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분류
1. 개요2. 개략적인 극한의 정의
2.1. 함수의 극한2.2. 수열의 극한
3. 엡실론을 이용한 극한의 정의
3.1. 어떤 지점에서의 함수의 극한 (엡실론-델타법)
3.1.1. 참고사항1
3.2. 수열의 극한

1. 개요[편집]

Limit
함수, 수열을 비롯한 어떤 연산자의 값의 변동이 일정 지점에서 어떤 값으로 제한되는지의 유무를 판단하고 제한값을 구하는 계산발법이다.

2. 개략적인 극한의 정의[편집]

원래는 후술할 "엡실론을 이용한 극한의 정의"를 소개하는 것이 맞으나, 정의에 쓰이는 기호가 복잡하게 보이는 까닭에 고등학교 교과 과정에서는 (극한을 처음 배우는 입장이기도 하니) 극한을 원 정의에서 유추되는 설명으로 개략적으로 소개하고 있다.

2.1. 함수의 극한[편집]

수학에서 xx가 aa에 가까워질 때, f(x)f(x)가 한없이 LL에 가까워지면 lim⁡x→af(x)=L\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L이다.
이때, xx는 aa가 무조건 맞지는 않는다.

2.2. 수열의 극한[편집]

무한 수열 ana_{n} 에 대해 nn이 무한히 커지고 ana_{n}이 LL에 가까워지면 lim⁡n→∞an=L{\displaystyle \lim_{n\to\infty}}a_{n}= L 이라고 한다.

3. 엡실론을 이용한 극한의 정의[편집]

고등학교 과정을 넘어가면 그리스 문자 ϵ\epsilon(엡실론), δ\delta(델타) 등을 읽으면서 극한의 정의를 엄밀하게 배운다.
내점(Interior point), 극한점(Limit point) 등의 용어가 나오는데, 이들을 먼저 이해해야 엡실론을 이용한 극한의 정의를 이해할 수 있음을 밝힌다. 다만, 건너뛰고 읽을 위키러들이 있을 수 있으니 문서 중간중간에 정의를 설명해놓았다. 실수체계에 대한 자세한 내용은 이 문서를 참조할 수 있다. 위상에 대한 내용은 이 문서 참조.

기호가 조금 복잡할 수 있겠지만 천천히 살펴보면 집합(, 집합의 표기법, 포함관계, 멱집합, 집합의 연산), 명제, 부등호, 절댓값, 함수(, 정의역, 공역, 함숫값), 수열 등의 개념의 결합으로 이루어진 정의(Definition), 정리(Theorem)들이므로 이해하기 쉬울 수 있다. "ϵ\epsilon-근방" 등의 일부 기호는 풀어서 서술함을 밝힌다.
  • 먼저 실수 전체집합을 R\mathbb{R}이라 하자.
  • 공역을 R\mathbb{R}로 두면서도 실수 xx에 대한 함수 f(x)f\left(x\right)의 정의역(Domain, 곧 집합이 된다.)을 DD라 하자. (교과서에 따라 EE라고 적힌 곳도 있지만 쉬운 이해를 위하여 DD로 적는다.)
    • (당연히 D⊂RD \subset \mathbb{R}이 된다.)
    • (또한 이는 f:D→Rf:D \to \mathbb{R}이 된다.)

3.1. 어떤 지점에서의 함수의 극한 (엡실론-델타법)[편집]

x→ax \to a의 경우는 다음과 같이 된다.

들어가기 앞서 다음 전제조건이 깔려 있어야 한다.
f(x)f\left(x\right)의 정의역에 대하여 x=ax=a가 DD의 극한점(limit point)[보통위상]일 것.

x=ax=a가 "DD의 극한점이 됨"을 보이려면 (꼭 a∈Da \in D일 필요는 없다.)
임의의 양수 c{\color{blue}c}에 대하여
({x∣a−c<x<a+c}\{a})∩D≠∅\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset
임을 보여야한다.

