점을 포함하는 열린집합으로 바꿔 표현할 수 있다. 곧 위상수학에서 다루는 열린집합들로만 함수의 극한의 정의를 표현할 수 있다.
- 엡실론-델타법에서 집합 부분 내용의 변화
위의 집합식에서, 각 마다 이 될 수 있도록 어떤 양수 가 존재하여 어떤 한 지점 을 포함하는 열린구간 을 두고 으로 의 범위를 잡을 수 있다고 가정해보자. 그러면 해당 열린구간 은 열린집합이므로, 다음 두 비교가 나온다.
번호 | 식 |
1.1. | 아무 인 을 잡더라도 ... 양수 가 존재하여 이다. |
1.2. | 아무 인 을 잡더라도 ... 를 포함하는 열린집합 가 존재하여 이다. |
앞에서 1.1.이면 1.2.이라는 설명이 있으므로, 1.2.이면 1.1.이라는 설명을 해보자. 를 포함하는 를 아무 거나 가져온다고 하자면, 그 지점 는 그 열린집합 의 내점(interior point)이니 적당한 양수 를 가져오면 가 된다. 이 열린집합이 존재함을 보이는 것만으로도 를 만족하는 적당한 는 존재하고 곧 엡실론-델타법에서 말하는 열린구간을 찾는 것이 되므로 극한을 가진다고 말할 수 있다.
이로써 "값이 어떠하더라도 이 될 수 있는, 인 열린집합 가 존재할 때 는 에서 극한을 가진다"고 바꿀 수 있다. 곧 델타를 다루는 설명을 열린집합을 다루는 설명으로 바꾸는 것이다.
- 집합 부분의 변화
2번 식을 보자. (의 범위를 다루는 부분인데, 다음 두 비교를 보자.
번호 | 식 |
2.1. | 아무 인 을 잡더라도 ... 를 포함하는 열린집합 가 존재하여 이면 이다. |
2.2. | 아무 인 열린집합 을 잡더라도 ... 를 포함하는 열린집합 가 존재하여 이면 이다. |
먼저 2.1.이면 2.2이라는 설명을 해보자.
지점을 포함하는 아무 열린집합 을 가져온다고 하면 는 의 내점이므로 적당한 양수 을 가져오면 다음을 만족한다.
이 때 2.1.이라면 인 경우에서 지점을 포함하는 적당한 열린집합 가 존재하므로 다음을 만족한다.
이면 이다. |
이 되므로 곧 다음을 만족한다.
이면 이다. |
이것으로 2.1.이면 2.2이다.
반대로 2.2이면 2.1.이 됨을 설명해보자면 2.2.에서 아무 인 열린집합이므로, 으로 두면 각 마다 적당한 열린집합 가 존재하므로 설명은 충분하다.
4.1.2. 변환[편집]
위상에 대한 설명을 하려면 열린집합에 대한 설명으로 번역(?)해야 한다.
정의역을 로 가지는 에 대한 함수 가 있고 가 위상에서 의 집적점일 때,
아무 인 열린집합 을 잡더라도
를 포함하는 열린집합 가 존재하여 이면 일 경우
함수 는 에서 극한을 가진다고 말한다.
가지는 극한은 위상에 따라 다를 수 있으며 또 유일하지 않을 수 있다. (의 유한여집합위상 등)
4.2. 변수가 2개 이상인 경우[편집]
변수가 2개 이상이 되면 각 변수들은 독립적이므로 서로 수직인 축들이 2개 이상으로 되어 있는 , 평면, (3차원) 공간 등 차원 (유클리드)공간에서 점의 좌표와 점과 점 사이의 거리를 이용한 (위상으로) 극한을 정의한다.
5. 여담[편집]
극한의 엄밀한 정의가 없던 때, 무한수열 , , , , , , 에 대하여 "과 이 반복되니 이 수열의 극한값은 그 중간값인 가 되지 않을까?"라는 말이 오갔다는 카더라가 있다. 엄밀한 정의가 생겨난 지금에서는 "발산한다"는 결론이 쉽게 나지만.
6. 관련 문서[편집]
[보통위상] 1.1 1.2 실수 전체 집합 에서의 "보통위상(Usual Topology)" 곧 "에서 열린 구간(이를테면 )들, 또는 이들의 임의의 합집합(무한 개의 합집합이여도 된다.), 또는 이들의 유한 개의 교집합으로 구성된 의 부분집합을 원소로 가지는 집합 (이 집합은 당연히 의 부분집합이다.)을 갖춘 위상"에서는 집적점(accumunation point)을 극한점(limit point)으로 부른다. 고등학교 과정에서 배우는 극한은 특별한 언급이 없다면 모두 보통위상에서의 극한이다.[2] 이는 와 동치이며, 여기에서 꼭 일 필요는 없음이 나타닌다.[3] 이는 와 동치이다. 회색으로 칠한 부등호() 부분은 와 의 오차가 으로 나오는 경우(이 성립하는 경우. 잘 아는 예로는 함숫값이 의 값에 관계없이 일정한 상수로만 나오는 함수가 있다.)가 있으므로 기술을 잘 하지 않는 편이다.