흔히 지수함수처럼 "실수 전체의 집합"이나 로그함수 같이 "0보다 큰 실수의 집합" 등 간단한 제한을 둔 함수를 많이 다루는 경우라면 정의역의 모든 점 및 경계에 해당되는 지점들(로그함수의 경우에는 간단한 경우 진수가 0으로 되는 xx의 지점들)이 극한점으로 될 수 있으나, 간혹 정의역 DD가 복잡하게 제한되는 경우가 있다. 이를테면 정의역이 유리수들만으로 제한된 함수가 있다.
그러한 경우에는 극한을 계산하고자 하는 xx의 지점이 극한점이 됨을 증명해야 한다.

x=ax=a가 DD의 "내점(Interior point)"이어도 충분하다. 왜냐면 x=ax=a가 DD의 '내점'이면 곧 극한점이 되기 때문이다. 자세한 이유는 아래 하위 문단의 내용 참조.

x=ax=a가 DD의 극한점이라는 전제 하에 함수의 극한의 정의는 다음과 같다.
xx에 대한 함수 f(x)f\left(x\right)와 aa에 대하여
아무 ϵ>0\epsilon > 0 인 ϵ\epsilon을 잡더라도 ("오차"라는 뜻의 error를 생각해보자.)
상수 L∈RL \in \mathbb{R}에 대하여 다음 명제 곧
x∈Dx \in D이고 x≠ax \neq a, a−δ<x<a+δa-\delta < x < a+\delta이면[2]
L−ϵ<f(x)<L+ϵL-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon이다.[3]
를 참이 되게 할 수 있는 적당한 양수 δ\delta를 항상 정할 수 있는 상수 LL이 존재할 때 ("편차"라는 뜻의 difference를 생각해보자.)

함수 f(x)f\left(x\right)는 x=ax=a에서 LL로 수렴한다고 말하며 (동치로서) 기호로는 lim⁡x→af(x)=L\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L으로 표기한다.

만일 해당되는 LL이 존재하지 않으면, f(x)f\left(x\right)는 x=ax=a에서 발산한다고 말한다.
이해를 돕기 위해 "수렴한다", "발산한다"라는 표현을 하였으며, 원래는 이보다 "함수 f(x)f\left(x\right)는 x=ax=a에서 극한을 가진다.(A function f(x)f\left(x\right) has a limit at x=ax=a)" 라는 말로 더 많이 표현한다.

기호들을 사용하면 다음과 같다.
f:D(⊂R)→R,  a∈D′f:D\left(\subset\mathbb{R}\right) \to \mathbb{R},\ \ a \in D^{\prime} (여기서 D′D^{\prime}는 DD의 모든 극한점들을 모아놓는 집합이다.)
lim⁡x→af(x)=L⟺∃L∈R such as ∀ϵ>0, ∃δ>0 such asx∈D, 0<∥x−a∥<δ⟹∥f(x)−L∥<ϵ\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=L}\\ \Longleftrightarrow \exist L \in \mathbb{R}\ \text{such as}\ \forall \epsilon >0,\ \exist \delta > 0 \ \text{such as} \\ x \in D,\ 0< \left\|x-a\right\| < \delta \Longrightarrow \left\| f(x)-L\right\| < \epsilon

3.1.1. 참고사항1[편집]

내점이면 극한점이 되는 이유

x=ax=a가 DD의 "내점(Interior point)"이라고 하면 x=ax=a가 DD의 극한점이 됨을 보이자.

1. 내점의 정의에 따라 다음을 만족한다.
a∈{x∣a−c1<x<a+c1}⊂Da \in \left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \subset D
를 만족하는 적당한 양수 c1c_{1}가 존재한다.

2. 1.에서 다음을 만족한다.
({x∣a−c1<x<a+c1}\{a})⊂D\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)\subset D

3. 2.의 집합의 원소로는 a−c1a-c_{1}와 aa의 산술평균인 (a−c1)+a2\displaystyle{{{\left(a-c_{1}\right)+a}\over {2}}}을 생각할 수 있으며. 사실 두 실수 사이의 실수들을 모아놓은 집합만 하더라도 그 두 수의 차가 아무리 작더라도 0이 아닌 이상 그 집합의 원소는 무수히 많으면서 DD의 원소이다.
따라서 다음을 만족한다.
({x∣a−c1<x<a+c1}\{a})∩D≠∅\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset

4. 3.에서 c2≤c1{\color{green}c_{2}} \leq c_{1}인 임의의 양수 c2{\color{green}c_{2}} 에 대하여
({x∣a−c2<x<a+c2}\{a})⊂({x∣a−c1<x<a+c1}\{a})⊂D\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\}\right)\subset \left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \subset D
이 되며, 다음 집합은 (a−c2a-c_{2}보다 크면서 aa보다 작은 실수는 무수히 많으면서도) DD의 부분집합이며 또한 공집합이 아니다.
{x∣a−c2<x<a+c2}\{a}\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\}

따라서 다음을 만족한다.
({x∣a−c2<x<a+c2}\{a})∩D≠∅\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}} <x<a+{\color{green}c_{2}}\right\}\backslash\left\{ a \right\}\right) \cap D \neq \emptyset

5. 임의의 양수 c{\color{blue}c}에 대하여 c3{\color{red}c_{3}}를 c1c_{1}과 c{\color{blue}c}중 작은 값으로 두자.
여기서 다음을 보이고자 한다.
({x∣a−cx<a+c}\{a})∩D≠∅\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset

6. 5.에서 c1c_{1}과 c{\color{blue}c}의 대소는 c>c1{\color{blue}c} > c_{1} 이거나 c=c1{\color{blue}c} = c_{1} 이거나 c<c1{\color{blue}c} < c_{1} 이다.

7. 6.에서 만일 c≤c1{\color{blue}c} \leq c_{1}이라고 하자.
그러면 c3=c≤c1{\color{red}c_{3}}={\color{blue}c}\leq c_{1}이 된다.
이 때 4.와 같은 방법으로 c2=c3{\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}} 으로 두면 다음의 식을 만족한다.
({x∣a−c2<x<a+c2}\{a})∩D≠∅\left(\left\{x|a-{\color{green}c_{2}}<x<a+{\color{green}c_{2}}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset
여기서 c2=c3=c{\color{green}c_{2}}={\color{red}c_{3}}={\color{blue}c}이 되었으므로 다음이 성립한다.
({x∣a−c<x<a+c}\{a})∩D≠∅\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset

8. 6.에서 만일 c>c1{\color{blue}c} > c_{1}이라고 하자.
그러면 1.에서
({x∣a−c1<x<a+c1}\{a})\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)
⊂({x∣a−c<x<a+c}\{a}){\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right)
이 된다. 여기에서 다음이 성립한다.
({x∣a−c1<x<a+c1}\{a})∩D\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D
⊂({x∣a−c<x<a+c}\{a})∩D{\color{red}\subset} \left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D

이 때 2., 3.에서
({x∣a−c1<x<a+c1}\{a})∩D≠∅\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset
가 성립한다.

공집합이 아닌 다음 집합인
({x∣a−c1<x<a+c1}\{a})∩D\left(\left\{x|a-c_{1}<x<a+c_{1}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D
을 포함하는 집합 곧
({x∣a−c<x<a+c}\{a})∩D\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D
은 공집합이 아니므로 다음 식이 성립된다. (공집합이 아닌 집합을 포함하는 집합은 공집합이 아니다.)
({x∣a−c<x<a+c}\{a})∩D≠∅\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset

9. 7.과 8.에 따라 다음이 성립된다.
임의의 c{\color{blue}c}에 대하여
({x∣a−c<x<a+c}\{a})∩D≠∅\left(\left\{x|a-{\color{blue}c}<x<a+{\color{blue}c}\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset

따라서 x=ax=a가 DD의 '내점'이면 x=ax=a은 DD의 '극한점'이 된다.

참고로, 주의할 점이 있는데 DD의 극한점이라고 해서 DD의 내점이 되지는 않는다. 만일 DD가 R\mathbb{R}의 모든 유리수들만을 모아놓은 집합(곧 유리수 전체의 집합 Q\mathbb{Q})이고 여기서 임의의x=px=p 지점을 가져왔다고 하자.
임의의 양수 cc에 대하여 다음 집합인
{x∣p−c<x<p+c}\left\{x|p-c<x<p+c\right\}
를 보자.
위 집합에서는 cc가 그 어떤 값이 되어도 무수히 많은 유리수가 존재하면서도 이들은 모두 DD의 원소이다. 따라서 DD의 원소에 해당되는 모든 xx의 지점은 DD의 극한점이 된다.
한편, 위 집합에서는 cc가 그 어떤 값이라도 무수히 많은 무리수가 존재하며, 따라서 위 집합은 DD의 부분집합이 될 수 없다. 따라서 DD의 원소에 해당되는 모든 xx의 지점은 DD의 내점이 아님을 알 수 있다.
(여담으로 Q\mathbb{Q}의 극한점들을 모아놓은 집합은 R\mathbb{R}이 된다.)
수렴하는 극한의 유일성

극한이 LL로 수렴할 경우, 유일(unique)하다. (여기 보통위상[보통위상]에서는. 위상이 어떤 구성으로 되어있느냐에 따라 수렴하는 극한값이 유일하지 않을 수 있다.)

0. 가정하기를(Suppose that) 서로 다른 두 실수 L1L_{1}과 L2L_{2}에 대하여 L1<L2L_{1} < L_{2}이면서
lim⁡x→af(x)=L1\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left( x \right)=L_{1}}이고 lim⁡x→af(x)=L2\displaystyle{\lim_{x \to a} f\left( x \right)=L_{2}}
라고 하자. (곧 x→ax \to a의 극한값이 둘이라고 하자.)

1. 그러면 함수의 정의에 따라 L1L_{1}과 L2L_{2}에 따른 임의의 두 양수 ϵ1\epsilon_{1}, ϵ2\epsilon_{2}에 대하여 (ϵ1\epsilon_{1}, ϵ2\epsilon_{2}이 그 어떤 값이라도) 적당한 양수 δ1\delta_{1}, δ2\delta_{2}가 존재하여 다음을 만족한다. 다시 말해, 다음 두 명제는 참이 된다.
x∈Dx \in D이고 x≠ax \neq a, a−δ1<x<a+δ1a-\delta_{1} < x < a+\delta_{1}이면
L1−ϵ1<f(x)<L1+ϵ1L_{1}-\epsilon_{1}< f\left(x\right) < L_{1}+\epsilon_{1}이다.
x∈Dx \in D이고 x≠ax \neq a, a−δ2<x<a+δ2a-\delta_{2} < x < a+\delta_{2}이면
L2−ϵ2<f(x)<L2+ϵ2L_{2}-\epsilon_{2}< f\left(x\right) < L_{2}+\epsilon_{2}이다.

2. 이 때 양수 ϵ\epsilon을
ϵ<L2−L12\displaystyle{{\color{blue}\epsilon} < {{L_{2} - L_{1}}\over{2}}}
을 만족하는 적당한 값으로 두자.

3. 이 때 2.에서 ϵ1=ϵ\epsilon_{1}={\color{blue}\epsilon}, ϵ2=ϵ\epsilon_{2}={\color{blue}\epsilon}으로 두어도 1.에 따라 적당한 양수 δ1\delta_{1}, δ2\delta_{2}가 존재하여 다음을 만족한다.
(ϵ1=ϵ2=ϵ\epsilon_{1}=\epsilon_{2}={\color{blue}\epsilon}을 대입한 것이며, 두 명제는 참이 된다.)
x∈Dx \in D이고 x≠ax \neq a, a−δ1<x<a+δ1a-\delta_{1} < x < a+\delta_{1}이면
L1−ϵ<f(x)<L1+ϵL_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon}이다.
x∈Dx \in D이고 x≠ax \neq a, a−δ2<x<a+δ2a-\delta_{2} < x < a+\delta_{2}이면
L2−ϵ<f(x)<L2+ϵL_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon}이다.

4. 3.에서 양수 δ\delta를 δ1\delta_{1}과 δ2\delta_{2} 중 작은 값으로 결정하면 다음 역시 만족한다.(δ1\delta_{1}, δ2\delta_{2}을 δ{\color{red}\delta}으로 바꾼 것이며 두 명제는 참이 된다.)
x∈Dx \in D이고 x≠ax \neq a, a−δ<x<a+δa-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta}이면
L1−ϵ<f(x)<L1+ϵL_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon}이다.
x∈Dx \in D이고 x≠ax \neq a, a−δ<x<a+δa-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta}이면
L2−ϵ<f(x)<L2+ϵL_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon}이다.

5. 4.의 두 명제를 합하면 다음 명제는 참이 된다. (충분조건이 동일하므로, 필요조건만을 합치면 된다.)
x∈Dx \in D이고 x≠ax \neq a, a−δ<x<a+δa-{\color{red}\delta} < x < a+{\color{red}\delta}이면
L1−ϵ<f(x)<L1+ϵL_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon}이면서 L2−ϵ<f(x)<L2+ϵL_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon}이다.

6. 이 때(5.에서) 모순(contradiction)이 발생한다.
왜냐면 5.의 결론부분인
L1−ϵ<f(x)<L1+ϵL_{1}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{1}+{\color{blue}\epsilon}이면서 L2−ϵ<f(x)<L2+ϵL_{2}-{\color{blue}\epsilon}< f\left(x\right) < L_{2}+{\color{blue}\epsilon}이다.
에서 다음 두 집합
D1={y∣L1−ϵ<y<L1+ϵ}D_{1}=\left\{ y | L_{1}-{\color{blue}\epsilon}< y < L_{1}+{\color{blue}\epsilon}\right\}
D2={y∣L2−ϵ<y<L2+ϵ}D_{2}=\left\{ y | L_{2}-{\color{blue}\epsilon}< y < L_{2}+{\color{blue}\epsilon}\right\}
을 정의하면
D1D_{1}와 D2D_{2}는 서로 소이기 때문이다.
  • 더 자세히 말하자면, D1D_{1}의 모든 지점은 L1+ϵL_{1}+{\color{blue}\epsilon}보다 작은 값의 지점이며 D2D_{2}의 모든 지점은 L2−ϵL_{2}-{\color{blue}\epsilon}보다 큰 값의 지점이다.
  • 2.에서 ϵ<L2−L12\displaystyle{{\color{blue}\epsilon} < {{L_{2} - L_{1}}\over{2}}}이므로 (L2L_{2}와 L1L_{1}의 차이의 절반보다 작은 값이다.)
    L1+ϵ<L2−ϵL_{1}+{\color{blue}\epsilon} < L_{2}-{\color{blue}\epsilon}
    이므로 D1D_{1}의 그 어느 점도 D2D_{2}의 원소가 될 수 없으면서 D2D_{2}의 그 어느 점도 D1D_{1}의 원소가 될 수 없다.

따라서 5.의 명제는 거짓이 되는 모순이 생긴다.

7. 6.에서 시작하여 어디서 거짓이 되었는가를 찾고자 거슬러 올라가고 거슬러 올라가기를 거듭함으로써, 처음 가정했던 0.이 거짓이 된다. 곧 수렴하는 극한값이 2개가 된다는 말은 거짓이며, 이는 귀류법에 따라 수렴하는 극한의 유일성이 증명된다.
극한점임이 전제되어야 하는 이유

결론부터 말하자면 수렴하는 극한의 유일성에 문제가 발생하기 때문이다.

0. 가정하기를 x=ax=a가 DD의 극한점이라는 전제가 없다고 하자.

1. 그럼 x=ax=a가 DD의 극한점이 아닌 경우가 존재한다.

2. 극한점의 조건을 보자.
x=ax=a가 DD의 극한점인 조건은 다음과 같다.
임의의 양수 cc에 대하여
({x∣a−c<x<a+c}\{a})∩D≠∅\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D \neq \emptyset

이 명제의 부정은
어떤 양수 cc에 대하여
({x∣a−c<x<a+c}\{a})∩D = ∅\left(\left\{x|a-c<x<a+c\right\} \backslash \left\{ a \right\} \right) \cap D {\color{red}\ =\ }\emptyset
이 된다.

3. 함수의 극한의 정의에서 다음 명제를 보자.
x∈Dx \in D이고 x≠ax \neq a, a−δ<x<a+δa-\delta < x < a+\delta이면
L−ϵ<f(x)<L+ϵL-\epsilon< f\left(x\right) < L+\epsilon이다.

4. 1.의 경우(충분히 나올 수 있다) 2.를 만족하는 cc를 가져와서 3.의 δ\delta를 δ≤c\delta \leq c를 만족하는 적당한 값으로 두자.(δ\delta를 충분히 작은 값으로 잡자.)

그러면 LL의 값과 관계 없이 3.에 제시된 명제의 가정에서 두 조건이 서로 모순된다.
1. x∈Dx \in D
2. x≠ax \neq a, a−δ<x<a+δa-\delta < x < a+\delta
따라서 가정이 거짓이 되며, 가정이 거짓인 이유로 명제가 전체적으로 참이 되버리는 오류가 발생한다.

5. 이 때 LL의 값을 아무렇게 잡아도 명제가 참이 된 탓에 "모든 실수값으로 수렴한다"는 오류까지 발생한다. 이는 수렴하는 함수의 유일성에 위배된다.

그러므로 x=ax=a가 DD의 극한점이라는 전제가 있어야 한다.

3.2. 수열의 극한[편집]

무한수열의 경우는 다음과 같이 된다. (실수 xx에 대한 함수 f(x)f(x)가 자연수 nn에 대한 함수 an{\color{green}a_{n}}으로 바뀌었다고 생각해보자.)
무한수열 an{\color{green}a_{n}}에 대하여
아무 ϵ>0\epsilon > 0 인 ϵ\epsilon을 잡더라도
상수 LL에 대하여 다음 명제 곧
자연수 nn에 대하여 n>Mn>{\color{blue}M}이면
L−ϵ<an<L+ϵL-\epsilon< {\color{green}a_{n}} < L+\epsilon이다.
를 참이 되게 할 수 있는 적당한 자연수 M{\color{blue}M}을 항상 정할 수 있는 상수 LL이 존재할 때 ("최소한의"라는 뜻의 Minimal을 생각해보자. 교과서에 따라 MM을 NN으로 표기하기도 한다.)

무한수열 an{\color{green}a_{n}}은 LL으로 수렴한다고 말하며 (동치로서) 기호로는 lim⁡n→∞an=L\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\color{green}a_{n}}=L으로 표기한다.

만일 해당되는 LL이 존재하지 않으면, 무한수열 an{\color{green}a_{n}}은 발산한다고 말한다.

이를 이용하여 함수든 수열이든 수렴하는 극한의 사칙연산에 대한 성질, 샌드위치 정리의 성립, lim⁡n→∞1n=0\displaystyle\lim_{n\to \infty}{{1}\over {n}}=0의 성립을 증명할 수 있다. (무한 수열에서 1n{{1}\over {n}}, 1n2{{1}\over {n^2}}, 1n3{{1}\over {n^3}} 등으로 바꿀 수 있는 부분은 00으로 안심하고날릴 수 있다. 다만 0으로 나누는 식이 되지 않도록 주의하자.)

극한의 엄밀한 정의가 없던 때, 무한수열 an=a_{n}=11, 00, 11, 00, 11, 00, …\ldots에 대하여 "00과 11이 반복되니 이 수열의 극한값은 그 중간값인 12{{1}\over{2}}가 되지 않을까?"라는 말이 오갔다는 카더라가 있다. 엄밀한 정의가 생겨난 지금에서는 "발산한다"는 결론이 쉽게 나지만.
[보통위상] 1.1 1.2 실수 전체 집합 R\mathbb{R}에서의 "보통위상(Usual Topology)" 곧 "R\mathbb{R}에서 열린 구간(이를테면 {x∣a<x<b, a,b∈R}\left\{x|a<x<b, \ a,b \in \mathbb{R}\right\})들, 또는 이들의 임의의 합집합(무한 개의 합집합이여도 된다.), 또는 이들의 유한 개의 교집합으로 구성된 R\mathbb{R}의 부분집합을 원소로 가지는 집합 T\mathcal{T}(이 집합은 당연히 P(R)\mathcal{P}(\mathbb{R})의 부분집합이다.)을 갖춘 위상"에서는 집적점(accumunation point)을 극한점(limit point)으로 부른다. 고등학교 과정에서 배우는 극한은 특별한 언급이 없다면 모두 보통위상에서의 극한이다.[2] 이는 0<∥x−a∥<δ0 < \left\| x-a \right\| < \delta와 동치이며, 여기에서 꼭 x=ax=a일 필요는 없음이 나타닌다.[3] 이는 0≤ ∥f(x)−L∥<ϵ{\color{gray}0\leq \ }\left\| f \left(x \right)-L \right\| < \epsilon와 동치이다. 회색으로 칠한 부등호(0≤0\leq ) 부분은 f(x)f \left(x \right)와 LL의 오차가 00으로 나오는 경우(f(x)=Lf \left(x \right)=L이 성립하는 경우. 잘 아는 예로는 함숫값이 xx의 값에 관계없이 일정한 상수로만 나오는 함수가 있다.)가 있으므로 기술을 잘 하지 않는 편이다.